Professores: Elson Rodrigues Marcelo Almeida Gabriel Carvalho Paulo Luiz Ramos

Transcrição

1 Definição; Número de diagonais de um poígono convexo; Soma das medidas dos ânguos internos e externos; Poígonos Reguares; Reações Métricas em um poígono reguar; Professores: Eson Rodrigues Marceo Ameida Gabrie Carvaho Pauo Luiz Ramos

2 AULA 01

3 Existem dois tipos de inhas: As inhas formadas por CURVAS: As inhas formadas por segmentos de RETAS: Linha Poigona

4 Linhas Poigonais: Com cruzamento Sem cruzamento Abertas Fechadas Formam duas regiões: interna e externa Poígono

5 Definição de Poígono Poígono é uma inha Poígono poigona fechada simpes. Não há intersecção entre ados não-consecutivos; Um poígono pode ser Convexo ou Não-convexo.

6 Poígono Convexo É aquee no qua QUALQUER segmento de reta formado pea união de dois pontos do seu interior fica inteiramente contido nee.

7 Poígono Não- Convexo É aquee no qua é possíve encontrar dois pontos internos tais que o segmento de reta que os une não fica contido inteiramente no seu interior.

8 Nomencatura Observe que o número de ânguos internos de um poígono é igua ao número de ados do poígono.

9 Eementos de um Poígono Vértice Ânguo externo β Ânguo interno α Lado O ânguo externo é o supemento do seu respectivo ânguo interno. Assim, temos a i + a e = 180 No caso, Na figura, α + β = 180º

10 Diagonais de um Poígono Convexo Diagona de um poígono é um segmento de reta que tem por extremidades dois vértices não-consecutivos do poígono. As diagonais de um poígono convexo sempre são internas a ee!! A B

11 Número de Diagonais de um Poígono Convexo Quantas diagonais saem de cada vértice de um triânguo? E de um quadriátero? E de um pentágono? E de um hexágono? Então podemos dizer que de cada vértice de um poígono de n ados saem diagonais? quantas É correto afirmar que o número de diagonais que saem de cada vértice é o mesmo para todos os vértices? As diagonais de um vértice se sobrepõem às de outro vértice? (Isto é, eas se repetem?) Após essas anáises, podemos concuir que o número de diagonais (d) de um poígono de n ados é dado pea fórmua: d n.( n 3) 2

12 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. Cacue o número de diagonais de um: a) Hexágono; b) Eneágono; c) Icoságono Quantos ados tem um poígono com 20 diagonais? 1.3. (Saresp adaptada) Seis cidades estão ocaizadas no vértice de um hexágono. Há um projeto para interigá-as, duas a duas, por meio de estradas. Agumas dessas estradas correspondem aos ados do poígono, e as demais correspondem às diagonais. Nessas condições, quantas estradas devem ser construídas?

13 Soma dos ânguos internos de um poígono Todo poígono pode ser decomposto em triânguos quando traçamos as diagonais que partem de um único vértice: Responda: Qua é a reação entre o número de ados do poígono e o número de triânguos formados peas diagonais de um único vértice?

14 Soma dos ânguos internos de um poígono 4 ados 2 triânguos 2 x 180 = ados 3 triânguos 3 x 180 = ados 4 triânguos 4 x 180 = 720 A quantidade de triânguos será sempre o números de ados menos 2; E como cada triânguo possui a soma dos ânguos internos igua a 180, basta mutipicar a quantidade de triânguos por 180!! Assim, a soma das medidas dos ânguos internos de um poígono convexo de n ados é dada pea fórmua: Sn n 2 180

15 Soma dos ânguos externos de um poígono convexo Verifique quanto mede a soma dos ânguos externos de um triânguo, de um quadrado e de um hexágono. A que concusão podemos chegar? Em quaquer poígono a soma dos ânguos externos é: S e 360º

16 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.4. Cacue a soma das medidas dos ânguos internos de um: a) Pentágono; b) Octógono; c) Icoságono Quantos ados tem um poígono cuja soma das medidas dos ânguos internos é 720? 1.6. Cacue o número de diagonais de um poígono cuja soma das medidas dos ânguos internos é Determine as medidas x, y e z, em graus.

17 AULA 02

18 Poígonos Reguares Poígonos reguares são aquees que têm todos os ados congruentes e todos os ânguos internos de mesma medida; NOMENCLATURA - O nome de um poígono reguar será dado de acordo com o seu número de ados. Veja aguns exempos a seguir:

19 ELEMENTOS DO POLÍGONO REGULAR ÂNGULO CENTRAL - O ânguo Ac é chamado ânguo centra do poígono reguar. Observe que seu vértice é o centro da circunferência e seus ados passam por vértices consecutivos do Poígono. A c 360 n Ac Ac

20 ELEMENTOS DO POLÍGONO REGULAR APÓTEMA - Chama-se apótema a n de um poígono reguar a distância do centro do poígono reguar a um de seus ados. a 6 a 3

21 ELEMENTOS DO POLÍGONO REGULAR ÂNGULO INTERNO - O ânguo A i é chamado ânguo interno do poígono reguar. Observe que todos os ânguos internos de um poígono reguar são congruentes. A i Si n ÂNGULO EXTERNO - O ânguo A e é chamado ânguo externo do poígono reguar. Observe que ee é o supemento do ânguo interno. A e 360 n

22 EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 2.1 1) Cacue a medida de um ânguo interno de um: a) Pentágono reguar; b) Dodecágono reguar; c) Icoságono reguar. 2) Quantos ados tem um poígono reguar cuja medida de um ânguo interno é 120? 3) Cacue o número de diagonais de um poígono reguar cuja medida de um ânguo externo é 40.

23 Inscrito ou circunscrito?? Depende do referencia!!! Todo poígono reguar é inscritíve em uma circunferência. Isto é, o poígono pode ser desenhado dentro de uma circunferência com todos os seus vértices pertencentes à circunferência. Nesse caso, a circunferência está circunscrita ao poígono.

24 Inscrito ou circunscrito?? Depende do referencia!!! Note que o poígono e a circunferência possuem o mesmo centro. Observe que o raio R vai do centro da circunferência a um dos vértices do poígono. R R R R R R

25 Inscrito ou circunscrito?? É importante notarmos que também podemos desenhar o poígono do ado de fora da circunferência. Nesse caso, dizemos que a circunferência está inscrita no poígono. POLÍGONO CIRCUNSCRITO - Quando é a circunferência que está do ado de dentro do poígono, tangenciando os pontos médios dos ados dee, dizemos que o poígono está circunscrito à circunferência. APÓTEMA É a distância do centro do poígono reguar a um de seus ados. r

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27 AS RELAÇÕES MÉTRICAS NOS POLÍGONOS REGULARES Note que podemos generaizar os triânguos de cada figura acima, da seguinte maneira: Se n = 3, a = 30 Se n = 4, a = 45 Se n = 6, a = 60

28 EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 2.2 Determine a expressão que associa a) a apótema de cada um dos poígonos estudados em função da medida de um de seus ados. b) a apótema de cada um dos poígonos estudados em função do raio R da circunferência circunscrita ao poígono. c) a medida de um dos ados do poígono em função do raio R da circunferência circunscrita ao poígono.

29 RELAÇÕES MÉTRICAS - tabea Poígono Lado (L) em função do Raio (R) Apótema (a n ) em função do Raio (R) Apótema (a n ) em função do Lado (L) Triânguo Equiátero Quadrado Hexágono