LISTA DE EXERCÍCIOS 3º ANO

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Nathan Lage Dreer
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Questão 0 a) Soma dos ângulos internos de um pentágono: 180 ( 5 ) = 540 Sendo o ângulo FPG = α, temos: α + 90 + 10 + 90 = 360 => α = 60.

1 Questão 0 a) Soma dos ângulos internos de um pentágono: 180 ( 5 ) = 540 Sendo o ângulo FPG = α, temos: α = 360 => α = 60. Como os lados adjacentes ao ângulo α são os lados de quadrados congruentes, o triângulo FGP é isósceles de base FG. Consequentemente, os ângulos GFP e FGP são congruentes. Daí, o triângulo FGP é equilátero. Portanto, o dodecágono é equilátero. Observando ainda que os ângulos internos do dodecágono são dados por = 150, concluímos que o mesmo é equiângulo. Por conseguinte, este polígono é regular. b) Ao redor de cada bolha temos 360 Seja T o número de triângulos e n o número de bolhas, temos a seguinte relação: T 180 n 360 = 540 : 180 T n = 3 T = n + 3 GAB LISTA - 04

2 Questão Pelos dados do enunciado pode-se desenhar: Por semelhança de triângulos, têm-se: HL d + x d + x 6d + x = HL = 6d + x 5d + x 5d + x CH 5d + x x 5d + x = CH = x d+ x d+ x ( d + x) ( 4d + x) GJ d + x = GJ = 4d + x 5d + x 5d + x Sabe-se que CL CL = 3 = 3GJ, logo: ( d + x) ( 4d + x) 5d + x Mas CL = CH + HL, portanto: x ( 5d + x) ( d + x) ( 6d + x) x ( 5d + x) + ( d + x) ( 6d + x) CL = CH + HL = + = d + x 5d + x ( d + x) ( 5d + x) d x + 0dx + 4x + 6d + 1d x + 6dx + xd + 4dx + x 39d x + 30dx + 6x + 6d CL = ( d + x) ( 5d + x) ( d + x) ( 5d + x) Igualando as duas equações, tem-se: ( d + x) ( 4d + x 3 3 ) 39d x + 30dx + 6x + 6d 3 = 3 ( d + x) ( 4d + x) = 39d x + 30dx + 6x + 6d 5d + x ( d + x) ( 5d + x) d + 30d x + 4dx + 6x = 39d x + 30dx + 6x + 6d 6d 9d x 6dx = Dividindo tudo por d e resolvendo a equação, tem- -se: 3 6d 9d x 6dx = 0 6d 9dx 6x = 0 = ( 9x) 4 6 ( 6x ) = 81x + 144x = 5x 9x ± 15x d = d = x (OBS. : solução com d < 0 descartada) 1 d x = Substituindo o valor de x, tem-se: d d 5d + d 6d d 1d 1d CH = = = 6d = = CH = d d + d 3d 3d 6d 6 Analisando o triângulo CHM e considerando b como sendo o lado menor do triângulo isósceles, pelo Teorema de Pitágoras, tem-se: d b d b d = 4d 16d d b b 15d b d 15 + = + = = = 4 4 Para encontrar o lado maior a, pode-se analisar o triângulo AMB, também pelo Teorema de Pitágoras: Se G é o baricentro do triângulo ABC, e considerando a como sendo o lado maior do triângulo isósceles, então pode-se escrever: a GJ a CL 3 SAGB = SABC 3 = CL = 3GJ Sabendo que AG = GM, e considerando HM como x, pode-se escrever: GM = d + x AG = d + x AG = 4d + x d d 15d AM = AG + d + HM = 4d + x + d + x = 4d + + d + AM = b 15d d 15 a = ( AM) + a a 60d a d 60 a d 15 = + = = = A área do triângulo ABC será: 15d d 15 b AM 15d 15 SABC = = SABC = 4 O perímetro do triângulo ABC será: P = b + a = d 15 + d 15 P = 5d 15 GAB LISTA - 05

3 = 10. Desenhando o triângulo proposto bem como as linhas notáveis enunciadas (considerando α, α e α como ângulos internos do triângulo ABC) : 1 sen 18 = x x ÄABC ÄCBQ = x x 1 = 0 x = (razão áurea!) 1 x sen 18 = = = sen 18 = x a: Assim a razão entre os segmentos BC e AC é igual BC 5 1 BC 1+ 5 = sen 18 = = AC 4 AC [16] INCORRETA. Sendo α = 36º, pode-se escrever, sobre os ângulos do triângulo AOB : ABC 5α = 180º α = 36º Analisando as proposições uma a uma: [01] INCORRETA. O triângulo ABQ também é isósceles, porém não é semelhante ao triângulo ABC, uma vez que não possuem ângulos congruentes. á + á + AÔB = AÔB = 180 AÔB = 16 Portanto, a medida do ângulo AÔB é maior que 10. [0] CORRETA. O lado BQ é oposto ao ângulo α (no vértice A). O lado AQ é oposto ao ângulo α (no vértice B). Considerando o triângulo ABQ, ângulos iguais se opõem a lados igual, portanto os segmentos BQ e AQ são iguais. Analisando o triângulo QCB, pode-se concluir que o ângulo no vértice Q é igual a α e se opõe ao lado BC. De mesmo modo, o ângulo no vértice C é igual a α e se opõe ao lado BQ. Portanto os lados BC e BQ têm o mesmo comprimento. Assim, conclui-se que os segmentos AQ, BQ e BC têm o mesmo comprimento. [04] INCORRETA. A área do triângulo ABC é igual a AP BC u.a. [08] CORRETA. Sendo α = 36º, pode-se escrever a razão entre os segmentos enunciados: BC PC á PC BC = mas sen = sen 18 = = sen 18 AC AC AC AC GAB LISTA - 05 Sabendo que os triângulos ABC e CBQ são semelhantes e supondo BC = 1 e AB = AC = x, pode-se calcular o sen 18 : BC = AQ = 1 e 1 CP = BP = AB = AC = x e QC = AC AQ QC = x 1

4 b) Sendo I o pé da bissetriz por C, considere a figura: Questão Considere a figura: Sejam ACH HCI ICM MCB = α. Logo, ACB = 4á 90 = 4á á = 30'. BAC = 90 ACH Portanto, = 90 30' e = 67 30' 0 ABC = 90 BAC = ' = 30' =. [01] Incorreto. Como DE é uma base média do triângulo ABC, é fácil ver que os triângulos ABC e EBD são semelhantes, com razão de semelhança igual a. [0] Correto. Pela Fórmula de Heron, temos: (ABC) = = 31 = 4 56 < 4 = 4cm. Seja P o ponto diametralmente oposto ao ponto C e H o pé da perpendicular baixada de C sobre AB. É fácil ver que ACB BPC e AHC CBP (pois CP é diâmetro). Logo, ACH BCP e, portanto, o diâmetro CP contém a mediana do triângulo ABC vértice C disso, como O relativa ao e o circuncentro O do triângulo ABC. Além é a interseção da mediana relativa ao vértice C e da mediatriz de AB, segue que M = O, com M sendo o ponto médio do lado AB. Por conseguinte, o triângulo ABC a) Como o triângulo ABC AB CM = =. é retângulo em C. é retângulo em C, temos [04] Correto. Como ABC e EBD são semelhantes, basta mostrar que ABC AB > BC + AC 5 > 4 +. é obtusângulo. De fato, [08] Incorreto. Do item [04] sabemos que ABC é obtusângulo. Portanto, segue-se que o circuncentro de ABC não está no seu interior. [16] Correto. Do item [01], temos: (ABC) 4. (EBD) = = Daí, como (ABC) = (EBD) + (AEDC), segue que (AEDC) = 3 (EBD). GAB LISTA - 06

5 Questão ABCD que DE é inscritível. Além disso, como AC BD, = EB e, portanto, DE EB = AE EC DE = 18 3 DE = 9 3 DE = 3 8 DE = 4cm. segue Desse modo, como AE = 18 = 3 6 e DE = 4 = 4 6, vem que AD = 5 6 = 30. Por outro lado, como EC = 3 = 4 8 e DE = 4 = 3 8, obtemos CD = 5 8 = 40. Portanto, como os triângulos ABE e ADE são congruentes, bem como os triângulos BCE e vem CDE, AB + BC + CD + DA = = 140cm. y = = 68 Logo, BED = 68. portanto, EBC ˆ = x. No triângulo AEB : x = 68 Portanto, x = Sabendo que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é igual a 360 e que os ângulos ABC e ADC são retos, temos que o quadrilátero GAB LISTA - 07

6 Questão De acordo com as informações do problema, temos: ya = 70 10x yb = x O valor x0 indicado no gráfico é o valor de x quando y A = y B, ou seja: 70 10x = x x = 660 x = 30 Logo, x0 0 = 30 horas. A reta que representa a variação da altura da vela B com o tempo t passa pelos pontos (1, h ) e (6, 0). 0 (h ) h Logo, h B(t) = t+ b = t+ b, em que h B(t) é a altura no instante t e b é o valor inicial. ( h) 6h 1 Daí, h B(6) = b = 0 b =. 5 5 Como as velas têm a mesma altura para t =, segue que: h ( h) 6h 1 h A() = h B() + h = h = 4 h + 6h 1 h = 8cm. Portanto, as velas A e B tinham, respectivamente, 8 cm e 6 cm antes de serem acesas. Sejam h e h, respectivamente, as alturas iniciais das velas A e B. Como a reta que representa a variação da altura da vela A com o tempo t e (5, 0), vem: 0 h h h A (t) = t+ h = t+ h, no instante t. passa pelos pontos (0, h) em que h A(t) é a altura GAB LISTA - 09

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