GEOMETRIA ESPACIAL TETRAEDRO HEXAEDRO OCTAEDRO DODECAEDRO ICOSAEDRO REGULARES RETO POLIEDROS OBLÍQUO PRISMA REGULAR IRREGULARES RETA OBLÍQUA PIRÂMIDE

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1 GEOMETRIA ESPACIAL SÓLIDOS GEOMÉTRICOS POLIEDROS REGULARES SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO IRREGULARES CONE TETRAEDRO HEXAEDRO OCTAEDRO DODECAEDRO ICOSAEDRO ESFERA CILINDRO PRISMA PIRÂMIDE RETO OBLÍQUO RETO RETO OBLÍQUO OBLÍQUO REGULAR RETA OBLÍQUA REGULAR POLIEDROS: são sólidos geométricos limitados (formados) por figuras planas. Elementos de um poliedro Faces: são as figuras planas que formam o sólido; Arestas: são os lados da figura plana; Vértices: são os pontos de encontro das arestas. 1

2 Podemos classificar um poliedro de acordo com o número de faces. Ex.: Nº de Classificação faces 4 Tetraedro 5 Pentaedro 6 Hexaedro 7 Heptaedro 8 Octaedro 9 Eneaedro 10 Decaedro 11 Undecaedro 12 Dodecaedro Icosaedro Poliedro convexo é todo poliedro em que qualquer segmento de reta que una quaisquer dois de seus pontos está contido no interior do poliedro ou numa das regiões poligonais. Poliedro convexo Poliedro não convexo RELAÇÃO DE EULER Existe uma relação entre os elementos dos poliedros regulares. Observe: NOME V F A A relação é, conhecida como Relação de Euler. Ex.: Um poliedro possui 2 faces quadrangulares e 8 triangulares. Determinar o número de vértices. 2

3 Exercícios: 1) Ache o número de vértices, arestas e de faces dos poliedros convexos que possuem: a) 2 faces triangulares e 3 faces quadrangulares; b) 4 faces triangulares e 1 face quadrangular; c) 2 faces pentagonais e 5 faces quadrangulares. 2) (Fuvest - SP) Quantas faces tem um poliedro convexo com 6 vértices e 9 arestas? 3) (Faap-SP) Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces. 4) (Puccamp -SP) Se um poliedro convexo possui 16 faces triangulares, o seu número de vértices é: 5) Determine o nº de vértices de um poliedro convexo que tem 3 faces quadrangulares, 4 faces triangulares e 1 face hexagonal. 6) Determine o nº de vértices de um poliedro convexo que tem 1 face decagonal, 1 face pentagonal, 15 faces quadrangulares e 5 faces triangulares. 7) Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 pentagonal e 2 hexagonais. 8) Num poliedro convexo de 10 arestas, o número de faces é igual ao número de vértices. Quantas faces têm esse poliedro? 9) Numa molécula tridimensional de carbono, os átomos ocupam os vértices de um poliedro convexo de 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais regulares, como em uma bola de futebol. Qual é o número de átomos de carbono na molécula? E o número de ligações entre esses átomos? 10) Em um poliedro convexo o número de vértices corresponde a 2/3 do número de arestas e o número de faces é três unidades menos que o de vértices. Descubra quantas são as faces, os vértices e as arestas desse poliedro. 11) Um poliedro convexo de 20 arestas e 10 vértices possui faces triangulares e faces quadrangulares. Determine quantas são as faces triangulares e quadrangulares. POLIEDROS REGULARES Se todas as faces são polígonos regulares geometricamente iguais e em cada um dos seus vértices encontra-se o mesmo número de faces, o poliedro chama-se poliedro regular. Caso contrário, o poliedro é dito irregular. Existem apenas cinco poliedros regulares, conhecidos desde o século VI a.c.. Estes sólidos também são conhecidos por sólidos platônicos, porque foram estudados por Platão e estavam associados aos cinco elementos naturais:, Fogo, Terra, Ar, Universo e Água. TETRAEDRO HEXAEDRO OCTAEDRO DODECAEDRO ICOSAEDRO ESTUDO DO PRISMA DEFINIÇÃO: Prismas são poliedros convexos que tem duas faces paralelas e congruentes (bases) e as demais faces em forma de paralelogramos (faces laterais). Exemplos: Um prisma é reto: quando as arestas laterais são perpendiculares às bases; caso contrário, o prisma é oblíquo. prisma reto prisma oblíquo 3

4 Um prisma é regular quando for reto e sua base for um polígono regular. Num prisma destacamos: Um prisma recebe denominação de acordo com o polígono da base, se a base é um: * triângulo prisma triangular; * quadrado prisma quadrangular; * pentágono prisma pentagonal; e assim por diante. No caso dos prismas quadrangulares, eles recebem nomes diferentes de acordo com algumas características. Um deles é o paralelepípedo, cujas bases são paralelogramos. Se as bases são retangulares o paralelepípedo recebe o nome de paralelepípedo reto-retângulo ou bloco retangular. Sendo todas as faces quadradas tem-se o cubo. Cálculo da diagonal de um paralelepípedo reto retângulo e de um cubo d = medida da diagonal do paralelepípedo x = medida da diagonal da base d = medida da diagonal do cubo x = medida da diagonal da base Áreas e Volume de um Prisma Regular Área da base (Ab): é a área de um dos polígonos da base. Área Lateral (Al): é a soma das áreas de todas as faces laterais. Área total (At) é a soma da área das 2 bases com a área lateral. Volume (V): é o produto entre a área da base e a altura. Exemplo: O apótema da base de um prisma triangular regular tem 3 cm, a área lateral é 72 cm 2. Calcule a altura do prisma. 4

5 1) Calcule a área total do sólido abaixo. 2) Calcule o volume do prisma hexagonal regular reto, de altura 3 cm cujo apótema da base mede 3 cm. 3) Calcule a área total de um prisma triangular regular, de área lateral 300 cm 2, sabendo que a aresta da base é igual à aresta lateral. 4) Suponha que um canteiro tenha a forma de um hexágono regular de 2 m da lado e que o jardineiro responsável deseje colocar terra em toda a extensão desse canteiro, até a altura de 20 cm, em relação ao nível atual. Qual a quantidade de terra a ser colocada? 5) Quantas garrafas de 300 ml de refrigerante são necessárias para encher uma jarra, na forma de um prisma regular cuja área da base é 100 cm 2 e a altura, 21 cm? 6) O suporte de um abajur tem a forma de um prisma triangular regular. A aresta da base do prisma mede 20 cm e a altura 50 cm. Sabendo que o suporte deve ser revestido de vidro, determine a quantidade, em m 2, de material necessário para confeccionar 30 abajures. 7) Qual é o volume de concreto que deverá ser utilizado para construir uma escada com 12 degraus, conforme a figura? 8) A capacidade da carroceria de um caminhão graneleiro é de 35 m 3. As medidas internas da carroceria são: 2,45 m de largura,1,20 m de altura. Qual o comprimento desse caminhão, aproximadamente? 9) Um vaso de flores tem a forma de um prisma hexagonal, com aresta da base medindo 8 cm e altura medindo 40 cm. Para não haver derramamento ao se colocar flores nesse vaso, devese encher de água 80% da sua capacidade. Qual a quantidade de água, em litros, que devemos colocar nesse vaso? (Use 3 = 1,7) 10) Um prisma tem por base um triângulo isósceles de 8cm de base por 3cm de altura. Sabendo que a altura do prisma é igual a 1/3 do perímetro da base, calcule sua área total. 11) (FMTM-MG) Se a área da base de um prisma aumenta 20% e a altura diminui 10%, seu volume a) aumenta 8% b) aumenta 10% c) aumenta 108% d) diminui 8% e) diminui 10% 12) Considere um pedaço de cartolina retangular de lado menor 10 cm e lado maior 20 cm. Retirando-se 4 quadrados iguais de lados x cm (um quadrado de cada canto) e dobrando-se na linha pontilhada conforme mostra a figura, obtém-se uma pequena caixa retangular sem tampa. O polinômio na variável x, que representa o volume, em cm³, desta caixa é: a) 4x³ 60x² + 200x b) 4x² 60x c) 4x³ 60x² d) x³ 30x² + 200x e) x³ 15x² + 50x 13) Considere três cubos: cubo A de aresta 12 cm, cubo B com diagonal de 12 cm e cubo C com diagonal da face quadrada medindo 12 cm. Qual deles tem a menor área? 14) Uma barra de prata é fundida na forma de um prisma reto de altura 32 cm e base trapezoidal. A altura do trapézio mede 5 cm, e as bases medem 7,5 cm e 10 cm. Se a prata pesa 10,5 g por cm 3, quanto deve pesar a barra? 15) O volume de uma caixa d água cúbica é de 216 litros. Qual a medida de sua aresta? 5

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