Triângulos e quadriláteros - o triângulo, formado por três segmentos (3 lados); - o quadrilátero, formado por quatro segmentos (4 lados).

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Amanda Valente Malheiro
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1 CONSTRUINDO O PENSAMENTO GEOMÉTRICO O plano e as figuras planas Muito do que está à nossa volta nos dá a idéia de plano, como a superfície de uma folha de papel ou de uma chapa de aço. Para resolver problemas práticos, as figuras planas mais importantes são: o quadrado, o retângulo, o triângulo e o círculo. Para chegarmos até elas, estudaremos primeiro as figuras mais simples: o ponto, a reta, o ângulo, as retas paralelas, etc. A reta Para compreender melhor a reta e o plano, imagine que devemos deitar uma vareta sobre uma mesa. De quantas maneiras podemos fazer isso? Você vê que podemos dispor a vareta sobre o isopor em inúmeras posições diferentes. Isso quer dizer que: O plano contém infinitas retas. O ponto Temos uma boa idéia de um ponto quando observamos uma estrela no céu escuro. A diferença é que, como a reta, o ponto não tem espessura. Se encostamos nosso lápis no papel, temos aí um ponto. Como isso pode ser feito em qualquer lugar do papel, concluímos que: o plano contém infinitos pontos. Podemos marcar vários pontos numa reta, concluímos que: A reta contém infinitos pontos. Retas concorrentes Quando colocamos duas varetas sobre uma mesa, quase sempre, encontram-se em algum ponto. Neste caso dizemos que as duas varetas representam retas concorrentes, retas que concorrem ou se encontram num ponto. Podemos, então, concluir que: Duas retas concorrentes têm um ponto (único) comum, um ponto que pertence às duas. Retas paralelas Vamos voltar ao exemplo das duas varetas jogadas ao acaso sobre uma mesa. Algumas varetas podem não se encontrarem em nenhum ponto, mesmo quando estendidas indefinidamente. Neste caso, chamamos as retas de paralelas, quando duas retas coplanares não têm ponto comum. O segmento de reta Imagine dois pontos, A e B, sobre uma reta. Eles dividem essa reta em três partes. A parte que está entre A e B chama-se segmento de reta, ou apenas segmento, AB (ou BA), que tem como extremidades os pontos A e B. As outras duas partes são chamadas de semi-retas. O segmento é limitado, pois não se estende além de suas extremidades. O espaço, o plano e a reta não têm extremidades, estendem-se indefinidamente, ou seja, não têm fim. Triângulos e quadriláteros - o triângulo, formado por três segmentos (3 lados); - o quadrilátero, formado por quatro segmentos (4 lados).

2 O paralelogramo tem dois pares de lados opostos (seguimentos de retas) que são paralelos. Exercícios 1) Para resolver esta desenhe as retas em um papel. Considere três retas (r, s e t) situadas no mesmo plano. O que podemos afirmar sobre r e t, quando: a) r é paralela a s, e s é paralela a t? b) r é perpendicular a s, e s é paralela a t? c) r é perpendicular a s, e s é perpendicular a t? 2) Na figura a seguir, quais retas são concorrentes entre si? E quais são as paralelas? Desafio Vamos a uma atividade prática de Geometria. Pegue 6 palitos de fósforo e tente formar, com eles, 4 triângulos iguais.

3 Ângulo Os ângulos estão sempre presentes em nossa vida e quase não nos damos conta disso. Conforme a hora que marcam, os ponteiros de um relógio se afastam ou se aproximam, aumentando ou diminuindo a abertura entre si. Ou seja, o que varia é o ângulo que se forma entre eles. Para movimentar uma tesoura, precisamos abri-la e fechá-la continuamente, aumentando ou diminuindo a abertura entre as lâminas, ou seja, variando o ângulo entre elas. Afinal, o que é um ângulo? Vamos representar um plano e, nele, duas semi-retas que não coincidem e que têm a mesma origem, isto é, partem do mesmo ponto. Repare que, dessa forma, as semi-retas separam o plano em duas regiões. Cada uma dessas regiões, junto com as semi-retas, forma um ângulo. Temos, assim, dois ângulos determinados. Ângulo é o nome que se dá à abertura formada por duas semi-retas que partem de um mesmo ponto. Como medir um ângulo Se dois ou mais ângulos têm a mesma abertura, também têm a mesma medida. E essa medida é determinada pela abertura de seus lados. Em geral, o instrumento utilizado para realizar medidas de ângulos é o transferidor. Unidades de medida de angulos Os ângulos são medidos em graus (1º) - e as subunidades dos graus são os minutos (1º = 60') e os segundos (1' = 60"). Veja como fazer a conversão entre essas unidades. Suponha que você tenha que converter o ângulo de 30,12. A parte decimal é 0,12 assim usando a regra de três simples obtemos 0,12 = 7,2. Repetindo o processo para calcular os segundos, ou seja 0,2 = 12". Reagrupando tem-se que 30,12 é igual 30 7' 12''. Outra unidade de medida de ângulos que facilita alguns cálculos envolvendo é o radiano. Sabendo que o comprimento de uma circunferência em radiano é igual a 2π rad, então como o comprimento de uma circunferência equivale a uma volta completa que é o mesmo que 360º, podemos concluir que 360º = 2π rad. Portanto, a metade de uma volta

4 completa em uma circunferência é 180º, concluindo que seria também a metade da medida em radiano de uma volta completa, então 180º = π rad. A partir daí podemos encontrar qualquer medida de ângulos em radiano através da regra de três. Por exemplo, qual seria a medida do ângulo 60º em radianos? Logo 60º = π 3 rad. Classificando ângulos Um dos ângulos que mais se destacam na vida cotidiana é o ângulo reto, ou seja, o ângulo de 90. Ele aparece em todo canto, como, por exemplo, em folhas de caderno, mesas retangulares ou janelas, paredes e portas. Outro ângulo que recebe nome especial é o ângulo que mede 180º. Neste tipo de ângulo, as duas semi-retas que formam os lados estão sobre uma mesma reta, e ele é chamado ângulo raso (ou ângulo de meia-volta). Como o ângulo reto é o mais utilizado, os outros foram classificados a partir dele, chamando-se: - ângulo agudo, quando é menor que o ângulo reto; - ângulo obtuso, quando é maior que o reto. Retas perpendiculares As retas são perpendiculares se ela forem concorrentes e formares um ângulo reto. Ângulos suplementares Observando com atenção duas retas concorrentes, concluímos algumas coisas importantes sobre os ângulos que elas formam. Os ângulos AO C e CO D formam um ângulo raso (logo, somam 180 ). O mesmo acontece com os ângulos AO C e AO B ou com quaisquer outros ângulos vizinhos. Dois ângulos que somam 180. Duas retas concorrentes formam quatro ângulos, tais que quaisquer dois ângulos vizinhos são suplementares. Ângulos opostos pelo vértice Ao comparar, os ângulos CO D e AO B, percebemos o que eles são iguais. De fato como AO C + CO D = 180 = AO C + AO B Então CO D = AO B. Assim provamos que: Ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

Retas paralelas cortadas por uma transversal Com um transferidor, vamos medir os ângulos ED P e AP C. Podemos concluir que ED P = AP C. Este experimento comprova o seguinte enunciado.

5 Retas paralelas cortadas por uma transversal Com um transferidor, vamos medir os ângulos ED P e AP C. Podemos concluir que ED P = AP C. Este experimento comprova o seguinte enunciado. Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos correspondentemente iguais. Exercícios 1) Quanto mede o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando marcam (em graus e em radianos): a) 15 horas: b) 12 horas: c) 16 horas: d) 18 horas: 2) Converta os ângulos abaixo em radianos: a) 37º 4 7 b) 30º ) classifique as seguintes os ângulos segundo suas medidas: a) 30 b) 120 c) 95 d) 245 4) Determine o ângulo suplementar (ou o suplemento) de: a) 58 c) 13 e) 45 g) 90 b) 122 d) 60 f) 0 g) 120º h) 43º 5) Determine o ângulo complementar (ou o complemento) de: a) 37º b) 25º 6) Em cada um destes pares de retas concorrentes, quanto medem os ângulos x, y e z? 6) Qual a medida dos ângulos x e y? Você sábia? Você já observou um par de esquadros? Existem dois tipos de esquadro. Um deles é formado por um ângulo reto e dois ângulos de 45º, e o outro possui um ângulo reto, um ângulo de 30º e outro de 60º.

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