MATEMÁTICA FRENTE IV. Capítulo 1 LIVRO 1. I. Introdução à Geometria II. Ângulo III. Paralelismo

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Marcos Penha Castelhano
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1 MATEMÁTICA FRENTE IV LIVRO 1 Capítulo 1 I. Introdução à Geometria II. Ângulo III. Paralelismo

2 I. Introdução ao Estudo da Geometria Plana Região Poligonal Convexa É uma região poligonal que não apresenta reentrâncias no corpo da mesma. Exemplo Região Poligonal Não - Convexa É uma região poligonal que possui reentrâncias no corpo da mesma. Exemplo A C B A C D B D Região Octogonal Convexa Região Octogonal Não - Convexa Propriedade: Todo segmento de reta cujas extremidades estão contidas nesta região, estará totalmente contido na região poligonal. Propriedade: Nem todos os segmentos de reta que possuem extremidades contidas nessa região estarão totalmente contidos na região poligonal.

II. Ângulos É uma região do plano determinada por duas semiretas ou dois segmentos de reta orientados a partir de um ponto comum, denominado vértice.

3 II. Ângulos É uma região do plano determinada por duas semiretas ou dois segmentos de reta orientados a partir de um ponto comum, denominado vértice. ângulo não convexo V A ˆ AVB B ângulo convexo Medidas de Ângulos Uma volta completa numa circunferência Definição de 1 Radiano: 360 2π radianos 1 radiano R R 400 grados Um radiano equivale a aproximadamente 57,3

4 Subdivisões do Grau Todo ângulo pode ser escrito, se necessário, utilizando graus e minutos ou graus, minutos e segundos: Exemplo: 30 = =

5 Classificação dos Ângulos em relação as suas medidas Ângulo Nulo Agudo Reto Obtuso Raso Característica ângulo cuja medida é 0. ângulo cuja medida é maior que 0 e menor que 90. ângulo cuja medida é 90. ângulo cuja medida é maior que 90 e menor que 180. ângulo cuja medida é 180. Nulo Agudo Reto Obtuso Raso

6 Ângulos Adjacentes Complementares Suplementares Replementares y x y x y O x O O x + y = 90 x + y = 180 x + y = 360 O complemento de um ângulo de medida x é: (90 - x) O suplemento de um ângulo de medida x é: (180 - x) O replemento de um ângulo de medida x é: (360 - x)

7 Exercícios de Aula [17. p151] (UECE-CE) O ângulo igual a 5/4 do seu suplemento mede: a) 100 b) 144 c) 36 d) 80 e) 72 resolução A medida de um ângulo desconhecido é representada por: x O suplemento desse ângulo x é: (180 - x) 5 o x = (180 - x) 4 o 4x = 900-5x o 9x = 900 o x =100

8 [19. p151] (UFU-MG) Dois ângulos adjacentes são complementares. Então o ângulo formado pelas bissetrizes desses ângulos mede: a) 20 b) 30 c) 35 d) 40 e) 45 O y y/2 resolução α x/2 x x + y = 90 O ângulo α formado pelas bissetrizes é: x y α = x + y 9 0 α = α = 2 2 α = 4 5 o o

9 [23. p151] (MACKENZIE-SP) O complemento e o suplemento de um ângulo de medem, respectivamente, a) e b) e c) e d) e e) e resolução O complemento é o valor do ângulo que falta para 90 : '07" 52 39'53" O suplemento é o valor do ângulo que falta para 180 : '07" '53"

10 [26. p151] (MODELO ENEM) São dados dois ângulos adjacentes em que a medida de um é o triplo da medida do outro e a medida do complemento do ângulo entre suas bissetrizes é 50º. A medida do complemento da soma dos ângulos dados é igual a a) 10º b) 30º c) 40º d) 50º e) 80º resolução

11 EXERCÍCIOS PROPOSTOS [16. p151] [25. p151] [28. p151]

12 Teorema demonstração: se dois ângulos são opostos pelo vértice, então as suas medidas são iguais β V α x α e β são ângulos opostos pelo vértice (OPV) α + x =180 x =180 - α β + x =180 x =180 -β então : α =180 -β - α = -β portanto : α = β

13 III. Paralelismo α β δ γ t s r // s α e γ : correspondentes α e β : opostos pelo vértice γ e β : alternos internos β e δ : colaterais internos "Z" DO ZORRO [são congruentes] α β γ [são suplementares] β + δ = 180º

14 Exercícios resolução [35. p154] (CESGRANRIO-RJ) As retas r e s da figura são paralelas cortadas pela transversal t. Se o ângulo B é o triplo de A, então B - A vale: B A B = 3A r s // r a) 90 b) 85 c) 80 d) 75 e) 60 A + B = 180 A + 3A = 180 4A = 180 A = 45 Então: t B - A = B - A = B - A = 90

15 [44. p155] (FUVEST - MOD ENEM) Na figura, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45 e o ângulo 2 mede 55. A medida, em graus, do ângulo 3 é: ˆ3 resolução Observa-se que o ângulo 3 é a soma dos ângulos 1 e 2, então: ˆ o o 3 = ˆ o 3 = a) 50 b) 55 c) 60 d) 80 e) 100

16 [47. p155] (FGV-SP) Considere as retas r, s, t e u, todas num mesmo plano, com r//u. O valor em graus de (2x + 3y) é: resolução med(x) = med(y) a) 64 b) 500 c) 520 d) 660 e) 580 y = 180 y = 100 portanto: 2x + 3y = = 500

[50. p156] (UNICAMP-SP) Para calcular a circunferência terrestre, o sábio Eratóstenes valeu-se da distância conhecida de 800 km entre as localidades de Alexandria e Siena no Egito (A e S,

17 [50. p156] (UNICAMP-SP) Para calcular a circunferência terrestre, o sábio Eratóstenes valeu-se da distância conhecida de 800 km entre as localidades de Alexandria e Siena no Egito (A e S, respectivamente), situadas no mesmo meridiano terrestre. Ele sabia que, quando em Siena os raios solares caíam verticalmente, em Alexandria eles faziam um ângulo de 7,2 com a vertical. Calcule, com esses dados, a circunferência terrestre, isto é, o comprimento de uma volta completa em torno da Terra. resolução 7,2 Os raios solares são considerados paralelos 7,2 800 km 360 x x = km

18 EXERCÍCIOS PROPOSTOS [37. p154] [45. p155] [49. p156]

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