Definição da pirâmide. Seja D uma superfície poligonal contida em um plano α, e V um ponto não pertencente a esse plano.

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1 Unidade 9 - Pirâmide Introdução Definição de pirâmide Denominação de Pirâmides Pirâmide regular Medida da superfície (área) de uma pirâmide regular Volume da pirâmide

2 Introdução A palavra pirâmide, normalmente, evoca o formato das famosas construções egípcias, monumentos fantásticos que documentam historicamente a extraordinária capacidade arquitetônica daquela civilização e que vêm encantando a humanidade há milhares de anos.

3 Definição da pirâmide Seja D uma superfície poligonal contida em um plano α, e V um ponto não pertencente a esse plano.

4 Definição da pirâmide O conjunto de todos os segmentos de reta com uma extremidade em V e a outra em D é denominado pirâmide.

5 Principais elementos de uma pirâmide Vértice: é o ponto V não pertencente ao plano α. Base: é a região D contida no plano α. Aresta da base: são os lados da região D. Arestas laterais: são os segmentos que unem os vértices da região D e o ponto V. Faces laterais: são triângulos determinados pelo ponto V e dois vértices consecutivos da região D. Altura (h): é a distância perpendicular entre o ponto V e o plano α.

6 Denominação das pirâmides A pirâmide recebe nome especial, de acordo com o número de lados da sua base. Se for um triângulo, chama-se pirâmide triangular, se for um quadrilátero, quadrangular e assim sucessivamente.

7 Pirâmide Regular Para que uma pirâmide seja regular, é necessária que satisfaça duas condições: A base deve ser um polígono regular e a projeção ortogonal do ponto V, um ponto V tal que V esteja no centro da base.

8 Pirâmide Regular Em uma pirâmide regular, as arestas laterais são congruentes e, em consequência disso, as faces laterais também são triângulos isósceles congruentes. Nesse caso, costuma-se chamar apótema da pirâmide a altura de cada face lateral.

9 Preste atenção Não confunda apótema da pirâmide com o apótema da base da pirâmide. Apótema da base é a medida do raio da circunferência inscrita no polígono regular da base. Na figura da direita, r é o apótema da base da pirâmide.

10 Medida da superfície (área) de uma pirâmide regular Deseja-se construir uma réplica da Pirâmide de Quéops, de base quadrada, cujos lados da base e altura medem aproximadamente 8m e 148m, respectivamente. A miniatura terá 37cm de altura e o lado de sua base medirá 57 cm e será construída com madeira. Para pintar externamente a pirâmide, inclusive a sua base, quantos cm² serão cobertos de tinta?

11 Medida da superfície (área) de uma pirâmide regular Inicialmente, observe a figura: Para calcular quantidade de tinta necessária, precisamos obter a medida da superfície total da pirâmide. Observe que podemos desmontar a figura, planificando-a:

12 Medida da superfície (área) de uma pirâmide regular A medida do apótema pode ser calculada por meio do Teorema de Pitágoras: Assim, a medida da superfície total da pirâmide é a soma das áreas de um quadrado cujo lado mede 57cm e de quatro triângulos cuja a base mede 57cm e cuja altura mede aproximadamente 46,7cm, ou seja: S S S S t t t t bh. = l² ,7 = = ,8 = 857,80cm

13 Para você fazer Na figura, está representada uma pirâmide triangular cuja aresta lateral mede 4 13 cm e cuja altura mede 8 cm. Inicialmente, vamos demonstrar a pirâmide 4 13 cm Podemos obter a medida de R por meio do Teorema de Pitágoras : ( 4 13) = 8 R= 1cm Mas R=. h, portanto h = 18cm 3 l Como h = l 3 18= Finalmente, + R 3, temos que : l= 1 08= 64+ R 3cm ametade de l é 6 ( 4 13) = ( 6 3) + ( a ) a = cm p p 10 3 e, novamente, por meio do Teorema de Pitágoras, determinamos a medida do apótema da pirâmide. Assim :

14 Para você fazer - continuação b) Medida da superfície total S T = S l + bh. a) Calculando a superfície lateral da pirâmide S T = cm S T = 88 3cm S S S l l l bh. =.3 1 = = cm.3

15 Volume da pirâmide Para calcular a expressão do volume de uma pirâmide, vamos inicialmente decompor um prisma triangular em três pirâmides, como indicado na figura abaixo:

16 Volume da pirâmide As pirâmides I e II têm bases congruentes (ABC e DEF) e alturas congruentes (AD e BE). As pirâmides I e III têm bases congruentes (ACD e FDC) e alturas congruentes (distância entre o vértice B e o plano que contém a face ACDF). Logo, seus volumes são iguais. Seus volumes também são iguais. Assim, sendo V 1, V e V 3 os volumes das pirâmides I, II e III, temos que: V 1 = V = V 3

17 Volume da pirâmide Mas V prisma = S B. h e V 1 + V + V 3, então 3V 1 = V prisma Logo, podemos escrever: 1 V 1 =.S B.h 3 Dessa forma, o volume de uma pirâmide triangular é igual à terça parte do volume do prisma de mesma nade e mesma altura.

18 Volume da pirâmide E como calcular o volume de uma pirâmide com base diferente triangular? Podemos utilizar o Princípio de Cavalieri para generalizar a relação obtida anteriormente para qualquer pirâmide. Supondo-se que as áreas das superfícies das bases de uma pirâmide qualquer e de uma pirâmide triangular sejam iguais, e as alturas também, então os volumes serão iguais.

19 Para você fazer Calcule o volume da réplica da Pirâmide de Quéops representada na figura A área da base é igual a 57² = 349 cm² O volume V é dado por : V V V V =. S B. h 3 1 = = 40071cm³ = 40,071litros

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