geometria as razões trigonométricas

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1 Manual de Orientações Metodológicas para o Professor 9 o Ano o Bimestre geometria as razões trigonométricas. ABORDAGEM DOS ASSUNTOS As razões trigonométricas nos triângulos retângulos podem ser abordadas através de atividades de construção de objetos de medição e sua aplicação direta para determinar distâncias impossíveis de serem alcançadas e medidas pelos métodos usuais. Sua aplicação na resolução de problemas do cotidiano é um fator que favorece o entendimento e torna seu estudo ainda mais importante. Propomos também que os alunos construam o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos notáveis, para que o conhecimento seja introjetado, independente de sua memorização, pois caso seja esquecido poderá ser reconstruído.. TEMAS TRANSVERSAIS Pluralidade Cultural: assim como nos fascículos anteriores, a possibilidade da compreensão de fatos cotidianos através da Geometria leva à aplicação dos novos conceitos nas atividades diárias. Observando como estes conceitos foram historicamente utilizados e ainda hoje em dia nos influenciam, podemos dizer que são excelentes referenciais para o estímulo do aluno, em relação ao estudo e aprofundamento de conceitos geométricos. Trabalho e Consumo: muitas atividades profissionais, como as ligadas às áreas de Engenharia, Arquitetura e Agrimensura, bem como as Artes Plásticas, fazem uso de tais conceitos e noções geométricas. Na medida do possível, é recomendável salientar estes exemplos em sala de aula, a fim de que os alunos possam compreender a importância de seu estudo. Provavelmente seus alunos já viram agrimensores trabalhando com teodolitos e trenas na cidade onde moram; assim, as atividades propostas são uma excelente oportunidade não apenas para apresentar os conceitos geométricos, mais também para enfatizar a importância desta área do conhecimento no exercício de algumas atividades profissionais.. ATIVIDADES EXTRAS O uso de softwares como Cabri-Géomètre ( é muito interessante para o trabalho com esses assuntos. Entrevistar um profissional da área de Engenharia, a fim de que este exponha a importância do uso de instrumentos que utilizam noções e conhecimentos geométricos para a medição. Visita a escolas de agrimensura e medição, engenharia e afins. 4. SUGESTÕES ADICIONAIS Para professor e Alunos: Dando corda na Trigonometria, Oscar Guelli, Editora Ática. RESPOSTAS DAS ATIVIDADES 0. a) Aproximadamente,7. b) Ambos têm um ângulo reto e um ângulo de, portanto são semelhantes. c) Sim. Eles são iguais. d) Tangente do ângulo de. 0. Resposta pessoal. 0 a 05. Exercícios resolvidos. 06. A altura da torre é de 4,75 m. 07. Marcos está a aproximadamente,5 m do poste. 08. A tangente é, aproximadamente igual a 0,57. O ângulo mede 0º. 09. O cateto mede aproximadamente,75 0. O cateto mede aproximadamente 6,8. A rampa deverá começar a aproximadamente 8,50 m da entrada.. O ângulo a mede aproximadamente 7º.. A medida da base é aproximadamente 4,6 4. A altura é de aproximadamente 0,8 5. Os ângulos medem aproximadamente 7º e 5º. 6. a) Aproximadamente 0,967. b) Ambos têm um ângulo reto e um ângulo de 75º, logo são semelhantes. c) Sim. Eles são iguais. d) Seno do ângulo de 75º. 7 a 9. Exercícios resolvidos. 0. O cabo de aço mede aproximadamente 9,4 m.. O ângulo x mede 0º.. O rio tem aproximadamente 4,4 m de largura.. Mede aproximadamente 6,9 4. Os lados medem 8 5. Aproximadamente,6 6. Aproximadamente, 7. Os ângulos da base medem aproximadamente 54º. 8. A linha tem 0 m. CPV mangem9fun0

2 Manual de Orientações Metodológicas para o Professor 9. O perímetro é de aproximadamente 4,7 0. a) Aproximadamente 0,5. b) Ambos têm um ângulo reto e um ângulo de, portanto são semelhantes. c) Sim. Eles são iguais. d) Cosseno do ângulo de.. Exercício resolvido.. Exercício resolvido.. Exercício resolvido. 4. Os lados medem aproximadamente 7,5 5. A base mede aproximadamente 5,47 6. O ângulo mede. 7. O ângulo α mede aproximadamente 6º. O ângulo β mede 80º 6º = 54º. 8. A área é de aproximadamente 46,74 cm. 9. A distância é de aproximadamente 4,9 m. 40. A diagonal menor mede 4. O ângulo mede aproximadamente 75º. 4. Eles estão aproximadamente a uma distância de,6 m. 4. O segmento AE mede a) h = a b) sen 45º = ; cos 45º = ; tg 45º = 45. a) Sim, pois a altura é perpendicular à base. b) Sim. Os alunos podem justificar a congruência usando qualquer um dos casos estudados. c) Os lados são: a, h e a d) h = a e) sen = ; cos = ; tg = 46. sen 0º = ; cos 0º = ; tg 0º = a) As razões entre seno e cosseno de cada ângulo estudado são iguais à tangente do ângulo. 48. A altura é A base mede AC mede 5 cm e BC mede,5 5. BC = cm ; AC = cm; CD = 6 cm; AD = 4 cm ; DE = 4 cm; AE = 4 6 cm Enigma A mosca estava a 5 cm do chão. 5. A base mede 8 5. A diagonal mede O valor de x é Os lados medem O valor de x é 0 6 cm. 57. BC = 4 cm; AC = 4 cm; CD = 4 6 cm; AD = 8 6 cm; DE = 8 cm e AE = 6 6 Atividades Suplementares 0. sen α = 0,6 cos α = 0,8 tg α = 0,75 cos β = 0,6 sen β = 0,8 tg β = 4 0. tg BÊA = 0,5 tg CÊA= 0,5 tg DÊA = 0,75 0. O ângulo de lançamento é de aproximadamente 7º. 04. O prédio tem aproximadamente 0,68 m de altura. 05. A diagonal menor mede aproximadamente,66 A diagonal maior mede 8, 06. Os ângulos medem aproximadamente 66º, 66º e 48º. 07. a = cm; b = 6 cm; c = 4 cm e d = 08. Ele terá percorrido 000 m. 09. Ele percorre aproximadamente 8, m. 0. O perímetro é de aproximadamente 40,9 47. Ângulo 0º Seno Cosseno Tangente. Terá percorrido 8000 m.. A aproximadamente 4,6 m.. Sua área é de aproximadamente 87 cm. 4. O rio tem aproximadamente 6 m de largura. 45º Enigma É de aproximadamente 7º. CPV mangem9fun0

3 Manual de Orientações Metodológicas para o Professor polígonos es. Abordagem dos assuntos O assunto polígonos es está muito presente no cotidiano de nossos alunos, que podem observá-los tanto em calçamentos e ladrilhagem como em obras de arte. Sua aplicação na resolução de problemas é um fator que torna seu estudo ainda mais importante, uma vez que manusear e compor tais objetos requer o conhecimento e a aplicação de tais conceitos. Propomos que os alunos construam mosaicos e/ou malhas geométricas com os polígonos es, usando apenas um polígono que se repete ou combinando dois ou mais polígonos es e fazendo sua própria obra de arte. Por esse motivo, dedicamos as Atividades Suplementares às construções geométricas de polígonos es inscritos e circunscritos.. Temas Transversais Pluralidade cultural: assim como nos fascículos anteriores, a Geometria leva-nos à aplicação dos conceitos aprendidos para a compreensão de elementos do dia a dia e, também, da Arte; Meio Ambiente: analisando o Meio Ambiente, podemos notar que alguns elementos que nos rodeiam contêm naturalmente tramas geométricas, como a do casco das tartarugas, a da casca do abacaxi, as colmeias e outras. Trabalho e Consumo: muitas atividades profissionais, tais como as ligadas às áreas de Engenharia, Arquitetura, ladrilhagem, confecção de mosaicos, bem como as Artes Plásticas, fazem uso de tais conceitos e noções geométricas. Assim, na medida do possível é recomendável salientar esses exemplos em sala de aula, a fim de que os alunos possam compreender a importância do seu estudo, para o exercício de tais profissões.. Atividades extras O uso de softwares como Cabri-Géomètre ( é muito interessante para o trabalho com esses assuntos. A consulta ao site permite construções de polígonos es e malhas geométricas ao mesmo tempo em que desenvolve o raciocínio e permite o trabalho com ângulos, como conceito de giro. Resgatar o que foi estudado em séries anteriores na disciplina Arte, solicitando a pesquisa de obras de arte que se baseiam nos conceitos geométricos estudados no fascículo, propondo aos alunos que tragam tais cópias para a sala de aula, discutindo com os demais colegas como o artista explorou a aplicação dos elementos geométricos na composição de sua obra. 4. Sugestões adicionais: Para Professor e alunos: Luiz Márcio Imenes Geometria dos mosaicos Editora Scipione. mangem9fun0 CPV

4 4 Manual de Orientações Metodológicas para o Professor respostas das atividades Em atividade Figura Medidas dos lados Medidas dos ângulos Retângulo Medidas iguais nos lados opostos. Losango Quadrado Todas as medidas são iguais. Todas as medidas são iguais. Medidas iguais nos lados opostos. Justificativa: O quadrado é um quadrilátero, pois tem os lados e os ângulos congruentes. Em atividade Polígono Número de lados Medida do ângulo central Medida do ângulo interno Medida do ângulo externo Triângulo equilátero 0º 0º Quadrado 4 Pentágono 5 7º 08º 08º Hexágono 6 0º Heptágono 7 *5,5º *8,5º *5,5º Octógono 8 45º 5º 45º Eneágono 9 40º 40º 40º Decágono 0 6º 44º 6º Undecágono *,7º *47,º *,7º Dodecágono *Medidas aproximadas 0º 50º 0º CPV mangem9fun0

5 Manual de Orientações Metodológicas para o Professor 5 0. Exercício resolvido. 0. Exercício resolvido. 0. Exercício resolvido. 04. Exercício resolvido. 05. A altura é O apótema mede O raio é 08. a) O lado do triângulo mede 0 b) O raio da circunferência mede O segmento OM mede 0 e o segmento OS mede 0 0. O raio mede cm e o lado do triângulo mede. a) O lado do triângulo mede 9 b) O raio da circunferência mede 9 c) O apótema mede 9 6. a) O lado do triângulo mede 5 b) O apótema mede 5 6 c) O raio da circunferência mede 5. a) O lado do triângulo mede 5 b) O apótema mede 7,5 4. a) O segmento AB mede b) O segmento OR mede 6 c) O segmento AH mede 8 d) O ângulo AÔB mede 0º. 5. Exercício resolvido. 6. Exercício resolvido. 7. Exercício resolvido. 8. Exercício resolvido. 9. a) O raio da circunferência mede 0 b) O apótema do quadrado mede 5 c) O lado do triângulo equilátero mede 0 d) O apótema do triângulo mede 5 0. a) O lado do triângulo mede 4 b) O raio da circunferência mede 4 c) O lado do quadrado mede 4 6. O segmento AB mede cm; O segmento EF mede cm e o segmento OM mede 6.. a) O lado do triângulo mede 6 b) O raio da circunferência que o circunscreve mede 6 c) O lado do quadrado mede d) O raio da circunferência que o circunscreve mede 6 6. O perímetro do triângulo é de O lado do quadrado mede 8 5. O perímetro do quadrado é a) O lado do quadrado mede 48 b) O raio da circunferência que circunscreve o triângulo mede 64 c) O apótema do triângulo mede d) O lado do triângulo mede A altura mede 6 8. a) O apótema do triângulo mede b) O lado do triângulo mede 4 c) O raio da circunferência que circunscreve o quadrado mede 6 d) O lado do quadrado mede 8 9. Exercício resolvido. 0. Exercício resolvido.. Exercício resolvido.. Exercício resolvido.. O lado do hexágono mede 4 cm e o apótema mede 4. O lado do hexágono mede cm e o apótema mede 5. O lado do quadrado mede cm; o do hexágono mede cm e o do triângulo, 6. O raio da circunferência mede 8 O apótema do hexágono mede 4 7. a) O raio da circunferência mede 8 b) O lado do quadrado mede 8 c) O apótema do quadrado mede 4 d) O lado do hexágono mede 4 e) O apótema mede 8. O lado do quadrado mede 0 cm; o lado do hexágono mede 0 cm e o lado do triângulo mede 0 9. O lado do hexágono mede x = 8 cm ; y = 8 cm e z = 4. Os lados do quadrado medem 8 cm e os do hexágono, 4 4. O lado do hexágono mede 7 4. Exercício resolvido. 44. Exercício resolvido. 45. Exercício resolvido. 46. Exercício resolvido. 47. O lado do quadrado circunscrito mede 8 mangem9fun0 CPV

6 6 Manual de Orientações Metodológicas para o Professor 48. O lado do hexágono mede 0 cm e o lado do triângulo mede O lado do quadrado mede 50. O lado do triângulo mede 6 cm, o lado do quadrado mede cm e o do hexágono mede 5. O lado do triângulo mede 8 cm e o do quadrado mede 8 5. O lado do triângulo mede 5. O lado do quadrado mede 54. O lado do quadrado mede O lado do hexágono mede O lado do triângulo mede 6 cm; o lado do quadrado mede 6 cm; o lado do hexágono mede Enigma Se o lado do quadrado mede 8 cm, o raio do círculo é metade de seu lado (apótema do quadrado), ou seja, 4 O lado de um triângulo inscrito nesse mesmo círculo é 4 O apótema desse triângulo é igual ao raio do círculo inscrito no triângulo, 4 que é =. Logo, a diferença entre os raios é de 57. A altura mede Os lados medem A área é de 56,5 cm. 60. As medidas são aproximadamente: a = 4,5 cm e b =,9 cm 6. A folha estava aproximadamente a,4 m de altura. 6. O comprimento da escada é de aproximadamente,0 m. 6. Formaria um ângulo de aproximadamente º com o chão. 64. A linha tem aproximadamente,60 m. 65. Foram usados 40 m de cabo de aço. 66. O valor de a é O ângulo é de aproximadamente 4º. 68. Seria de aproximadamente de,90 m. 69. Sua altura mede 0 Sua base maior mede aproximadamente 49,6 70. PolígonoS lado APótema r Triângulo equilátero inscrito r Quadrado inscrito r r Hexágono inscrito r r 7. O perímetro do quadrado é 4 7. O apótema do triângulo mede 7. A razão é de :. 74. A altura do triângulo é de O perímetro do quadrado mede 76. O perímetro do triângulo mede 77. a) 8 cm b) 6 cm c) 4 cm d) 78. O perímetro do hexágono mede Enigma Largura do rio = x tg 80º = x 5 5,67. 5 = x x 8,5 m arbusto A largura aproximada do rio é 8,5 m. Pedro conseguirá atravessá-lo, pois a palmeira tem 0 m, suficiente para servir de ponte. Atividades Suplementares Em todas as construções a seguir, cabe ao professor verificar a precisão do traçado e a correção da construção. x palmeira 80º 5 m Triângulo equilátero circunscrito r Quadrado circunscrito r Hexágono circunscrito r CPV mangem9fun0