Dimas Crescencio. Ângulos

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Flávio Marinho Ribas
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1 Dimas Crescencio Ângulos

2 Arcos e Ângulos Recordando alguns conceitos... arco geométrico: é uma das partes da circunferência delimitada por dois pontos. Se os dois pontos coincidirem, teremos arco nulo ou arco de uma volta. B A B O A arco AB O UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 2

3 Arcos e Ângulos arco e ângulo central: todo arco de circunferência tem um ângulo central que o subtende. B D O A arco: AB ângulo central: AÔB O C arco: CD ângulo central: CÔD UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 3

4 Arcos e Ângulos comprimento da circunferência de raio r: C= r. 2 comprimento e medida de arco: a medida de um arco é a medida do ângulo central que o subtende, independentemente do raio da circunferência que contém o arco. Usam-se geralmente unidades como o grau e o radiano para medir arcos. O comprimento do arco é a medida linear do arco, sendo usadas unidades como metro, centímetro, etc. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 4

5 Unidades para medir arcos Grau: quando dividimos uma circunferência em 360 partes congruentes, cada uma dessas partes é um arco de um grau (1 ). Considere o arco AB, que vai de A para B no sentido anti-horário: B A B A A A B arco: AB de 90 (um quarto de volta) B arco: AB de 180 arco: AB de 270 arco AB de 360 ou 0 (meia volta) (três quartos de volta) (volta inteira ou nulo) UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 5

6 Conversão de unidades Sabe-se que um ângulo de radianos equivale a um ângulo de Então, quantos graus temos em radianos? 4 E em radianos? x y 180 x y x x y y 30 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 6

7 Exercícios 1) Converta em graus: a) b) c) 5 rad rad rad ) Converta em radianos: 5 a)300 rad 3 11 b)330 rad 6 4 c) 240 rad 3 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 7

8 Medindo arcos O método mais prático para se medir arcos é fazendo uma regra de três simples. Para isso, algumas informações que já vimos são muito importantes, vamos enfatizá-las novamente: O comprimento C da circunferência de raio r é dado por: C 2r 1 rad = 180 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 8

9 Exemplos Calcule as medidas dos arcos AB a seguir dessa circunferência cujo raio mede 5 cm. a) A 5 8 rad b) B A 30 B UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 9

10 Resolução UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 10 cm (5 cm) 5 8 r 5 AB rad 8 5 AB rad 2 r 2 a) cm r AB 12 r 2 AB 360 r.30 2 AB r.30 2 AB AB 360 r 2 b)

11 Exercício Qual seria, em radianos, a medida do ângulo central correspondente a um arco de comprimento 15 cm contido numa circunferência de raio 3 cm? UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 11

12 Resolução O comprimento de uma circunferência de raio r é dado por 2r. Um ciclo completo tem a medida do ângulo central de2 radianos. Sabemos que o arco mede 15 cm. Acharemos o ângulo x, em radianos, para esse arco. 2r 2 rad 15 x x (15)2 rad 2( 3) UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 12 x 5 rad.

13 Exercício Qual é o comprimento de um arco correspondente a um ângulo central de 45 contido numa circunferência de raio 2 cm? UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 13

14 Resolução Sabemos que o comprimento de uma circunferência de raio r é dado por 2r. Isso, para um ciclo completo, ou seja, 360. Como temos 45, vamos fazer uma regra de três e descobrir o valor x desse arco: x 2r x r r 8 r 4 (2) 4 2 cm UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 14

15 Resolução Poderíamos resolver isso de forma mais rápida, pois sabemos que 45 representa um oitavo de volta, então, é só dividir o comprimento de uma volta por oito para achar esse arco, sem precisar fazer regra de três. x 2r 8 r 4 (2) 4 2 cm UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 15

16 Exercício O ponteiro dos minutos de um relógio de parede mede 12 cm. Quantos centímetros sua extremidade percorre durante 25 minutos? UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 16

17 Resolução Vamos ilustrar a situação para facilitar o nosso entendimento: Faremos a regra de três, já que sabemos que o ponteiro percorreu 150 (30 a cada 5 minutos). raio: 12 cm 2r x 150.2r 5.2r x (12cm) 60 x x cm 6 6 A extremidade do ponteiro percorreu 10 cm. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 17

18 Exercício Um pêndulo tem 15 cm de comprimento e, no seu movimento, suas posições extremas formam um ângulo de 60. Qual o comprimento do arco que a extremidade do pêndulo descreve? UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 18

19 Resolução Mais uma vez, vamos ilustrar a situação para facilitar a compreensão do enunciado: Posições extremas do pêndulo 2r x 60.2r x Pêndulo 2(15) (15) x x 5 cm. O comprimento do arco que a extremidade do pêndulo descreve mede 5 cm. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 19

20 Exercício Ao projetar prédios muito altos, os engenheiros devem ter em mente o movimento de oscilação, que é típico de estruturas de arranha-céus. Se o ponto mais alto de um edifício de 400 m descreve um arco de 0,5, qual é a medida do arco descrito por esse ponto em metros? UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 20

21 Resolução 0,5 (1/2)º 400mm Apesar de ser pequena, a oscilação de 0,5 forma um arco. Para acharmos sua medida, aplicaremos a regra de três: 2r x 0,5.2r r x 360 0, (400) x m O arco descrito mede metros. 9 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 21

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