Geometria Espacial: Sólidos Geométricos

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1 Aluno(a): POLIEDROS E PRISMA (1º BIM) Noções Sobre Poliedros Denominam-se sólidos geométricos as figuras geométricas do espaço. Entre os sólidos geométricos, destacamos os poliedros e os corpos redondos. Poliedro são sólidos limitados por polígonos planos que têm, dois a dois, um lado em comum. Exemplo: TURMA: 3º A o mesmo número de lados, e se em todo vértice do poliedro converge o mesmo número de arestas. Nessas condições há somente cinco poliedros regulares, os quais apresentamos: a) Tetraedro regular Inserir figura Prisma triangular (9 arestas e 6 vértices) Cubo (12 arestas e 8 vértices) Os polígonos são denominados faces do poliedro. Sendo que os lados e os vértices dos polígonos denominam-se, respectivamente, arestas e vértices do poliedro. Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces: Poliedro Convexo Numero de faces tetraedro 0 pentaedro 05 hexaedro 06 heptaedro 07 octaedro 08 icosaedro 20 b) hexaedro regular c) octaedro regular POLIEDROS REGULARES Dizemos que um polígono é regular quando todos os seus lados são congruentes e todos os seus ângulos também são côngruos. Em um poliedro convexo se diz regular se suas faces são regiões poligonais regulares, todas com o

2 d) dodecaedro A + 2 = V + F A + 2 = A = 18 e) Icosaedro 02) Determinar o número de arestas e de vértices de um poliedro convexo com seis faces quadrangulares e quatro faces triangulares. 6 faces quadrangulares 6. = 2 arestas faces triangulares.3 = 12 arestas Total de arestas=36 Como cada arestas é contada duas vezes, então temos apenas 18 arestas. RELAÇÃO DE EULER Consideremos um poliedro convexo no qual designamos, V para o número de vértices; A para o numero de arestas; F para o número de faces, podemos concluir que: A + 2 = V + F (Relação de Euler) Em todo poliedro convexo, o número de arestas mais dois é igual ao número de vértices mais o nº de faces Veja alguns exemplos: A + 2 = V + F ( relação deeuler) = = 11 (ok!) A + 2 = V + F ( relação deeuler) = = 1 (ok!) Exemplos resolvidos: 01) Num poliedro convexo, o número de faces é 8 e o número de vértices é 12. Determine o número de arestas. Aplicando a relação de Euler, temos: A + 2 = V + F = V + (6+) V=10 Portanto o poliedro possui 10 faces, 18 arestas e 10 vértices. EXERCÍCIOS 01) Num poliedro convexo, o número de arestas é 16 e o número de faces é 9. Entre o total de vértices que possui este poliedro. 02) Um poliedro convexo tem 6 faces e 8 vértices. Determine o número de arestas. 03) Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Determine o número de faces. 0) Um poliedro convexo tem 5 faces quadrangulares e duas faces pentagonais. Determine o número de arestas e o número de vértices. 05) Quantos vértices tem o poliedro convexo, sabendo que ele apresenta uma face hexagonal e seis faces triangulares? 06) Um poliedro convexo tem 3 faces com lados, 2 faces com 3 lados e faces com 5 lados. Determine o número de vértices deste poliedro.

3 PRISMA Definição: os primas são poliedros convexos que têm duas faces paralelas e congruentes (denominadas bases) e as demais faces em forma de paralelogramos (chamadas de faces laterais). Vejamos alguns exemplos de primas: Vejamos: Prisma hexagonal reto a) Prisma triangular (as bases são triangulares) b) Prisma hexagonal (as bases são hexágonos) Um prisma será regular quando for reto e sua base for um polígono regular. Prisma quadrangular oblíquo. No caso de as arestas laterais serem oblíquas aos planos das bases, o prisma se diz oblíquas. Num prisma, destacamos: AREA DA SUPERFÍCIE DE UM PRISMA Considerando um prisma de base temos: n polígonos, Área da base (S b ) -> é área de uma das regiões poligonais da base; Área Lateral (A L ) -> corresponde a soma de todas as áreas representadas pelas faces laterais; As arestas das bases: AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE. As arestas laterais: AE, DH, CG, BF Altura do prisma: corresponde a distancia entre os planos que contêm as bases. Quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos que contêm as bases, o prisma é reto; neste caso as faces laterais são retângulos congruentes. Convém ressaltar que num prisma reto, a altura corresponde a mesma medida das arestas laterais. Área Total ( A T ) -> representa a soma de todas as áreas deste prisma ( área da base + áreas laterais) Exemplos1: Dado um prisma reto com base hexagonal (hexágono regular), cuja altura é = 3 m e cujo raio do círculo que circunscreve a base é r = 2m. Determine: a)a área da base; b) a área lateral c) a área total

4 Planificando temos: Exemplo 2: Num prisma triangular regular, a medida da aresta da base é igual a medida h da altura do prisma. Sabendo-se que a área lateral é 10 m², calcule a área total do prisma. Planificando temos: a) Cálculo da área da base (S b ) a área da base é um hexágono regular que pode ser decomposto em 6 triângulos eqüiláteros de lado igual ao raio da circunferência. Como o raio é igual a aresta, temos: A triang = a² 3 A triang = 2² 3 = 3 m² Como a base do prisma contém 6 triângulos eqüiláteros, temos: A b = 6. a² m² b) a área lateral; Num prisma regular, as faces laterais são retângulos. A L = 6. A ret = = 12 3 m² c) a área total A T = A L + 2A b = = 2 3 m² A face lateral é um retângulo de dimensões a e h. Então a área lateral: A L = 3. A F E que h=a S F = a. S L 3. a. a = 3a² A L = 10 3a² = 10 a = 10 3 A base é um triângulo equilátero: A b = a² 3 (10/3)² 3 Calculando a área total (A T ) A T = A L + 2A b = Resposta: A T = m²

5 Resumindo: Em relação ao número de lados dos polígonos da base, os prismas podem ser: Triangulares as bases são triângulos; Quadrangulares as base são quadriláteros; Pentagonais as bases são pentágonos; Hexagonais as bases são hexágonos;... E assim por diante. Quanto a inclinação das arestas laterais, os primas classificam em: Retos: as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases; assim as faces laterais são retângulos; Oblíquos: as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases, desse modo, as faces laterais são simplesmente paralelogramos. VOLUME DE UM PRISMA O volume de um prisma é obtido através do produto da base pela sua altura. V=A b * h Exemplo: Calcular o volume de um prisma triangular regular no qual a aresta da base é igual a cm e sua altura mede 10 3 m EXERCÍCIOS 01) Calcule á área lateral e o volume de um prisma reto cuja base é um triângulo de lados cm, 6cm e 8cm e altura é 2 cm. 02) Um prisma pentagonal regular tem 20 cm de altura. A aresta da base do prisma mede cm. Encontre a sua área total. 03) Considere os prismas retos e regulares indicados a seguir De cada uma das figuras acima, determine: a) a área lateral b) a área total c) o volume 0) Um calendário de madeira tem a forma e as dimensões da figura abaixo. Quantos cm² de madeira foram utilizados para confeccionar o calendário? 05) a altura de um prisma hexagonal regular é igual a 5 cm. Sendo 2 cm a aresta da base, determine o volume do prisma. 06) Calcule o volume de ar contido em um galpão com a forma e as dimensões dadas pela figura a seguir Como a base é um triangulo equilátero, temos: A triang = a² 3 E altura h=10 3 cm ² 3 = 3 cm² V = 3 m² m= 120 cm³ 07) Calcule o volume de um prisma reto, cuja base é um triangulo equilátero de lado 2 cm, sabendo que a área lateral é 30 cm²

6 Paralelepípedo Retângulo e Cubo Entre os principais prismas, destacam-se o paralelepípedo retângulo e o cubo. Paralelepípedo retângulo: possui as seis faces retangulares e são inúmeros os objetos que tem a sua forma: um tijolo, uma caixa de sapatos, uma caixa de fósforos, um livro, etc. As dimensões de um paralelepípedo são chamadas de comprimento, largura e altura. EXERCÍCIOS No paralelepípedo retângulo, pode-se demonstrar que Diagonal: d = a² + b² + c² Área total: A T = 2(ab + ac + bc) Volume: V = a. b. c EXEMPLO: Determinar o comprimento da diagonal de um cubo de aresta a, a área lateral, área total e volume. Calculando a diagonal do lado: d² = a² + a² d² = 2a² D² = d² + a² D² = 2a² + a² D² = 3a² Área lateral: A L = a² Área Total: A T = 6a² D = a 3 Volume V cubo = a³

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