Professores: Elson Rodrigues Marcelo Almeida Gabriel Carvalho Paulo Luiz Ramos

Transcrição

1 Definição; Número de diagonais de um polígono convexo; Soma das medidas dos ângulos internos e externos; Polígonos Regulares; Relações Métricas em um polígono regular; Professores: Elson Rodrigues Marcelo Almeida Gabriel Carvalho Paulo Luiz Ramos

2 AULA 01

3 Existem dois tipos de linhas: As linhas formadas por CURVAS: As linhas formadas por segmentos de RETAS: Linha Poligonal

4 Linhas Poligonais: Com cruzamento Sem cruzamento Abertas Fechadas Formam duas regiões: interna e externa Polígono

5 Definição de Polígono Polígono é uma linha poligonal fechada simples. Um polígono pode ser Convexo ou Não-convexo.

6 Polígono Convexo É aquele no qual QUALQUER segmento de reta formado pela união de dois pontos do seu interior fica inteiramente contido nele.

7 Polígono Não- Convexo É aquele no qual é possível encontrar dois pontos internos tais que o segmento de reta que os une não fica contido inteiramente no seu interior.

8 Nomenclatura Observe que o número de ângulos internos de um polígono é igual ao número de lados do polígono.

9 Elementos de um Polígono Vértice Ângulo externo β Ângulo interno α Lado O ângulo externo é o suplemento do seu respectivo ângulo interno. Assim, temos a i + a e = 180 No caso, Na figura, α + β = 180º

10 Diagonais de um Polígono Convexo Diagonal de um polígono é um segmento de reta que tem por extremidades dois vértices não-consecutivos do polígono. As diagonais de um polígono convexo sempre são internas a ele!! A B

11 Número de Diagonais de um Polígono Convexo Quantas diagonais saem de cada vértice de um triângulo? E de um quadrilátero? E de um pentágono? E de um hexágono? Então podemos dizer que de cada vértice de um polígono de n lados saem diagonais? quantas É correto afirmar que o número de diagonais que saem de cada vértice é o mesmo para todos os vértices? As diagonais de um vértice se sobrepõem às de outro vértice? (Isto é, elas se repetem?) Após essas análises, podemos concluir que o número de diagonais (d) de um polígono de n lados é dado pela fórmula: d = n.( n 3) 2

12 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. Calcule o número de diagonais de um: a) Hexágono; b) Eneágono; c) Icoságono Quantos lados tem um polígono com 20 diagonais? 1.3. (Saresp adaptada) Seis cidades estão localizadas no vértice de um hexágono. Há um projeto para interligá-las, duas a duas, por meio de estradas. Algumas dessas estradas correspondem aos lados do polígono, e as demais correspondem às diagonais. Nessas condições, quantas estradas devem ser construídas?

13 Soma dos ângulos internos de um polígono Todo polígono pode ser decomposto em triângulos quando traçamos as diagonais que partem de um único vértice: Responda: Qual é a relação entre o número de lados do polígono e o número de triângulos formados pelas diagonais de um único vértice?

14 Soma dos ângulos internos de um polígono 4 lados 2 triângulos 2 x 180 = lados 3 triângulos 3 x 180 = lados 4 triângulos 4 x 180 = 720 A quantidade de triângulos será sempre o números de lados menos 2; E como cada triângulo possui a soma dos ângulos internos igual a 180, basta multiplicar a quantidade de triângulos por 180!! Assim, a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é dada pela fórmula: Sn ( n ) = 2 180

15 Soma dos ângulos externos de um polígono convexo Verifique quanto mede a soma dos ângulos externos de um triângulo, de um quadrado e de um hexágono. A que conclusão podemos chegar? Em qualquer polígono a soma dos ângulos externos é: S e = 360º

16 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.4. Calcule a soma das medidas dos ângulos internos de um: a) Pentágono; b) Octógono; c) Icoságono Quantos lados tem um polígono cuja soma das medidas dos ângulos internos é 720? 1.6. Calcule o número de diagonais de um polígono cuja soma das medidas dos ângulos internos é Determine as medidas x, y e z, em graus. TAREFA 1 Unid. 3, Cap. 12: PSA 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 e 12

17 AULA 02

18 Polígonos Regulares Polígonos regulares são aqueles que têm todos os lados congruentes (é equilátero) e todos os ângulos internos com a mesma medida (é equiângulo); NOMENCLATURA - O nome de um polígono regular será dado de acordo com o seu número de lados. Veja alguns exemplos a seguir:

19 ELEMENTOS DO POLÍGONO REGULAR APÓTEMA - Chama-se apótema (a n ) de um polígono regular à distância do centro do polígono regular a um de seus lados. a 6 Note que um segmento de reta com extremidades no centro do polígono regular e no ponto médio de um de seus lados tem medida igual à apótema desse polígono. M

20 ELEMENTOS DO POLÍGONO REGULAR ÂNGULO INTERNO - Seja A i a medida de um dos ângulos internos de um polígono regular. A i = Si n ÂNGULO EXTERNO - Seja A e a medida de um dos ângulos externos de um polígono regular. A e = 360 n Lembre-se que A A 180 i + = e

21 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1. Calcule a medida de um ângulo interno de um: a) Pentágono regular; b) Dodecágono regular; c) Icoságono regular Quantos lados tem um polígono regular cuja medida de um ângulo interno é 120? 2.3. Calcule o número de diagonais de um polígono regular cuja medida de um ângulo externo é 40.

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23 Inscrito ou circunscrito?? Se o desenho mostra um polígono desenhado de tal forma que seus vértices pertencem a uma circunferência, é tão correto dizer que o polígono está inscrito na circunferência quanto que a circunferência está circunscrita ao polígono.

24 Polígono regular inscrito O polígono regular e a circunferência que o circunscreve possuem o mesmo centro; Note que o segmento de reta com extremidades no centro do polígono e em um dos seus vértices, tem medida igual ao raio R da circunferência que o circunscreve. l l R R R l l R a 6 R R l l

25 Inscrito ou circunscrito?? No entanto, se a circunferência não toca os vértices do polígono, é interna ao polígono e intersecta o polígono nos pontos médios de cada um de seus lados, é tão correto afirmar que o polígono está circunscrito à circunferência quanto que a circunferência está inscrita no polígono. l l l Note que a apótema do polígono regular e o raio da circunferência inscrita nele são iguais. l r = a n l l

26 AS RELAÇÕES MÉTRICAS NOS POLÍGONOS REGULARES Note que podemos generalizar os triângulos de cada figura acima, da seguinte maneira: Se n = 3, a = 30 Se n = 4, a = 45 Se n = 6, a = 60

27 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.4. Determine a apótema de um quadrado inscrito em uma circunferência de raio A apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência é igual a 15 cm. Determine a medida de um dos lados desse hexágono Em uma circunferência estão inscritos um quadrado e um hexágono regular. Se a apótema do hexágono é igual a 12 cm, quanto mede um dos lados do quadrado? TAREFA 2 Unid. 3, Cap. 12: PSA 30, 31, 32, 36, 37 e 38

28 MOSTRE QUE VOCÊ SABE... Demonstre as fórmulas que são apresentadas na tabela a seguir!

29 RELAÇÕES MÉTRICAS - tabela Polígono Lado (L) em função do Raio (R) Apótema (a n ) em função do Raio (R) Apótema (a n ) em função do Lado (L) Triângulo Equilátero Quadrado Hexágono