MATEMÁTICA FRENTE IV. Capítulo 2 LIVRO 1. Triângulos

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1 MATEMÁTICA FRENTE IV LIVRO 1 Capítulo 2 Triângulos

2 I. Soma dos Ângulos Internos Teorema demonstração: a soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo vale 180 x B β y r // AC A α γ C Deseja-se provar que: α + β + γ = 180 Observa-se que: x + β + y = 180 (a soma resulta em um ângulo raso) Mas x = α e y = γ pois são ângulos alternos internos de retas paralelas. Então: α + β + γ = 180

3 II. Teorema do Ângulo Externo Teorema demonstração: a medida de qualquer ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos dois outros ângulos internos não adjacentes a ele α y z x o α + z =180 x + y + z =180 o α + z = x + y + z α = x + y

4 III. Soma dos Ângulos Externos Teorema demonstração: a soma dos ângulos externos de qualquer triângulo é igual a 360 α z y β x α = x + y β = x + z γ = y + z γ α + β + γ = 2(x + y + z) S E S = 360 E o o 180

5 Exercícios [18. p164] (PUC-MG) Na figura seguinte, o ângulo ADC é reto. O valor em graus do ângulo CBD é igual a: a) 95 b) 100 c) 105 d) 110 e) x x = x = 100

6 [27. p165] (FUVEST-SP) Num triângulo ABC, os ângulos B e C medem 50 e 70, respectivamente. A bissetriz relativa ao vértice A forma com a reta BC ângulos proporcionais a: a) 1 e 2 b) 2 e 3 c) 3 e 4 d) 4 e 5 e) 5 e 6

7 IV. Classificação dos Triângulos Em relação aos Lados: Escalenos A Isósceles A Equiláteros A C B três lados diferentes (três ângulos diferentes) C BASE B dois lados congruentes (dois ângulos congruentes) Em relação aos Ângulos: C 60 B três lados congruentes (três ângulos congruentes) Acutângulos Retângulos Obtusângulos A C B C B A B C A todos os ângulos agudos (menores que 90 ) um ângulo reto (90 ) (dois ângulos complementares) um ângulo obtuso (maior que 90 )

8 [30. p165] (FUVEST-SP) Na figura seguinte, AB = AC, O é o ponto de encontro das bissetrizes do triângulo ABC, e o ângulo BOC é o triplo do ângulo A. Então a medida do ângulo A é: a) 18 b) 12 c) 24 d) 36 e) 15

9 [34. p166] (PUC-SP) A soma dos ângulos assinalados na figura vale: a) 90 b) 180 c) 270 d) 360 e) 540

10 [46. p167] (FUVEST-SP) No retângulo abaixo, o valor, em graus, de α + β e: y x β x = 180 α = 40 + x x = α - 40 a) 50 b) 90 c) 120 d) 130 e) 220 β α - 40 = 180 β + α = 130

11 [48. p167] (MACKENZIE-SP) Na circunferência da figura, de centro O, MN = 0P. A razão entre as medidas dos ângulos QÔP e MÔN a) 4 3 b) 3 2 c) 3 d) 5 2 e) 4 M // α N α 2α 2α // // O Q β // P β = α + 2α β = 3α Razão = 3

12 [49. p167] (FUVEST-SP) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 20 cm e um dos ângulos mede 20. a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa? Resposta: 10 cm. b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana e pela bissetriz do ângulo reto? Resposta: Em qualquer triângulo retângulo, o ponto médio da hipotenusa é o Circuncentro, (centro da circunferência circunscrita a ele). 20 cm 10 cm 10 cm θ cm M 20 Assim, a medida da hipotenusa é igual a medida do diâmetro dessa circunferência e a medida da mediana relativa à hipotenusa é igual ao raio da circunferência circuncrita. O ângulo formado pela bissetriz do ângulo reto e pela mediana é θ. θ = θ = 25

13 EXERCÍCIOS PROPOSTOS [23. p165] [25. p165] [29. p165] [33. p165] [43. p167] [44. p167] [51. p167]

14 V. Congruência de Triângulos Dois triângulos são considerados CONGRUENTES se: - os lados de um deles forem congruentes aos correspondentes lados do outro. - os ângulos de um deles forem congruentes aos correspondentes ângulos do outro. Critérios (casos) de Congruência LLL a c b c a b LAL a α b b α a ALA LAA0 a α β β α a a α β β α a

15 [EXTRA] (FUVEST-SP) Um avião levanta vôo para ir da cidade A à cidade B, situada a 500 km de distância. Depois de voar 250 km em linha reta o piloto descobre que a rota está errada e, para corrigi-la, ele altera a direção de vôo de um ângulo de 90º. Se a rota não tivesse sido corrigida, a que distância ele estaria de B após ter voado os 500 km previstos? D d 250 km C x B 250 km 500 km Devido ao critério de congruência de triângulos LAL, observa-se que os triângulos ABC e DBC são congruentes, assim d = 500 km. A

16 VI. Condição de Existência de Triângulos b a c Em qualquer triângulo, a medida de um lado deve ser menor que a soma das medidas dos outros dois, então: a < b + c Portanto: b < a + c c < a + b b - c < a c - b < a b - c < a < b + c Propriedade Importante a < b + c Se acrescentarmos a medida de a aos dois lados da inequação ao lado, nada se alterará: a + a < a + b + c 2a < P a < P/2 perímetro todo lado de um triângulo é menor que o seu semiperímetro

17 Exercícios [57. p168] (UFGO-GO) Se dois lados de um triângulo medem respectivamente 3 cm e 4 cm, podemos afirmar que a medida do terceiro lado é: a) igual a 5 cm. b) igual a 1 cm. c) igual a 7 cm. d) menor que 7 cm. e) maior que 2 cm. 3 4 x 4-3 < x < < x < 7

18 [63. p168] (MACKENZIE-SP) No triângulo da figura, a soma das medidas x, y e z pode ser: 30 < x + y 18 < x + z 16 < z + y 64 < 2x + 2y + 2z 32 < x + y + z a) 25 b) 27 c) 29 d) 31 e) 33 A soma deve ser maior que 32.

19 [61. p168] (MACKENZIE-SP) Se no quadrilátero ABCD da figura, a medida de BD for um número natural, então esse número será: 2 A < x < < x < 5 x = { 2 ; 3 ; 4 } B x D 5-2 < x < C 5 3 < x < 7 x = { 4 ; 5 ; 6 } a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4 Nas duas condições possíveis para x, o valor comum é o 4.

20 EXERCÍCIOS PROPOSTOS [59. p168] [62. p168] [65. p168]

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