Apostila MEDIDAS Como surgiu a geometria Medidas medidas Medição de Segmentos comensuráveis

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1 Apostila MEDIDAS Como surgiu a geometria As origens da Geometria (do grego medir a terra) parecem coincidir com as necessidades do diaa-dia. Partilhar terras férteis às margens dos rios, construir casas, observar e prever os movimentos dos astros são algumas das muitas atividades humanas que sempre dependeram de conhecimentos geométricos. Documentos sobre as antigas civilizações egípcia e babilônica comprovam bons conhecimentos do assunto. Medidas Todos os dias medimos coisas, nas mais variadas ocupações e atividades (quais, por exemplo). Afinal, o que é medir? A palavras medidas representa o processo se obter um valor quantitativo (numérico) de uma certa unidade de medida que é tomada como padrão. Caso utilizarmos uma unidade de medida que não é padronizado, podemos obter alguns problemas na comunicação dessas medidas. O palmo, por exemplo, ainda é usado, mas compare o seu palmo com o de outras pessoas: cada palmo pode ser muito diferente. Esta medida não seria útil para a indústria, nem para o comércio. Imagine você pedir 5 palmos de tecido... Palmo de quem? Os instrumentos mais comuns usados para medir comprimento (a régua, a fita métrica e a trena) tem uma unidade de medida válida para qualquer pessoa que a use. Geralmente essa unidade padrão é o metro. Mas há muito tempo, o homem media pequenos objetos usando a polegada. Ainda hoje, principalmente em alguns setores da Indústria, a polegada é utilizada. As medições podem ser feitas ou executadas de duas maneiras: Diretamente: Por exemplo a distância entre dois pontos, pode ser obtida através de medidas realizadas com uma trena (fita métrica). Indireta (Quando não é possível realizar diretamente as medidas): Por exemplo quando mede-se ângulos e distâncias para calcular a altura de um prédio. Medição de Segmentos Para Euclides a medida do segmento de reta AB é um número que deve exprimir quantas vezes o segmento AB contém um segmento u, fixado previamente, que se convencionou tomar como unidade de comprimento, ou como segmento unitário. A explicação que demos acima é bastante ilustrativa para servir de sugestão, mas não serve como uma verdadeira definição matemática porque é demasiadamente vaga. Não está claro o significado da expressão "o número de vezes que o segmento AB contém o segmento u. Suponhamos que, embora AB não contenha u um número inteiro de vezes, exista, entretanto, um segmento menor, w, tal que w esteja n vezes contido em u e m vezes contido em AB, sendo m e n números inteiros. O segmento w é o que se chama um submúltiplo comum de AB e u. O que ocorre na verdade é que fixado o segmento unitário u, o comprimento de um segmento AB é um número racional m/n quando existe um segmento w que esteja contido n vezes em u e m vezes em AB. Neste caso, dizemos que os segmentos AB e u são comensuráveis.

2 Durante algum tempo se acreditava que, de fato, não existissem segmentos incomensuráveis. Inicialmente, Pitágoras e seus discípulos pensavam assim. Eles mesmos, porém, descobriram o primeiro exemplo de um par de segmentos incomensuráveis. Axiomas de Medição de Segmentos Lembramos que na geometria euclidiana a processo de medir segmentos é regida pelos seguintes axiomas: Axioma de medição 1: A todo par de pontos do plano corresponde um número maior ou igual a zero. Este número é zero se e somente se os pontos são coincidentes. O número a que se refere o axioma é denominado de comprimento do segmento ou distância entre os pontos que define o segmento. Axioma de medição : Os pontos de uma reta podem ser sempre colocados em correspondência biunívoca com os números reais, de modo que o módulo da diferença entre estes números meça a distância entre os pontos correspondentes. Fixada uma correspondência, o número que corresponde a um ponto da reta é denominado coordenada daquele ponto. Portanto, se a e b são as coordenadas dos pontos A e B, respectivamente, então a distância do segmento AB é o valor absoluto da diferença entre os números correspondentes (AB = a b ). Erros em medidas Na prática, como nossos olhos (ou mesmo os instrumentos mais delicados de aferição) têm um limite de percepção (ou precisão), sendo incapazes de distinguir dois pontos que, embora distintos, achemse situados a uma distância inferior a esse limite. Portanto o processo de medida está sujeito às incertezas (erros), e o valor verdadeira da observação nunca é conhecido. O que podemos fazer é tentar aproximar o valor medido com o valor real. Essa acuracidade da medição depende, de: confiabilidade e calibração do instrumento usado. condições ambientais no momento da medição. (variações da temperatura, da pressão atmosférica, vento, ect). fatores humanos (perícia do operador).

3 Por melhores que sejam os equipamentos empregados, melhores operadores e condições ideais do meio ambiente que são realizadas as medições, os resultados podem se aproximar do valor verdadeiro, mas nunca são exatas. Um exemplo desse fato é quando a soma dos quadrados dos catetos de um triangulo retângulo medidos por um o aluno é diferente do quadrado da hipotensa também medida pelo mesmo aluno. Outro exemplo é quando a soma os três ângulos internos de um triângulo plano medidos por um aluno não é iguais a 180º. O metro A definição atual do metro, dada em 1983 pela é a seguinte: O metro é o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/ de segundo. (coletado de Exercícios 1) Medir tem um pouco de contar? ) Como lidar com a seguinte situação: Seu aluno acabou de aprender o teorema de Pitágoras, e quer comprova que o teorema é verdadeiro. Ele mediu (com uma régua) os catetos de dois catetos de um triangulo retângulo plano e obteve os respectivos valores 16 cm e 3 cm. Porem quando esse mesmo aluno mediu a hipotensa desse triangulo retângulo, obteve o 8 cm. 3) Ioana queria comprar um pedaço de pano para fazer uma toalha de mesa. Como não tinha fita métrica, tirou as medidas da mesa usando seu palmo. Obteve as seguintes medidas: largura = 4 palmos e comprimento = 7 palmos. Ela sabia que seu palmo mede 18 centímetros. Quais as medidas do pano que ela comprou? 4) Pela lei, o pé-direito (distância do chão ao teto) mínimo de um apartamento deve ser de m e 70 em. Qual a altura mínima de um prédio de 0 andares? CONSTRUINDO O PENSAMENTO GEOMÉTRICO O plano e as figuras planas Muito do que está à nossa volta nos dá a idéia de plano, como a superfície de uma folha de papel ou de uma chapa de aço. Para resolver problemas práticos, as figuras planas mais importantes são: o quadrado, o retângulo, o triângulo e o círculo. A reta Para compreender melhor a reta e o plano, imagine que devemos deitar uma vareta sobre uma mesa. De quantas maneiras podemos fazer isso? Você vê que podemos dispor a vareta sobre o isopor em inúmeras posições diferentes. Isso quer dizer que: O plano contém infinitas retas. O ponto Temos uma boa idéia de um ponto quando observamos uma estrela no céu escuro. A diferença é que, como a reta, o ponto não tem espessura. Se encostamos nosso lápis no papel, temos aí um ponto. Como isso pode ser feito em qualquer lugar do papel, concluímos que: o plano contém infinitos pontos. Podemos marcar vários pontos numa reta, concluímos que: A reta contém infinitos pontos.

4 Retas concorrentes Quando colocamos duas varetas sobre uma mesa, quase sempre, encontram-se em algum ponto. Neste caso dizemos que as duas varetas representam retas concorrentes, retas que concorrem ou se encontram num ponto. Podemos, então, concluir que: Duas retas concorrentes têm um ponto (único) comum, um ponto que pertence às duas. Retas paralelas Vamos voltar ao exemplo das duas varetas jogadas ao acaso sobre uma mesa. Algumas varetas podem não se encontrarem em nenhum ponto, mesmo quando estendidas indefinidamente. Neste caso, chamamos as retas de paralelas, quando duas retas coplanares não têm ponto comum. O segmento de reta Imagine dois pontos, A e B, sobre uma reta. Eles dividem essa reta em três partes. A parte que está entre A e B chama-se segmento de reta, ou apenas segmento, AB (ou BA), que tem como extremidades os pontos A e B. As outras duas partes são chamadas de semi-retas. O segmento é limitado, pois não se estende além de suas extremidades. O espaço, o plano e a reta não têm extremidades, estendem-se indefinidamente, ou seja, não têm fim. Triângulos e quadriláteros - o triângulo, formado por três segmentos (3 lados); - o quadrilátero, formado por quatro segmentos (4 lados). O paralelogramo tem dois pares de lados opostos (seguimentos de retas) que são paralelos. Exercícios 1) Para resolver esta desenhe as retas em um papel. Considere três retas (r, s e t) situadas no mesmo plano. O que podemos afirmar sobre r e t, quando: a) r é paralela a s, e s é paralela a t? Resposta: As retas r e t são b) r é perpendicular a s, e s é paralela a t? Resposta: As retas r e t são c) r é perpendicular a s, e s é perpendicular a t? Resposta: As retas r e t são ) Na figura a seguir, quais retas são concorrentes entre si? E quais são as paralelas?

5 Ângulo Os ângulos estão sempre presentes em nossa vida e quase não nos damos conta disso. Conforme a hora que marcam, os ponteiros de um relógio se afastam ou se aproximam, aumentando ou diminuindo a abertura entre si. Ou seja, o que varia é o ângulo que se forma entre eles. Para movimentar uma tesoura, precisamos abri-la e fechá-la continuamente, aumentando ou diminuindo a abertura entre as lâminas, ou seja, variando o ângulo entre elas. Afinal, o que é um ângulo? Vamos representar um plano e, nele, duas semi-retas que não coincidem e que têm a mesma origem, isto é, partem do mesmo ponto. Repare que, dessa forma, as semi-retas separam o plano em duas regiões. Cada uma dessas regiões, junto com as semi-retas, forma um ângulo. Temos, assim, dois ângulos determinados. Ângulo é o nome que se dá à abertura formada por duas semi-retas que partem de um mesmo ponto. Como medir um ângulo Se dois ou mais ângulos têm a mesma abertura, também têm a mesma medida. E essa medida é determinada pela abertura de seus lados. Em geral, o instrumento utilizado para realizar medidas de ângulos é o transferidor. Unidades de medida de angulos Os ângulos são medidos em graus (1º) - e as subunidades dos graus são os minutos (1º = 60') e os segundos (1' = 60"). Veja como fazer a conversão entre essas unidades. Suponha que você tenha que converter o ângulo de 30,1. A parte decimal é 0,1 assim usando a regra de três simples obtemos 0,1 = 7,. Repetindo o processo para calcular os segundos, ou seja 0, = 1". Reagrupando tem-se que 30,1 é igual 30 7' 1''. Outra unidade de medida de ângulos que facilita alguns cálculos envolvendo é o radiano. Sabendo que o comprimento de uma circunferência em radiano é igual a π rad, então como o comprimento de uma circunferência equivale a uma volta completa que é o mesmo que 360º, podemos concluir que 360º = π rad. Portanto, a metade de uma volta completa em uma circunferência é 180º, concluindo que seria também a metade da medida em radiano de uma volta completa, então 180º = π rad. A partir daí podemos encontrar qualquer medida de ângulos em radiano através da regra de três. Por exemplo, qual seria a medida do ângulo 60º em radianos? Logo 60º = π 3 rad. Classificando ângulos Um dos ângulos que mais se destacam na vida cotidiana é o ângulo reto, ou seja, o ângulo de 90. Ele aparece em todo canto, como, por exemplo, em folhas de caderno, mesas retangulares ou janelas, paredes e portas.

6 Outro ângulo que recebe nome especial é o ângulo que mede 180º. Neste tipo de ângulo, as duas semi-retas que formam os lados estão sobre uma mesma reta, e ele é chamado ângulo raso (ou ângulo de meia-volta). Como o ângulo reto é o mais utilizado, os outros foram classificados a partir dele, chamando-se: - ângulo agudo, quando é menor que o ângulo reto; - ângulo obtuso, quando é maior que o reto. Retas perpendiculares As retas são perpendiculares se elas forem concorrentes e formares um ângulo reto. Ângulos suplementares Observando com atenção duas retas concorrentes, concluímos algumas coisas importantes sobre os ângulos que elas formam. Os ângulos AO C e CO D formam um ângulo raso (logo, somam 180 ). O mesmo acontece com os ângulos AO C e AO B ou com quaisquer outros ângulos vizinhos. Dois ângulos que somam 180. Duas retas concorrentes formam quatro ângulos, tais que quaisquer dois ângulos vizinhos são suplementares. Ângulos opostos pelo vértice Ao comparar, os ângulos CO D e AO B, percebemos o que eles são iguais. De fato como AO C + CO D = 180 = AO C + AO B Então CO D = AO B. Assim provamos que: Ângulos opostos pelo vértice são congruentes. Retas paralelas cortadas por uma transversal Com um transferidor, vamos medir os ângulos ED P e AP C. Podemos concluir que ED P = AP C. Este experimento comprova o seguinte enunciado. Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos correspondentemente iguais. Exercícios 1) Quanto mede o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando marcam (em graus e em radianos): a) 15 horas: b) 1 horas: c) 16 horas: d) 18 horas: ) Converta os ângulos abaixo em radianos: a) 37º 4 7 b) 30º ) classifique as seguintes os ângulos segundo suas medidas: a) 30 b) 10 c) 95 d) 45

7 4) Em cada um destes pares de retas concorrentes, quanto medem os ângulos x, y e z? 5) Qual a medida dos ângulos x e y? POLÍGONOS A regularidade de formas encontradas na natureza tem chamado a atenção do ser humano há muitos séculos. Ao observar e estudar essas formas, o homem tem aprendido muitas coisas. Com as abelhas, por exemplo, ele compreendeu que o formato dos favos de mel é muito bom para guardar objetos com grande economia de espaço. A grande maioria dos problemas práticos em que podemos aplicar nossos conhecimentos geométricos fala de figuras tais como retângulos, quadrados, triângulos, hexágonos e outros polígonos. Polígonos são figuras formadas por segmentos de reta (seus lados) dispostos numa linha poligonal fechada. Para falar desses elementos dos triângulos, a Matemática usa uma convenção universal. Com letras maiúsculas representamos os vértices, pois eles são pontos do plano. Aqui estão alguns exemplos de polígonos: Triângulo ABC: Os pontos A, B e C são os vértices; Os segmentos AB, BC e AC são os lados (3 lados); A, B e C são os ângulos. Quadrilátero UTVX: Os pontos U, T, V e X são os vértices; Os segmentos UT, TV, VX e XU são os lados; U, T, V e X são os ângulos. Pentágono IJKLM: Os pontos I, J, K, L e M são os vértices; Os segmentos IJ, JK, KL, LM e MN são os lados (4 lados); I, J K, L e M são os ângulos. Hexágono NOPQRZ: Os pontos N, O, P, Q, R e Z são os vértices. Os segmentos ZN, NO, OP,, PQ, QR e RZ são os lados (6 lados); N, O ; P, Q, R e Z são os ângulos. Há também octógonos (8 lados), decágonos (10 lados), dodecágonos (1 lados) etc. Os polígonos podem ser classificados como regulares ou irregulares. Polígonos regulares: lados e ângulos têm a mesma medida Polígonos irregulares: lados e ângulos não têm a mesma medida

8 TRIÂNGULOS O triângulo é uma figura geométrica muito utilizada em construções. Você já deve ter notado que existem vários tipos de triângulo. Soma dos ângulos internos de um triângulo Usando um transferidor, para medir os ângulos de todo triângulo, vamos chegar a seguinte conclusão: que a soma dos ângulos de um triângulo é um ângulo raso! De outro modo se dobrarmos os triângulos de papel para reunir os três ângulos em volta do mesmo ponto, chegamos a mesma conclusão. Usando recortes e colagens, podemos mostrar com bastante facilidade que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180º. Ou seja: α + β + γ = 180 Agora vamos tomar o triângulo da figura seguinte para tentar provar que a soma dos três ângulos é de fato um ângulo raso. Para escolhemos o vértice A e, por ele, traçamos uma reta paralela à base BC. Como vimos na aula passada, se duas retas paralelas cortadas por uma transversal, vemos que os ângulos vizinhos do ângulo α são iguais aos ângulos β e γ. Primeiro, a transversal é AB, e, portanto, o ângulo à direita de α é igual a γ; e, depois, a transversal é AC, e o ângulo à esquerda de α é igual a β. Conclusão: α, β e γ formam um ângulo raso. Assim, se você conhece dois ângulos de um triângulo, pode sempre descobrir a medida do terceiro ângulo. Vejamos como seria resolvido esse problema usando os mesmos exemplos acima. O resultado é encontrado subtraindo-se de 180º da soma dos ângulos que você já conhece. 180 ( ) = = 60 Neste exemplo, você não conhece nenhum dos três ângulos, mas sabe que os três possuem medidas iguais. Basta então dividir o total por = 60 Classificação dos triângulos Assim como as retas no plano, os triângulos também recebem nomes especiais conforme os ângulos formados entre seus lados. Triângulo acutângulo: possui os 3 ângulos agudos. Triângulo retângulo: possui 1 ângulo reto e ângulos agudos. Triângulo obtusângulo: possui 1 ângulo obtuso e ângulos agudos. Outro tipo de classificação utilizado é classificação conforme a medida dos seus lados. Triângulo equilátero: possui os 3 lados com a mesma medida.

9 Triângulo isósceles: possui lados com a mesma medida e o terceiro lado com medida diferente. Triângulo escaleno possui os 3 lados com medidas diferentes. Exercícios 1) Se eu pedir a um amigo, por telefone, que pegue três varetas e faça um triângulo com ângulos de 77, 69 e 34, será que posso ter certeza de que ele fará um triângulo exatamente igual ao que eu estou imaginando? ) Responda a) Quanto mede o terceiro ângulo de um triângulo em que os outros dois ângulos medem 50 e 70? b) Conhecendo os três ângulos de um triângulo, sabemos qual é a sua forma? E seu tamanho? c) É possível construir um triângulo quando seus lados medem 8 cm, 4 cm e 3 cm? d) Num triângulo equilátero, quanto mede cada ângulo? 3) Observe os triângulos abaixo e classifique-os quanto aos ângulos e quanto aos lados. 4) Já sabemos que em qualquer triângulo a soma dos três ângulos internos é 180º. Será que existe uma propriedade desse tipo para quadriláteros, em geral? Isto é: a soma dos ângulos de um quadrilátero (polígono de quatro lados) é sempre a mesma ou depende da forma do quadrilátero? Sugestão: Quando traçamos uma das diagonais de um quadrilátero, ele fica dividido em dois triângulos. 5) O losango é um polígono regular? Por quê? ÁREAS Calculando áreas Existem muitas situações práticas que envolvem o cálculo de áreas, como veremos nos exemplos a seguir. Um pedreiro, ao ser chamado para colocar azulejos em uma parede, começará seu trabalho calculando a área das paredes que vão ser revestidas. Depois, ele vai comprar o material e, quando pedir os azulejos, o balconista certamente lhe perguntará quantos metros quadrados ele deseja. Assim, calculando a área das paredes, e das portas e janelas, o azulejista poderá pedir a quantidade certa de azulejos, evitando a falta ou o desperdício de material. Uma vez elaborado o projeto de uma casa, é necessário preparar seu orçamento. É preciso saber, por exemplo, qual a quantidade de tijolos a ser usada na obra. Para isso, devemos saber quantos metros quadrados de parede a casa terá. Esse cálculo é necessário não apenas para saber a quantidade de material que se deve comprar, mas também para avaliar o custo da mão-de-obra que vai ser utilizada.

10 Esses são alguns dos exemplos que mostram que o cálculo de áreas faz parte do dia-a-dia de muitos profissionais. Definição geral de área É possível associar a cada polígono P um número real não-negativo, chamado de área de P, com as seguintes propriedades: 1) Polígonos congruentes tem áreas iguais. ) Se P é um quadrado com lado unitário, então área de P é igual a 1. 3) Se P pode ser decomposto como reunião de n polígonos P 1,, P n tais que dois quaisquer deles tem em comum no máxima alguns lados, então a área de P é a soma das áreas dos P i. Como medir áreas Convencionaremos tomar como unidade de área um quadrado cujo lado mede 1 unidade de comprimento. Esse quadrado é chamado de quadrado unitário. Logo para medir a área de uma figura comparamos com o quadrado unitário. O resultado da comparação é um número positivo, ao qual chamamos de área. Unidade de área Quando medimos uma área, queremos saber o espaço que uma superfície ocupa. Para isso, temos unidades de medida específicas. Se a unidade for o metro ou seja a área é 1 m então a área desse quadrado é 1 metro quadrado ou 1 m². Vamos recordar as unidades de área mais usuais. Metro quadrado (m²): é a superfície de um quadrado de 1 metro (1 m) de lado. Quilômetro quadrado (km²): é a superfície de um quadrado de 1 quilômetro (1 km) de lado. Centímetro quadrado (cm²): é a superfície de um quadrado de 1 centímetro (1 cm) de lado. Existem ainda: o hectômetro quadrado (hm²), o decâmetro quadrado (dam²), o decímetro quadrado (dm²) e o milímetro quadrado (mm²). No Brasil, costuma-se usar o hectare (ha) ou o alqueire para medir grandes extensões de terra. Um hectare (ha) é igual m². Já o alqueire não é uma medida uniforme para todo o país. Existem: - o alqueire paulista, que vale 4 00 m²; - o alqueire mineiro, que vale m² (o dobro do paulista) e - o alqueire do Norte, que vale 7 5 m². Mudando de unidade Sabendo que em 1 centímetro cabem 10 milímetros, então em 1 centímetro quadrado cabem 100 milímetros quadrados, ou seja: 1 cm² = 10mm 10 mm = 100 mm² Um problema de herança Um homem decidiu dividir um terreno entre seus filhos: Abel e Cássio. Após desenhar a planta do terreno em papel quadriculado, ele chegou à divisão mostrada na figura seguinte. Afinal, a divisão foi justa? Podemos considerar cada quadradinho como uma unidade de área. Contando os quadradinhos da parte que coube, por exemplo, a Abel, temos 1 unidades de área. Fazendo o mesmo com a parte que cabe a Cássio também temos

11 1 unidades. Sendo assim, houve justiça na divisão do terreno, pois todos receberam a mesma área. Área de retângulos O retângulo é uma das figuras geométricas mais comuns que encontramos na vida diária, como podemos constatar em nossas casas, móveis e utensílios. No problema da herança, para calcular a área de terreno que coube a cada filho, contamos quantos quadradinhos (unidades de área) cabem em cada terreno. Chegamos a 1 unidades, nos dois casos. Mas, não era necessário contar os quadradinhos um por um. É fácil observar que: O terreno de Abel tem: 6 = 1 unidades de área. O terreno de Cássio tem: 3 4 = 1 unidades de área. Portanto: a área de um retângulo é igual ao produto dos seus lados. Área do retângulo = comprimento largura A = ba Área do paralelogramo Da área do retângulo, passa-se facilmente para a área do paralelogramo. Um paralelogramo é um quadrilátero no qual os lados opostos são paralelos. Quando se toma um lado do paralelogramo como base, chama-se altura do paralelogramo a um segmento de perpendicular que liga a base ao lado oposto (ou ao seu prolongamento). Observe as figuras abaixo. Podemos cortar um pedaço do paralelogramo e encaixá-lo do outro lado, transformando o paralelogramo num retângulo: A área do paralelogramo é, assim, igual à área do retângulo obtido, ou seja, ao produto das medidas da base pela altura: A = bh Área do losango O losango é uma figura geométrica de lados iguais e diagonais perpendiculares. Podemos construir um retângulo de tal forma que o losango fique inscrito nessa construção. Observe que, dessa forma, a área do losango é metade da área do retângulo, sendo determinada em função de suas diagonais: Diagonal maior (D) diagonal menor (d). A = Dd Área do trapézio O trapézio é um quadrilátero com dois lados paralelos, chamados bases: Construa dois trapézios iguais e encaixe-os, colocando um deles de cabeça para baixo em relação ao outro. A figura obtida é um paralelogramo cuja área é o dobro da área do trapézio. Dessa forma, a área do trapézio é: (B + b)h A =

12 Exemplo Um terreno em forma de trapézio tem 75 m na base menor, 100 m na base maior e 40 m de altura. Qual a área desse terreno? ( ) A = = = 7000 = 3500 Logo, a área do terreno é de m. Área do triângulo Usaremos um raciocínio semelhante ao que usamos para determinar a área do trapézio. Assim, construímos dois triângulos iguais: Encaixando-os, como na figura da esquerda, obtemos um paralelogramo cuja área é o dobro da área do triângulo. Como a área do paralelogramo é determinada pelo produto da base pela altura, a área do triângulo é igual à área do paralelogramo dividida por dois. A = bh Se o triângulo for retângulo, a área pode ser calculada multiplicando-se os catetos e dividindo o resultado por. A = bh Decompondo figuras planas Usando a definição (c) de volume, podemos obter a área de qualquer polígono pode ser dividido num certo número de triângulos, quadros ou outros polígonos mais simples cuja as áreas são mais fácies de serem calculadas. Exemplo Calcule a área da figura: Podemos decompor essa figura da seguinte maneira: Calculamos, então, a área de cada uma das figuras: (1) é um trapézio de área: (3 + 4,5) 1,5 = 5,65 cm () é um paralelogramo de área: 4,5,5 = 11,5 cm (3) é um triângulo de área: 4,5 3 = 6,75 cm Somando os três resultados, temos a área da figura dada: 5, ,5 + 6,75 = 3,65 Assim, a área da figura é 3,65 cm². Cálculo aproximado de áreas Existem figuras planas cujas áreas são obtidas por cálculos aproximados. Exemplo Qual é a área figura do terreno?

13 Quadriculamos a figura tomando, por exemplo, o centímetro quadrado como unidade de área: Contando os quadradinhos internos e os que cobrem a figura, temos: Figura A 43 quadradinhos internos Figura B 80 quadradinhos que cobrem a figura A área da figura, portanto, está entre 43 cm² e 80 cm². Aproximamos os valores encontrados por meio de média aritmética: = 61,5 cm A área da figura é, portanto, 61,5 cm². Observação: Se usarmos uma unidade de área menor, como por exemplo o milímetro quadrado (mm²), o resultado obtido será mais preciso. Exercícios 1) Calcule a área deste terreno desenhado em papel quadriculado: a) Contando os quadradinhos de área unitária. b) Separando-o em retângulos e calculando as respectivas áreas. ) Calcule a área destes paralelogramos: a) b) c) 3) Sabemos que os losangos, são uma classe especial de paralelogramo. Assim demostre a área losango a partir da área do paralelogramo. 4) Calcule a área da figura: 5) Considerando o quadradinho como unidade de área (u), determine o valor aproximado da área da figura: 6) Imagine que você tenha uma sala que pretende alugar. Para isso, precisa calcular a área da sala. Seu chão é coberto de lajotas quadradas cujo lado mede

14 aproximadamente um palmo de 3 cm. A sala é retangular: num lado, existem 17 lajotas, e, no outro, 13. Qual a área da sala? Explique como você resolveu o problema. 7) Um mineiro e um paulista estão discutindo qual deles tem o maior terreno. O paulista diz que é claro que é o seu: "Pois, compadre, se eu tenho 0 alqueires e o compadre só tem 10, quem pode ter mais?" Na realidade, os dois terrenos têm a mesma área. Como se explica isso? TEOREMA DE TALES São atribuídas a Tales muitas descobertas geométricas, entre as quais um teorema com seu nome. Teorema de Tales: Quando três retas paralelas são cortadas por duas retas transversais, os segmentos determinados numa das retas transversais são proporcionais aos segmentos determinados na outra. O teorema acima pode ser rescrito da seguinte forma: Duas retas, AE e BF, cortam três retas paralelas AB, CD e EF. Nessas condições, os segmentos de medidas AC, e CE são proporcionais aos segmentos de medidas BD, e DF. Assim: AC CE = BD DF Logo se os segmentos tiverem os respectivos valores AC = 1, CE =, e DF = 3, podemos encontrar o valor do segmento BD. AC CE = BD DF 1 = BD 3 BD = 3 BD = 1,5 Uma aplicação do Teorema de Tales Na planta de um loteamento, está faltando a medida do lado dos fundos do lote B: Representando por x a medida que desejamos calcular e usando o Teorema de Tales, podemos descobrir essa medida sem efetuar medições. Como as laterais são paralelas, temos: 0 30 = x 480 x = x = Assim, concluímos que o lado dos fundos do lote B mede 16 metros. Semelhança de Triângulos Se aplicarmos o Teorema de Tales num triângulo qualquer vamos obter resultados bastante interessantes sobre os triângulos. Sendo dois triângulos ABC e PNM de modo que P corresponde a A, N corresponde a B, e M a C são triângulos semelhantes, quando: os ângulos de ABC e PNM são correspondentes e iguais (A P, B N e C M); ou os lados de ABC e PNM são correspondentes e proporcionais: PN AB = PM AC = NM BC

15 Esta razão constante é a razão de semelhança de PNM para ABC. Dá para perceber que dois triângulos semelhantes têm sempre a mesma forma, sendo um deles uma ampliação ou uma redução do outro. EXEMPLO Seja os triângulos ABC e PNM, tal que os medem os lados ABC AB = 6 cm, AC = 8 cm e BC = 7 cm, e os lados de PNM medem NM = 3,5 cm, PN = 3 cm e PM = 4. Então temos a proporção: PN PM NM = 3,5 = 1 BC 7 = 3 = 1 = 4 = 1 AB 6 AC 8 Neste caso, dizemos que ABC e PNM são triângulos semelhantes e a razão da semelhança do triângulo PNM em relação ao triângulo ABC é 1. Observe que apesar dos dois triângulos ABC e PNM não serem iguais eles têm os mesmos ângulos (P = A, N = B e M = C ). Exercício 1) Nas figuras abaixo, calcule o valor de x (as retas a, b e c são paralelas). a) b) ) A planta abaixo mostra as medidas de dois terrenos. Calcule as medidas de suas frentes, sabendo que as laterais são paralelas e que a medida de AB é 90 metros. 3) Observe o desenho abaixo e descubra qual deve ser o comprimento da ponte. 4) Qual é a altura de um obelisco cuja sombra é fácil de ser medida.

16 TEOREMA DE PITÁGORAS O triângulo retângulo Num triângulo retângulo, os lados recebem os seguintes nomes: hipotenusa e cateto. A hipotenusa é o maior dos lados e é o lado oposto ao ângulo reto. A área do quadrado formado sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados formados sobre os catetos. Para demonstra esse teorema utilizamos as figuras abaixo, com triângulos e o quadrado: Observe que o quadrado ao centro da figura tem lado a, portanto, sua área é igual a a. Movimentando os triângulos observamos que os dois quadrados têm lados b e c. Portanto, suas áreas são b e c. Como o quadrado grande (de lado b + c) é o mesmo nos dois casos, podemos concluir que a = b + c, assim, deduzimos o Teorema de Pitágoras: Num triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Usando a semelhança de triângulos, podemos demonstrar o Teorema de Pitágoras de outra maneira, bem como aprender outras relações métricas entre os lados de um triângulo retângulo. 1ª relação: O quadrado do cateto maior é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto. ª relação: O quadrado do cateto menor é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto. 3ª relação: O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Exercícios 1) Aplicando o Teorema de Pitágoras, verifique se são retângulos os triângulos que têm estas medidas de lados: a) 6 cm, 8 cm e 10 cm b) 7 cm, 9 cm e 0 cm c) 4 cm, 5 cm e 6 cm d) 13 cm, 1 cm e 5 cm

17 ) Desenhe um triângulo retângulo e construa triângulos retângulos e isósceles sobre seus catetos e sua hipotenusa, conforme este modelo: Em seguida: a) calcule a área de cada um dos triângulos com de lados a, c e b, desenhados sobre os catetos e sobre a hipotenusa; b) some as áreas dos triângulos desenhados sobre os catetos e compare com a área do triângulo desenhado sobre a hipotenusa. O que você concluiu? 3) Em cada um destes itens, calcule o terceiro lado do triângulo; desenhe o triângulo e confirme. Todas as medidas estão em cm: a) a = 17 b = 15 b) b = 10 c = 10 c) a = 1, 1 c = 6 4) Usando as relações métricas no triângulo retângulo, calcule as medidas indicadas na figura: 5) As diagonais de um losango medem 18 cm e 4 cm. Calcule a medida do lado desse losango. 6) Calcule a medida da diagonal do quadrado cujo perímetro mede 4 cm. TRIGONOMETRIA Agora vamos descobrir como podemos estabelecer relações entre os ângulos de um triângulo retângulo (ângulos agudos) e seus lados. Relacionando lados e ângulos Você já sabe que, em todo triângulo retângulo, os lados são chamados hipotenusa (o maior lado) e catetos (lados perpendiculares). Precisamos, em função do ângulo, diferenciar a nomenclatura dos catetos. O cateto que fica em frente ao ângulo agudo que estamos utilizando chama-se cateto oposto, e o cateto que está sobre um dos lados desse ângulo chama-se cateto adjacente. Observe que, se o ângulo do problema for o outro ângulo agudo do triângulo, a nomenclatura oposto e adjacente troca de posição, pois depende do ângulo utilizado.

18 Repare que os o triângulos ABC e APQ são semelhantes logo temos as seguintes proporções: BC AC = PQ cateto oposto = AQ hipotenusa AB AC = AP cateto adjacente = AQ hipotenusa BC AB = PQ AP = cateto oposto cateto adjacente Como esse triangulo é um triangulo retângulo então tem um ângulo reto (90 ), e assim é semelhante a todo triangulo retângulo com um dos ângulos agudo θ. Logo temos uma relação entre o ângulo θ e as proporções entre o cateto oposto e a hipotenusa (ou o cateto adjacente e hipotenusa, ou o cateto oposto e cateto adjacente). Essas relações são chamadas de relações trigonométricas e recebem os seguintes nomes. cateto oposto A primeira é chamada seno do ângulo θ: sen θ = A segunda é chamada cosseno do ângulo θ: cos θ = A última denomina-se tangente do ângulo θ: tan θ = Existem processos para calcular senos, cossenos e tangentes com muitas casas decimais exatas. Hoje em dia, muitas calculadoras já trazem teclas com essas funções. Para usá-las, basta digitar a medida do ângulo e depois a tecla correspondente à função desejada. Outro recurso muito utilizado é consultar uma tabela trigonométrica. hipotenusa cateto adjacente hipotenusa cateto oposto cateto adjacente Ângulo Seno Cosseno Tangente Exemplo Uma escada está apoiada em um muro de m de altura, formando um ângulo de 45º. Forma-se, portanto, um triângulo retângulo isósceles. Qual é o comprimento da escada? Usando o cosseno do ângulo de 45º que a escada forma com o muro, descobrimos o valor de x, que será o comprimento da escada. cos 45 = x Como podemos ver na tabela cos 45 = logo x = Exercício 1) Determine a medida do lado de um quadrado cuja diagonal é: a) 4 cm b) cm ) Use uma calculadora ou um computador para fazer a tabela trigonométrica do ângulos 0, 1,,, 90, com até três casas decimais. 3) Consulte esta tabela trigonométrica e dê os valores de: a) sen 5º, cos 5º, tan 5º b) sen 38º, cos 38º, tan 38º c) sen 0º e cos 70º d) sen 70º e cos 0º 4) Através da tabela de os valores dos ângulos agudos de um triângulo retângulos, sabendo que seus catetos medem 4 m e 3 m. 1 3

19 5) Num hexágono regular (lados e ângulos iguais), o segmento a da figura chama-se apótema e o segmento r é o raio da circunferência circunscrita. Sabendo-se que um hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros, obtenha a e r em função do lado l do hexágono. A inclinação de um telhado Como calcular a inclinação (caimento) de um telhado é um dos assuntos que envolvem o curso de práticas profissionais ou ainda cálculos para elaboração de desenho arquitetônico na faculdade de arquitetura ou engenharia civil. Antes vamos enumerar algumas definições básicas importantes: O tipo de telha: Temos que ter conhecimento prévio do tipo de telha a ser aplicada no projeto, independente do material da telha. O tamanho da telha: quanto maior a telha, menor a inclinação, e vice-versa. A unidade de medida: Adote uma única unidade de medida, ou metro ou centímetro. A inclinação da telha: cada tipo de telha possui sua inclinação própria que é determina pelo seu tamanho. Recomenda-se antes de se iniciar o cálculo, que o projetista verifique com o fabricante da mesma a inclinação recomendada. A inclinação dos telhados é medida em porcentagem (%) e não em ângulo (º). Como calcular a inclinação de um telhado Se você decidir usar telha de amianto (que é chamado vulgarmente de eternit), o telhado possuirá uma inclinação de 10%. Mas o que exatamente isso significa? Significa que 10% = 10m/100m, ou seja, a cada 1 metro na horizontal, o telhado avança 10cm (ou 0,1 m) na vertical. Logo para calcular o ângulo α podemos usar a função arco tangente. Assim tg α = 10% = = 1 10 logo α = arc tg ,71 Se você decidir usar telha de amianto, o ângulo de inclinação pode ser um ângulo de 10º. O mesmo raciocínio serve para todos os telhados com diferentes inclinações. Cálculo de inclinação de um telhado na prática. Calcule a altura final da cumeeira de um telhado com águas com as seguintes dimensões: Largura total = 8,0 metros; Inclinação de 30%, (inclinação que informada pelo fabricante da telha)

20 Solução: O telhado terá 8,0m de largura com duas águas, a cumeeira deve estar no meio da cobertura, ou seja, nos 4,0m. Então se o telhado tem inclinação de 30% = 30/100 = 30cm de altura a cada 1 m de largura, logo a cada 4,0 de largura temos 10 cm ou a 1, m de altura. Ou podemos usar a semelhança de triângulos onde h é altura da cumeeira: h = 4 30 % = 1,0 m Exercícios 1) Para decidir com um carpinteiro qual o ângulo de inclinação que seu telhado terá, você precisa saber que tipo de telha irá utilizar. Um carpinteiro nos informou que, para usar telhas francesas, o telhado pode ter um caimento de 45%. a) Calcule o ângulo α (em grau) usando a função arco tangente (valor aproximado com duas casa decimais). b) Calcule a altura final da cumeeira de um telhado com águas com largura total de 10 metros. ) Qual é o caimento de um telhando que tem um ângulo de declividade de 5º. O círculo e o número π As formas circulares aparecem com freqüência nas construções e nos objetos presente em nosso mundo. As formas circulares estão presentes: nas moedas, nos discos, roda do carro... Quando riscamos no papel ou no chão apenas o contorno do círculo, este contorno é chamado circunferência. Uma circunferência no quadro, pode ser feito utilizando uma tachinha, um barbante e um giz. Algumas definições importantes Corda é o segmento que une dois pontos quaisquer da circunferência. Diâmetro é uma corda que passa pelo centro da circunferência. Observe que o diâmetro (d) é sempre a corda maior e sua medida é igual a duas vezes a medida do raio (r). (d = r) O comprimento da circunferência Várias circunferências nos levam a concluir que seu comprimento de qualquer circunferência depende da medida do diâmetro. Usando diferentes objetos com a forma circular, vamos medir o comprimento das circunferências e de seus diâmetros. No quadro abaixo foram anotadas algumas medidas dos comprimentos e diâmetros de várias objetos circulares. Na última coluna dividimos cada medida obtida do comprimento (C) pela medida do diâmetro correspondente (d).

21 OBJETO MEDIDO COMPRIMENTO (C) DIÂMETRO (d) C/d Pires de xícara 47 cm 15 cm 3, Prato de refeição 73,5 cm 3,4 cm 3, Pirex de vidro 84,8 cm 7 cm 3, Fundo de copo 155 mm 49 mm 3, Moeda 69 mm mm 3, Faça você mesmo mais algumas medidas e verifique que a razão C/d se aproxima de um número constante quanto mais precisas forem essas medidas. Este número é conhecido como pi, simbolizado pela letra grega π, que é um número irracional e possui infinitas casas decimais, mas na prática utilizamos apenas uma aproximação de seu valor. π = 3, ou π 3,14 Na prática, de acordo com os exemplos, não obtivemos o resultado 3,14 em todas as razões C/d. Isso ocorre porque é impossível obter medidas exatas com os métodos que utilizamos. Da mesma forma que nossas medições são aproximadas, o resultado das divisões também é uma aproximação. O cálculo da medida do comprimento de uma circunferência, quando conhecemos a medida de seu raio, pode ser feito por meio da relação acima. C = π C = πd C = πr d Exercício 1) Uma praça circular tem 00 m de raio. Quantos metros de grade serão necessários para cerca-la? ) Complete a tabela abaixo: (Sugestão: use a aproximação π = 3,14) RAIO (r) DIÂMETRO (d) COMPRIMENTO (πr) cm 4 cm 1,56 cm 1 cm 5 cm 18,84 cm A área do círculo Desde os tempos mais antigos os matemáticos se preocupam com o problema de determinar a área do círculo. O procedimento mais usado foi o método da exaustão, que foi obtido por Arquimedes. Este procedimento consiste em aproximar a figura dada por meio de outras, cujas áreas são conhecidas. Assim a área do círculo pode ser aproximada por falta pela área de polígonos regulares inscritos neste círculo. Por outro lado, a área do círculo pode ser aproximada por excesso pela área de polígonos regulares nele circunscritos. Um polígono regular está inscrito num círculo quando seus vértices estão sobre a circunferência e seus lados são cordas. O polígono está circunscrito ao círculo quando seus lados são tangentes à circunferência. Os vértices de um polígono regular inscrito num círculo dividem a circunferência em partes iguais. A perpendicular baixada do centro do círculo sobre o meio do lado chama-se apótema. Se o polígono é inscrito, o apótema é menor do que o raio; se é circunscrito, seu apótema é igual ao raio do círculo. Assim, indiquemos com P n e Q n os polígonos regulares de n lados, respectivamente inscrito no, e circunscrito ao, círculo C de raio r.

22 Seja A Pn a área do polígono P n (inscrito na circunferência) é o produto dos lados (l n ) pelo apótema (a n ) e o número de lados (n) dividido por, ou seja: A Pn = n l na n = p na n onde p n = nl n é e o perímetro do polígono P n. Seja A Qn a área do polígono Q n (circunscrito na circunferência) é o produto dos lados (L n ) pelo raio r e o número de lados (n) dividido por, ou seja: A Qn = n L nr = q nr onde q n = nl n é e o perímetro do polígono Q n. Como exemplo, vamos apresentar o cálculo da área dos polígonos para um círculo de 10 cm de raio: se n = 4 temos l 4 = r = 10, a 4 = r / = 5 e L 4 = r = 0 logo a área dos polígonos P 4 e Q 4 será: A P4 = = = 00 cm A Q4 = = 4 00 = 400 cm se n = 6 temos l 6 = r = 10, a 6 = r 3/ = 5 3 e L 6 = r 3/3 = 0 3/3 logo a área dos polígonos P 6 e Q 6 será: A Q6 = 6 0 3/3 10 A P6 = = /3 = = ,807 cm = ,41 cm se n = 8 temos a 8 9,38, p 8 30,614 e L 8 33,137 logo a área dos polígonos P 8 e Q 8 será: A P8 30,614 9,38 8,84 cm A Q8 33, ,37 cm se n = 10 temos p 10 3,09, a 10 9,51 e L 10 3,49 logo a área dos polígonos P 10 e Q 10 será: A P10 3,09 9,51,93,89 cm e A Q10 3, ,919 cm se n = 100 temos p ,41, a 100 9,995 e L ,46 logo a área dos polígonos P 100 e Q 100 será: A P100 31,41 9, ,95 cm e A Q100 31, ,6 cm se n = 1000 temos p ,415, a ,999 e L ,416 logo a área dos polígonos P 1000 e Q 1000 será: A P ,415 9, ,157 cm e A Q , ,16 cm É evidentemente que A Pn < 100π < A Qn. Fazendo n crescer cada vez mais, isto e, n +, os polígonos P n e Q n toma-se uma aproximação do círculo. Os perímetros p n e q n aproxima-se do comprimento do círculo πr e a o valor apótema e h n aproxima-se do raio r. Temos, lim A P n n = πrr = πr e lim A Qn = πrr = πr n Logo obtemos a formula da área do círculo. Podemos ilustrar a idéia da área do círculo imaginamos que o círculo seja formado por várias circunferências concêntricas. Depois, imaginamos também que podemos cortar essas circunferências e esticá-las. A figura que obtemos, então, é um triângulo retângulo com área equivalente ao círculo. Observe o triângulo abaixo. Sua altura é igual ao raio do círculo e sua base mede πr, isto é, o comprimento da maior circunferência que é a fronteira do círculo.

23 Área do círculo = área do triangulo equivalente ao circulo Área do círculo = base altura πr r = = πr Portanto a área do círculo depende da medida de seu raio. Outra maneira de ilustrar a idéia da área do círculo é dividir o círculo em 16 partes iguais. Cada uma destas partes é denominada setor circular. O setor circular é uma região limitada por um arco de circunferência e por dois raios. Podemos pegar a metade destes setores e arruma-los de maneira que a outra metade pode ser encaixada sobre esta, de forma a não deixar espaços vazios. Essa figura ainda não é um quadrilátero, pois dois de seus lados são formados por arcos sucessivos e não por segmentos de reta. No entanto, usando um pouco a imaginação, podemos dividir nosso círculo em setores circulares cada vez menores. Repetindo o que fizemos com as 16 partes vamos pegar a metade dos setores em uma certa posição e encaixarmos sobre estes a outra metade. Note que nos aproximamos muito mais de um retângulo de altura igual ao raio e comprimento igual a metade do comprimento da circunferência deste círculo. Área do círculo = área do retângulo equivalente ao circulo Área do círculo = πr r = πr Exemplo 1 Vamos agora calcular a área do círculo do de 10 cm de raio. Solução: Como r = 5 cm, r = 5 5 = 5 cm². A área então será: Área do círculo = 5π 3,14 5 = 78,5 cm Área do setor circular Muitas vezes estamos interessados em calcular apenas a área de um setor circular ( fatia do círculo). Todo setor circular está associado um ângulo central corresponde um ângulo central. O ângulo central é aquele que tem o vértice no centro da circunferência. O ângulo central máximo, que corresponde a uma volta completa e está associado à circunferência toda, mede 360º. Logo a área do setor circular, é proporcional á medida do ângulo central. Quando conhecemos o ângulo correspondente ao setor circular, podemos calcular a área de um setor circular usando uma regra de três. Exemplo O círculo ao lado tem raio medindo cm. Vamos calcular a área de um setor circular de 45º. Solução: Área do círculo = π = 4π 1,566 cm²

24 Área do setor = x 360º 4π e ai x = 45 4π º x 360º x = π 1,5707 cm Exercícios 1) Um CD tem 1 cm de diâmetro. Calcule a sua área. ) Os dois azulejos da figura são quadrados com 0 cm de lado. Calcule a área da parte colorida em cada um deles. a) b) 3) Calcule a área da figura raio 4 cm 4) Denomina-se coroa circular à região pintada, que é obtida com dois círculos de mesmo centro O e raios diferentes. Na figura os dois círculos têm o mesmo centro. O raio do círculo pequeno é de 5 cm, já o raio do círculo grande é de 8 cm. Calcule a área da coroa circular. 5) Calcule a área do setor circular com raio de 6 cm e ângulo central de: a) α = 45 b) α = 60 c) α = 10 6) Se um círculo com raio de 10 m foi dividido em 9 partes iguais, calcule: a) a área de um dos setores circulares assim obtidos; b) a medida do correspondente ângulo central. 7) No gráfico de setores abaixo, foi utilizado um círculo com cm de raio. Calcule a área de cada setor. 8) Uma pizza tem raio igual a 15 cm e está dividida em 6 fatias. Calcule a área de cada fatia. 9) Uma pizza com 0 cm de diâmetro custa R$ 4,80. Quanto você espera pagar por uma outra do mesmo sabor com 30 cm de diâmetro? (Sugestão: a razão entre as áreas é o quadrado da razão entre os comprimentos diâmetro ou raio).