MATEMÁTICA. Capítulo 3 LIVRO 2. (I) Áreas das Figuras Planas (II) Áreas de Polígonos Regulares. Páginas: 168 à 188

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1 MATEMÁTICA LIVRO Capítulo (I) Áreas das Figuras Planas (II) Áreas de Polígonos Regulares Páginas: 68 à 88

2 Áreas de Figuras Planas toda área é uma medida de superfície [u] unidade padrão [u]² [u] I. ÁREA DO QUADRILÁTERO RETÂNGULO QUADRADO h = b.h b

3 PARALELOGRAMO LOANGO (ROMBO) h 5 6 b = b.h d D D.d = TRAPÉZIO 8 7 b h B = (B+b).h "O retângulo construído em torno do losango tem área igual a D.d, e contém em seu interior 8 triângulos retângulos idênticos. O losango só contém desses triângulos então sua área é a metade da área do retângulo."

4 II. ÁREA DO TRIÂNGULO FÓRMULA BÁICA h b b.h = FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA a α = sen α = h a h h = a.senα b a.b.senα ÁREA DO TRIÂNGULO EQUILÁTERO 60 o = a.b.senα

5 FÓRMULA DE HERÃO c b = p.(p - a).(p -b).(p - c) a p = a+b+c ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA INCRITA ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA CIRCUNCRITA b c r a c a R = p.r a+b+c p = b a.b.c =.R

6 Exercícios [. p7] (UNEP - P) A figura representa um triângulo retângulo de vértices A, B e C, onde o segmento de reta DE é paralelo ao lado AB do triângulo. 0 = 5 x x = 9 cm 8 x = 9 e AB = 5 cm, AC = 0 cm e AD = 8 cm, a área do trapézio ABED, em cm, é a) 8. b) 96. c) 0. d) 50. e) 9. = = (B+b).h (5+9).8 =. = 96 cm²

7 [9. p7] (FUVET - P) Considere o triângulo representado na malha pontilhada com quadrados de lados iguais a cm. A área do triângulo, em centímetros quadrados, é: B s C s s A a). b). c). d) 5. e) 6. A área do triângulo ABC será a soma das áreas s, s e s.. s +s +s =.. s + + = 8 s ++ = 8 s = cm

8 EXTRA. (FGV - P) Na figura plana abaixo, os triângulos ABC e CDE são equiláteros. Os lados medem cm e 6 cm, respectivamente. Calcule a área do quadrilátero ABDE. A B s C D s s = 6. =.6.sen60 = 6 = = 9 o E = 6 ABDE = ABDE =9 cm

9 [. p7] (UNICAMP - P) A área de um triângulo pode ser calculada pela fórmula: = p.(p -a).(p -b).(p -c) em que a, b, c são os comprimentos dos lados e p é o semi-perímetro, a) Calcule a área do triângulo cujos lados medem, 7 e 0 centímetros. b) Calcule o comprimento da altura relativa ao lado que mede centímetros. a) = p.(p -a).(p -b).(p -c) a+b+c p = 0+7+ p = = =.(-0).(-7).(-) =.. 7. = =.. 7 = 8 cm² =.. 7 b) 7 h 0 b. h =. h 8= h=8 cm

10 [. p75] (FUVET - P) Aumentamos a altura de um triângulo em 0% e diminuímos sua base em 0%. Então a área do triângulo: a) aumenta %. b) aumenta 0,5%. h c) decresce 0,5%. d) decresce %. e) não se altera. b b h i =,h 0,9b ou seja, =0,99. F decresceu %. 0,9b,h F = 0,99.b h F = i

11 [5. p76] (FUVET - P) A figura representa sete hexágonos regulares de lado e um hexágono maior, cujos vértices coincidem com os centros de seis dos hexágonos menores. Então a área do pentágono hachurado é igual a a) b) c) d) e) =. PENT T l ². PENT = ². PENT = PENT =

12 III. ÁREA DA FIGURA CIRCULARE CÍRCULO COROA CIRCULAR O R O r R Área do Círculo = π.r = π.(r -r ) Comprimento da Circunferência C =. π.r

13 ETOR CIRCULAR R O α R = N = π.r N o 6 0 α EXEMPLO R O 60 R R O 90 R R O 0 R π.r = 6 π.r = π.r =

14 Exercícios [86. p8] (FUVET - P) Na figura seguinte, estão representados um quadrado de lado, uma de suas diagonais e uma semicircunferência de raio. Então a área da região hachurada é π a) + b) π+ c) π+ d) π+ e) π+. = = π.² = = π = + = + π

15 [7. p8] (MACKENZIE - P) Na figura, o raio OA da circunferência mede 6 cm. Adotando-se π =, a área da região sombreada, em cm, é igual a a) 9(- ) b) 9- c) d) 9 e) (9- ) 6 A área da região sombreada é a área do setor circular de 0 e raio 6 menos a área do triângulo isósceles de lado 6 e ângulo 0. = π sen0 = -8 =6-9 =9(- ) cm o

16 [8. p8] (FUVET - P) Numa circunferência de raio está inscrito um quadrado. A área da região interna à circunferência e externa ao quadrado é: a) maior que b) igual à área do quadrado c) igual a π - d) igual a π- e) igual a π = C - Q = π- O raio da circunferência é, então: = πr C = π = π C C A diagonal do quadrado é, então: =L d=l =L L= L= Q = Q = Q

17 [88. p8] (FUVET - P) Na figura, ABCD é um quadrado de lado, DEB e CEA são arcos de circunferências de raio. Logo, a área da região hachurada é: a) - π + 6 b) - π + c) - π - 6 d) + π - e) - π - 60 triângulo equilátero setor circular 0 = -. - Q C T π.r² L². =L² - - π.² ². =² - - π =- - 6 setor circular

18 APÓTEMA apótema é definido como a distância entre o centro de um polígono regular e o ponto médio de qualquer lado, ou seja, é o raio da circunferência inscrita PRINCIPAI APÓTEMA: TRIÂNGULO EQUILÁTERO QUADRADO HEXÁGONO REGULAR a M a O a=h a= h a a O M a O M O apótema é a altura do triângulo equilátero!

19 ÁREA DE POLÍGONO REGULARE a área de qualquer polígono regular pode ser calculada multiplicando-se o semiperímetro desse polígono pelo seu respectivo apótema = p. a Exemplos Triângulo Equilátero Hexágono Regular

20 Extra: Demonstração da área do círculo O R = a Observa-se que quanto maior o n o de lados de um polígono regular menor o tamanho de cada lado Projetando-se essa idéia até o infinito, pode-se imaginar o círculo como sendo um polígono regular com infinitos lados de tamanho infinitesimal = p. a πr = R = π.r

21 [0. p86] (PUCCAMP - P) Considere-se o hexágono regular inscrito numa circunferência cujo raio mede cm. A medida do apótema desse hexágono, em centímetros, é: a) 6 b) 5 c) d) e) Exercícios a O M O apótema do hexágono regular é a altura do triângulo equilátero! a= a=6 cm

22 [EXTRA] (FUVET P) Uma das piscinas do Centro de Práticas Esportivas da UP tem o formato de três hexágonos regulares congruentes, justapostos, de modo que cada par de hexágonos tem um lado em comum, conforme representado na figura abaixo. A distância entre lados paralelos de cada hexágono é de 5 metros. h h=5 m 5 h= m h A área da piscina é igual a área de 8 triângulos equiláteros como o destacado na figura. Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da piscina. a) 600 m. b) 800 m. c) 000 m. d) 00 m. e) 00 m.

23 V. Relação entre as Áreas de Figuras emelhantes C a B h b c A b. h ABC = MNP = K² ABC P k.a N k.h k.b k.c M K.b. K.h MNP = b. h MNP = K² MNP ABC = K² K é a constante de proporcionalidade, ou seja, é a relação entre lados homólogos de dois polígonos semelhantes

24 Exercícios [7. p87] (FUVET - P) No papel quadriculado da figura abaixo, adotase como unidade de comprimento o lado do quadrado hachurado. DE é paralelo a BC. Para que a área do triângulo ADE seja a metade da área do triângulo ABC, a medida de AD, na unidade adotada, é x 8 a) b) c) d) 8 e) 7 x = 8 ADE ABC x = 8 6 x = x = x =

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