Geometria Espacial PRISMA RETO DE BASE TRIANGULAR (OU PRISMA TRIANGULAR)

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1 Espacial 1 PRISMAS Os prismas são sólidos geométricos bastante recorrentes em Espacial. Podemos definir o prisma da seguinte forma: PRISMA RETO DE BASE TRIANGULAR (OU PRISMA TRIANGULAR) Prisma é um sólido geométrico que se constrói a partir de duas formas geométricas idênticas e paralelas que se encontram a uma certa distância. Vejamos alguns exemplos de prismas: PRISMA RETO DE BASE RETANGULAR (OU PARALELEPÍPEDO) Um caso particular de prisma é o paralelepípedo (exposto na primeira forma da figura acima). Nele, podemos escolher quaisquer dois lados paralelos como bases, pois quaisquer bases opostas são paralelas e estão ligadas por arestas paralelas entre si. Podemos classificar os prismas de duas formas diferentes: retos e oblíquos. Um prisma é dito reto quando as arestas laterais são perpendiculares às bases, e oblíquo quando não o são. CUBO OU HEXAEDRO REGULAR Este é um caso de prisma regular, pois é composto por polígonos regulares. ATENÇÃO RETO OBLÍQUO TIPOS ESPECIAIS DE PRISMA Dentre os prismas, destacamos alguns casos que serão recorrentes: Observe que as duas bases sempre são interligadas por retângulos. Também não se esqueça que o quadrado é um tipo especial de retângulo. O prisma é um tipo especial de paralelepípedo. Escola Preparatória da UFABC 1

2 cálculo da diagonal do paralelepípedo Num paralelepípedo de dimensões a, b e c, temos: Observe que o número de bases é fixo, são duas bases, enquanto o número de retângulos varia diretamente com o número de lados: se a base tiver 6 lados, teremos 6 retângulos; 4 lados, 4 retângulos e por aí vai. Podemos então inferir que, dado que A é a área da lateral do prisma, A a área da base e n o número de lados, a área total pode ser dada por: B A A B na Para descobrir a medida da diagonal d deste paralelepípedo, vamos aplicar o Teorema de Pitágoras duas vezes: a primeira no triângulo ABD e a segunda no triângulo BDH. ABD x² a² b² x a² b² BDH d² x² c² d² a² b² c² d a² b² c² Logo, podemos dizer que a medida da diagonal do paralelepípedo é dada pela raiz quadrada dos quadrados das somas das medidas de cada um dos lados. Como o cubo é um caso especial onde todas as arestas têm a mesma medida, temos o seguinte: d a² b² c² d a² a² a² d a² 1. Um cubo tem área total de 96 m². Qual a medida da aresta do cubo?. Num prisma triangular regular, a aresta da base mede 4 cm e a aresta lateral mede 9 cm. Calcule a área lateral e a área total do prisma.. A diagonal de um cubo mede 10 m. Qual a área total do cubo? 4. Quantos metros quadrados de azulejo são necessários para revestir até o teto até as quatro paredes de uma cozinha de,7 m de altura, m de largura e 4 m de comprimento? 5. Quanto mede a diagonal de um paralelepípedo reto retangular onde as dimensões são 10 cm, 6 cm e 8 cm? 6. Num cubo a soma das medidas de todas as arestas é 48 cm. Calcule a medida da diagonal do cubo. d a 4 Princípio de Cavalieri 4 Área da superfície de um prisma Considerando um prisma com uma base de n lados: Imagine que você tenha três pilhas de papel com o mesmo número de folhas, mas organizadas em formatos diferentes: Escola Preparatória da UFABC

3 Note que em qualquer um dos três casos, se pudermos cortar a pilha com um plano horizontal, a intersecção entre o plano e a pilha terá sempre a mesma área, que é a área de uma folha. Note que as pilhas tem a mesma quantidade de folhas, logo, elas possuem o mesmo volume. Vamos enunciá-lo de maneira mais precisa. Considere os dois sólidos a seguir: Consideremos esses dois sólidos 1 e, sendo o primeiro um prisma qualquer, e o segundo um paralelepípedo, que nós já sabemos calcular o volume, ambos com área da base B. Observe que para qualquer plano que intercepte os dois sólidos, a área B não se altera em nenhum dos dois sólidos. Pelo princípio de Cavalieri, se as áreas para qualquer plano de interceptação não se alteram, o volume dos dois sólidos é exatamente o mesmo. Logo, podemos inferir que: Volume do prisma = Volume do paralelepípedo Os dois sólidos 1 e estão apoiados no plano. Consideremos o plano, que intercepta os dois sólidos, gerando duas áreas A 1 e A. Se para cada plano que intercepta os dois sólidos tivermos A1 A, então V1 V. Usaremos o princípio de Cavalieri para determinar o volume de vários outros sólidos. 5 Volume do prisma O volume de qualquer paralelepípedo pode ser dado pela seguinte expressão: V AB h Onde h é a altura do paralelepípedo e. Também pode ser expresso por V cl h, onde c, l e h são respectivamente comprimento, largura e altura. Mas será que essa expressão pode se estender a qualquer outro prisma, sendo ele de base retangular ou não, reto ou não? Vejamos através do princípio de Cavalieri: Como o volume do paralelepípedo pode ser expresso por V A h, temos que o volume de B qualquer prisma também pode ser dado por: Onde V AB h A B é a área da base e h a altura do prisma. Para um cubo, como temos quadrados nas bases e a altura é do mesmo tamanho do lado do cubo, temos que o volume pode ser dado por V = a³, sendo a a medida da aresta. 7. Qual é o volume de um cubo com 5 cm de aresta? 8. Para fabricar uma caixa de papelão são gastos 600 cm² de material. Qual é o volume dessa caixa? 9. Numa sala de 5 m por, m quer se colocar uma laje de concreto de 5 cm de espessura. Qual o volume em m³ de concreto utilizado nessa laje? 10. (Unicamp) Ao serem retirados 18 litros de água de uma caixa d água de forma cúbica, o nível da água baixa 0 cm. Calcule o comprimento das arestas da referida caixa e calcule sua capacidade total em litros (1 l = 1 dm³). 11. A base de um prisma reto é um hexágono regular de lado 8 cm. As faces laterais desse prisma são quadradas. Calcule o volume e a área total desse prisma. Escola Preparatória da UFABC

4 1. É dado um prisma cuja base é uma região quadrada de área 4 cm. O volume do prisma é 80 cm³. Calcule a área lateral e a área total do prisma. 1. Consideremos dois prismas regulares de mesma altura, o primeiro de base triangular, e o segundo de base hexagonal. Em ambos os prismas, a aresta da base mede 4 cm. Qual é a razão entre seus volumes? Podemos verificar que: 6 pirâmide Considere uma região poligonal contida em um plano, e um ponto qualquer externo a esse plano. Unimos cada um dos pontos do polígono ao ponto externo, formando uma série de regiões triangulares. Essas regiões triangulares determinam o poliedro conhecido como pirâmide. O segmento PG que liga o vértice à base é a altura da pirâmide. As faces laterais, nesse caso de pirâmide, são sempre congruentes no formato de um triângulo isósceles. A altura de cada uma das faces laterais é dita apótema da pirâmide. A distância do vértice ao plano da base, que está indicado por h, é dito altura da pirâmide. Os lados VA, VB, VC, VD e VE são ditos arestas laterais da pirâmide. Alguns exemplos: Um caso especial de pirâmide é o tetraedro regular, onde a base é um triângulo equilátero, assim como as suas faces laterais. Se a base da pirâmide é um polígono regular, temos então uma pirâmide regular. Vamos considerar um exemplo para ilustrar os elementos presentes em uma pirâmide regular: Note que nesse caso qualquer uma das faces pode ser tomada como base. 7 volume da pirâmide Observe a figura que ilustra a situação do cálculo de volume: 4 Escola Preparatória da UFABC

5 Logo, pelo princípio de Cavalieri, os volumes são iguais. Vamos aprender a calcular o volume da pirâmide a partir de um prisma. Para isso, vamos decompor um prisma triangular em três pirâmides. Quando cortamos a pirâmide maior com o plano, obtemos uma base p semelhante à base P original, assim como uma pirâmide miniatura com base no plano que está posicionada a uma altura x. Sabemos que quando duas figuras são semelhantes em uma razão k, as suas áreas variam em k². No caso, k é a razão entre as alturas das duas pirâmides. k h h k x x Assim, se p e P são semelhantes, então: h x Vamos agora considerar duas pirâmides cujas áreas das bases são iguais e têm a mesma altura. Vejamos o que acontece quando elas são cortadas por um plano paralelo ao plano da base: Note que todas as pirâmides têm a mesma base, que é a base do prisma. Perceba também que todas elas têm a mesma altura, que também é a altura do prisma. Com isso, podemos concluir que: V V V V prisma I II III V V V V V prisma prisma V V V prisma Como Vprisma área da base x altura, temos que: Sabemos que 1 1 h x h. Logo, podemos dizer que: x 1 1 e que V prisma área da base altura E como vimos anteriormente, pelo princípio de Cavalieri, esta fórmula do volume pode ser aplicada para qualquer formato de pirâmide. Como consideramos que a área das bases são iguais, então 1, para qualquer plano horizontal. 14. Calcule o volume de uma pirâmide quadrada cuja aresta da base mede 15 cm. Escola Preparatória da UFABC 5

6 15. A aresta da base de uma pirâmide mede 10 cm e a altura da pirâmide mede 1 cm. Determine o volume da pirâmide. 16. Um enfeite de acrílico tem a forma de uma pirâmide quadrada. Sua base tem 15 cm de aresta e altura de 0 cm. Supondo-a maciça, qual o volume de acrílico usado para fazer esse enfeite? 17. Uma peça maciça de cristal tem o formato de um tetraedro. Sabendo que cada aresta da peça mede 10 cm, qual o volume de cristal utilizado para fazer essa peça? 8 tronco de pirâmide Quando cortamos uma pirâmide com um plano paralelo à base obtemos duas estruturas: uma pirâmide em miniatura, semelhante à original e uma outra parte, dita tronco de pirâmide. Temos que h = d + 8 e que a razão de semelhança entre as duas pirâmides semelhantes é: 5 d k 5h 1d 5( d 8) 1d 1 h 40 d cm 7 96 h cm 7 Logo, o volume da pirâmide original é: Voriginal ² cm³ 7 7 E o volume da miniatura é de: Para calcular o volume deste tronco de pirâmide, vamos usar o conceito de semelhança de triângulos. Para isso, vamos utilizar o conceito de semelhança de triângulos num exemplo: Um tronco de pirâmide tem como bases duas regiões quadradas de lados 5 cm e 1 cm. A altura do tronco é 8 cm. Vamos calcular o volume desse tronco. Vminiatura ² cm³ 7 1 O volume do tronco é a diferença desses dois volumes: V Voriginal Vminiatura V 610, 6 cm³ 18. Uma cesta de lixo tem a forma de um tronco de pirâmide. Seu fundo e sua parte superior são dois quadrados de lado 0 cm e 0 cm de lado. A altura da cesta é de 6 cm. Qual é o volume da cesta? A partir do tronco, vamos estender as arestas para fechar uma pirâmide. 19. Um tronco de pirâmide tem como base dois quadrados de lados 8 cm e 1 cm, com altura de 1 cm. Qual o volume do tronco? 6 Escola Preparatória da UFABC

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