Geometria Métrica Espacial

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Geometria Métrica Espacial Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

2 Geometria Métrica Espacial 1.Prismas 2.Pirâmides 3.Cilindros 4.Cones 5.Esfera

3 1. Prismas Considere um polígono qualquer contido num plano α e seja r uma reta qualquer, secante a α em um ponto X. Em r, considere também um ponto Y distinto de X. 3

4 1. Prismas Chama-se prisma a reunião de todos os segmentos paralelos e congruentes a XY que têm uma extremidade num ponto qualquer do polígono e que estão situados num mesmo semi-espaço determinado por α. 4

5 1.1. Elementos do prisma ' ' ' ' ' ' Vértices: São os pontos A, B, C,, A, B, Bases: São os polígonos ABCDEF e A B C D E F. As bases são congruentes e estão contidas em planos paralelos. Altura: É a distância dos planos que contêm as bases do prisma. 5

6 1.1. Elementos do prisma ' ' ' ' ' ' Arestas das bases: São os lados das bases. Ou seja, AB, ' ' ' ' BC, A B, BC, Arestas laterais: São os segmentos que unem os vértices correspondentes das bases. Isto é, ' AA, ' ' BB, CC. 6

7 1.1. Elementos do prisma ' ' ' ' ' ' Faces laterais: São os paralelogramos ABB A, BCC B, CDD C, Genericamente, tanto as faces laterais como as bases são denominadas faces do prisma. Diagonal: É qualquer segmento que une dois vértices não pertencentes a uma mesma face. 7

8 1.2. Nomenclatura prisma triangular prisma pentagonal Conforme as bases de um prisma sejam triângulos, quadriláteros, pentágonos o prisma é denominado triangular, quadrangular, pentagonal,, respectivamente. 8

9 1.2. Nomenclatura paralelepípedo Dentre os prismas quadrangulares convém destacar os paralelepípedos. São aqueles cujas bases são paralelogramos. 9

10 1.3. Classificação prisma reto prisma oblíquo Um prisma é denominado reto se suas arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases. Caso contrário, o prisma é denominado oblíquo. Note que as faces laterais de um prisma reto são retângulos. 10

11 1.3. Classificação Paralelepípedo reto retângulo Dentre os prismas retos convém destacar o paralelepípedo reto retângulo, no qual todas as faces, incluindo as bases, são retângulos. 11

12 1.4. Prisma regular Um prisma reto cuja base é um polígono regular é denominado prisma regular. 12

13 1.4. Prisma regular Um prisma reto cuja base é um polígono regular é denominado prisma regular. 13

14 1.4. Prisma regular Dentre os prismas regulares devemos destacar o cubo ou hexaedro regular. No cubo, as 6 faces são quadrados. 14

15 1.5. Área lateral e área total Chama-se área lateral de um prisma a soma das áreas de todas as suas faces laterais. A área lateral será denominada por S l. A área total de um prisma é a soma de sua área lateral com as áreas de suas bases. A área de uma base e a área total de um prisma serão denotadas por S B e S t, respectivamente. Assim sendo: S = S + 2 S t l B 15

16 1.5. Área lateral e área total Exercício 1: Calcular o comprimento de uma diagonal de um paralelepípedo reto retângulo, sabendo que as arestas de base medem 4 cm e 3 cm e que sua altura é igual a 2 cm. 16

17 1.5. Área lateral e área total Exercício 2: Calcular a área total de um prisma triangular regular, cuja aresta da base mede 4 m e cuja altura é igual a 6 m. 17

18 1.5. Área lateral e área total Exercício 3: De um cubo de aresta a, calcule: a) a área total e b) a diagonal. 18

19 1.5. Área lateral e área total Exercício 4: A área total de um cubo é igual a 54 cm 2. Qual é a medida de sua diagonal? 19

20 1.5. Área lateral e área total Exercício 5: As dimensões de um paralelepípedo reto retângulo são a, b e c. Calcule a área total e a diagonal, ambos em função de a, b e c. 20

21 1.5. Área lateral e área total Exercício 6: Num prisma triangular reto as arestas da base medem 5 cm, 6 cm e 7 cm, e uma aresta lateral mede 10 cm. Calcule a área total desse prisma. 21

22 1.5. Área lateral e área total Exercício 7: A figura abaixo mostra um prisma hexagonal regular. Calcule: a) a área lateral; b) a área de uma base; c) a área total e d) a diagonal D. 22

23 1.6. Volume do prisma O volume de um paralelepípedo reto retângulo é o produto de suas três dimensões. V = a b c 23

24 1.6. Volume do prisma Se a e b são as dimensões da base do paralelepípedo e c é sua altura, observe que o produto a. b é a área da base desse sólido. Assim, V = S H O volume de um paralelepípedo reto retângulo é igual ao produto da área da base pela altura. B 24

25 1.7. Secção transversal Chama-se secção transversal de um prisma a intersecção, não-vazia, desse prisma com qualquer plano, paralelo às suas bases. 25

26 1.7. Secção transversal Note que, num prisma qualquer, todas as secções transversais são congruentes às bases. 26

27 1.7. Secção transversal O conceito de secção transversal se estende a outros tipos de sólidos. 27

28 1.8. Princípio de Cavalieri Considere dois sólidos e um plano α. Suponha que todo plano paralelo a α, que intercepte um dos sólidos, intercepte também o outro e determine secções transversais de áreas iguais. Nessas condições os dois sólidos têm volumes iguais. 28

29 1.9. Volume do prisma Vamos considerar um prisma qualquer e um paralelepípedo reto retângulo, ambos com altura H, cujas bases têm a mesma área S B. Como já vimos, o volume do paralelepípedo é dado por: V = SB H 29

30 1.9. Volume do prisma O volume de um prisma qualquer é igual ao produto da área da base pela sua altura. V = SB H 30

31 1.9. Volume do prisma Por outro lado, as secções transversais desses dois sólidos também têm áreas iguais, pois essas secções são congruentes às respectivas bases dos sólidos. Então, pelo princípio de Cavalieri, os dois sólidos têm volumes iguais. Logo, o volume do prisma é dado por: V = S H B 31

32 1.9. Volume do prisma Exercício 8: Uma certa peça tem a forma de um paralelepípedo reto retângulo e é transpassada por um furo triangular, conforme mostra a figura abaixo. Qual é o volume dessa peça? 32

33 1.9. Volume do prisma Exercício 9: Qual é o volume de um cubo de aresta a? 33

34 1.9. Volume do prisma Exercício 10: Calcule a área total e a diagonal de um cubo cujo volume é igual a 125 cm 3. 34

35 1.9. Volume do prisma Exercício 11: Um aquário tem a forma de um paralelepípedo reto retângulo e contém água até uma certa altura. As medidas internas da base do aquário são 40 cm por 25 cm. Uma pedra é colocada dentro do aquário, ficando totalmente submersa e fazendo com que o nível da água suba 0,8 cm. Calcule o volume dessa pedra. 35

36 1.9. Volume do prisma Exercício 12: Calcule o volume de um prisma hexagonal regular sabendo que o perímetro de sua base é igual a 24 cm e que sua altura é igual a 8 cm. 36

37 1.9. Volume do prisma Exercício 13: A base de um prisma reto é um losango cujo lado mede 13 cm e cuja diagonal mede 24 cm. Se a área lateral desse prisma é igual a 104 cm 2, determine o seu volume. 37

38 2. Pirâmides Considere um polígono qualquer contido num plano α e um ponto P, também qualquer, fora desse plano. Chama-se pirâmide a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer do polígono. 38

39 2.1. Elementos da pirâmide Vértice da pirâmide: É o ponto P. Base: É o polígono ABCDEF. Altura: É a distância de P ao plano da base. Arestas da base: São os lados do polígono de base. 39

40 2.1. Elementos da pirâmide Arestas laterais: São os segmentos que unem P a cada vértice da base. Ou seja,,,, PA PB PC Faces laterais: São os triângulos PAB, PBC, PCD, 40

41 2.2. Nomenclatura Uma pirâmide é denominada triangular, quadrangular, pentagonal, etc, conforme sua base seja, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero, um pentágono, etc As pirâmides triangulares são também denominadas tetraedros (4 faces). 41

42 2.3. Área lateral e área total Área lateral de uma pirâmide é a soma das áreas de todas as suas faces laterais. Área total é a soma da área lateral com a área da base. S = S + S t l B 42

43 2.4. Pirâmide regular Uma pirâmide é regular se, e somente se, sua base é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro da base. 43

44 2.4. Pirâmide regular É de imediata verificação que as arestas laterais de uma pirâmide regular são congruentes entre si. Consequentemente, todas as suas faces laterais são triângulos isósceles congruentes. 44

45 2.5. Apótema Chama-se apótema de uma pirâmide regular o segmento que une o vértice da pirâmide ao ponto médio de qualquer um dos lados do polígono da base. 45

46 2.5. Apótema Note que, por ser a mediana relativa à base de um triângulo isósceles, o apótema é também a altura relativa à base desse triângulo. 46

47 2.5. Apótema Além do apótema da pirâmide há também o apótema da base. Esse último é o segmento que une o centro de um polígono regular ao ponto médio de qualquer um de seus lados. 47

48 2.5. Apótema Altura Apótema da pirâmide Apótema da base ab = r r = raio do círculo inscrito a = a + h p b 48

49 2.5. Apótema Altura Aresta lateral Raio do círculo circunscrito a = h + R l 49

50 2.5. Apótema Apótema da pirâmide Aresta lateral l/2 a l = a l p 2 50

51 2.5. Apótema Dentre as pirâmide regulares convém destacar o tetraedo regular. Nele, as 6 arestas são congruentes e, consequentemente, todas as faces, incluindo a base, são triângulos equiláteros congruentes. 51

52 2.5. Apótema Exercício 14: Calcule a área total de um tetraedro regular de aresta a. 52

53 2.5. Apótema Exercício 15: Numa pirâmide quadrangular regular todas as arestas (da base e laterais) são congruentes entre si e medem 2 m cada uma. Calcule: (a) a altura; (b) o apótema da base; (c) o apótema; (d) a área lateral e (e) a área total. 53

54 2.5. Apótema Exercício 16: A figura seguinte mostra um tetraedro triretângulo em O. Isto é, OA, OB e OC são perpendiculares dois a dois. Calcule a área total dessa pirâmide sabendo que OA = OB = OC = a. 54

55 2.5. Apótema Exercício 17: A figura seguinte mostra uma pirâmide quadrangular inscrita num cubo de aresta 2a. O vértice da pirâmide é o centro da face ABCD. Calcule: (a) a aresta lateral e (b) a área lateral. 55

56 2.6. Secção transversal Secção transversal de uma pirâmide é a intersecção dessa pirâmide com qualquer plano paralelo à sua base. 56

57 2.6. Secção transversal Toda secção transversal de uma pirâmide triangular é um triângulo semelhante ao triângulo da base. Além disso, se a altura da pirâmide é H e a distância de seu vértice ao plano da secção transversal é igual a h, então a razão de semelhança desses triângulos é: k = h H 57

58 2.6. Secção transversal Assim, com relação à figura, tem-se: A BC ' ' ' ABC ' ' ' ' ' ' A B BC AC h = = = AB BC AC H 58

59 2.6. Secção transversal Como o plano que gera a secção transversal é paralelo ao plano da base, é de imediata verificação que os lados do triângulo A B C são paralelos aos correspondentes lados do triângulo ABC. Logo, 59

60 2.6. Secção transversal ' ' ' ' A B // AB PA B PAB ' ' ' ' A B PA PB = = (1) AB PA PB ' ' ' ' BC // BC PB C PBC B C = BC PB PB ' ' ' (2) ' ' ' ' AC // AC PAC PAC AC = AC PA PA ' ' ' (3) 60

61 2.6. Secção transversal De (1), (2) e (3), conclui-se que: ' ' ' ' ' ' A B BC AC = = AB BC AC 61

62 2.6. Secção transversal Logo, pelo critério L.L.L. de semelhança de triângulos, temos: A ' BC ' ' ABC 62

63 2.6. Secção transversal Para demonstrar que a razão de semelhança é igual a h/h, por P traçamos a reta perpendicular aos planos dos triângulos A B C e ABC, a qual intercepta essses planos nos pontos D e D. 63

64 2.6. Secção transversal Então é imediato que PA D R PAD. Logo, ' ' ' ' ' PA A B A B h = = PA AB AB H 64

65 2.6. Secção transversal Porém, de (1) sabemos que ' ' ' PA PD PA h = = PA PD PA H 65

66 2.6. Secção transversal Esse teorema pode ser facilmente estendido para pirâmides de bases quaisquer. Daqui em diante vamos admitir que ele é válido para qualquer tipo de pirâmide. Assim, supondo que A B C D E seja uma secção transversal da pirâmide acima, temos: 66

67 2.6. Secção transversal ' ' ' ' ' ' PA PB A B BC h = = = = = = PA PB AB BC H 67

68 2.6. Secção transversal Além disso, como a razão entre as áreas de polígonos semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança, se S b e S B representam a área da secção transversal e a área da base, temos: S S b B = h H

69 2.5. Apótema Exercício 18: A área da base de uma pirâmide é igual a 100 cm 2 e sua altura é H. Calcule H, sabendo que uma secção transversal dessa pirâmide, feita a 9 cm do vértice, tem área igual a 36 cm 2. 69

70 2.5. Apótema Exercício 19: A uma distância x do vértice de uma pirâmide, um plano paralelo à base determina uma secção transversal cuja área é igual a 1/9 da área da base. Calcule x em função da altura H dessa pirâmide. 70

71 2.5. Apótema Exercício 20: Na figura, a área da secção transversal é igual a 75 cm 2. Qual é a área da base da pirâmide? 71

72 2.7. Volume da pirâmide ' Suponha que as duas pirâmides da figura acima tenham a mesma altura H e que suas bases tenham a mesma área S B. Sejam S b e S b as áreas das secções transversais determinadas por um plano situado a uma distância h dos vértices das pirâmides. 72

73 2.7. Volume da pirâmide ' Então, da pirâmide 1, temos: S S b B = 2 h (1) 2 H e da pirâmide 2, temos: S S ' 2 b B = h (2) 2 H 73

74 2.7. Volume da pirâmide ' De (1) e (2) conclui-se que S S b B ' S b = Sb = S B S ' b 74

75 2.7. Volume da pirâmide ' A última igualdade mostra que as secções transversais, determinadas por um mesmo plano paralelo às bases, têm áreas iguais. Logo, pelo princípio de Cavalieri, as duas pirâmides têm volumes iguais. A partir dessa propriedade é possível estabelecer a fórmula que permite calcular o volume de uma pirâmide. 75

76 2.7. Volume da pirâmide O volume de uma pirâmide triangular qualquer é igual a um terço do produto da área de sua base pela sua altura. 1 V = S H 3 B 76

77 2.7. Volume da pirâmide Inicialmente vamos considerar um prisma triangular que tenha a mesma base e a mesma altura da pirâmide. Agora, vamos decompor esse prisma em três pirâmides (1, 2 e 3), conforme a figura seguinte, e provar que essas três pirâmides têm volumes iguais. 77

78 2.7. Volume da pirâmide 78

79 2.7. Volume da pirâmide As pirâmides 1 e 2 têm volumes iguais, pois as suas bases ABC e DEF têm áreas iguais (elas são congruentes) e ambas as pirâmides possuem a mesma altura (a própria altura do prisma). Logo, V1 = V2 (1) 79

80 2.7. Volume da pirâmide Agora, observe as pirâmides 2 e 3. Considere como bases os triângulos FEC e BCE. A área de cada um desses triângulos é a metade da área da face BCFE do prisma. Logo, essas bases têm áreas iguais. 80

81 2.7. Volume da pirâmide Além disso, as pirâmides 2 e 3 têm a mesma altura (distância do vértice D ao plano da face BCFE do prisma). Então, V2 = V3 (2) 81

82 2.7. Volume da pirâmide De (1) e (2), vem: V1 = V2 = V3 82

83 2.7. Volume da pirâmide Logo, o volume de cada uma dessas pirâmides é um terço do volume do prisma. Particularmente, como a pirâmide 1 tem a mesma base e a mesma altura do prisma, conclui-se que 1 V = SB H 3 83

84 2.7. Volume da pirâmide Essa fórmula pode ser facilmente generalizada para pirâmides com quaisquer tipos de bases. Para tanto, suponha que, na figura acima, a pirâmide qualquer e a pirâmide triangular tenham a mesma altura H e que suas bases tenham a mesma área S B. 84

85 2.7. Volume da pirâmide Nessas condições, conforme já demonstramos, as duas pirâmides têm volumes iguais. V = V

86 2.7. Volume da pirâmide Porém, já sabemos que o volume da pirâmide triangular é 1 V = S H 1 3 B 86

87 2.7. Volume da pirâmide Logo, 1 V = V V = S H B 87

88 2.7. Volume da pirâmide Exercício 21: Calcule o volume de um tetraedro regular de aresta a. Ver slide 67. Aula: Geometria Plana I 88

89 2.7. Volume da pirâmide Exercício 22: Numa pirâmide quadrangular regular, a área lateral é igual a 260 cm 2 e a aresta da base mede 10 cm. Qual é o volume dessa pirâmide? 89

90 2.7. Volume da pirâmide Exercício 23: As arestas da base de uma pirâmide triangular medem 5 cm, 7 cm e 8 cm. Calcule a altura dessa pirâmide sabendo que ela é equivalente (isto é, tem o mesmo volume) a um cubo de aresta a = 6 cm. 90

91 2.7. Volume da pirâmide Exercício 24: A figura mostra uma pirâmide que, seccionada por um plano paralelo à base, fica decomposta em duas partes; uma pirâmide menor e um sólido denominado tronco de pirâmide. Se a área da base da pirâmide primitiva é igual a 54 cm 2, calcule o volume: (a) da nova pirâmide e (b) do tronco de pirâmide. 91

92 3. Cilindros Considere dois círculos de mesmo raio r contidos em planos paralelos e seja e a reta que passa pelo seus centros. 92

93 3. Cilindros Chama-se cilindro circular, ou simplesmente cilindro, a reunião de todos os segmentos paralelos à reta e, cujas extremidades pertencem cada uma a um dos círculos considerados. 93

94 3.1. Elementos do cilindro Bases: São os dois círculos considerados na definição. Eixo: É a reta e, que passa pelos centros das bases. 94

95 3.1. Elementos do cilindro Geratriz: É qualquer segmento paralelo ao eixo, cujas extremidades pertencem às circunferências das bases. Em todo cilindro, as geratrizes são congruentes entre si. Altura: É a distância dos planos que contêm as bases. 95

96 3.2. Secções do cilindro A intersecção, não-vazia, de um cilindro com qualquer plano que seja paralelo às bases é uma secção transversal do cilindro. A intersecção de um cilindro com qualquer plano que contém seu eixo é chamada secção meridiana do cilindro. 96

97 3.2. Secções do cilindro Verifica-se que qualquer secção transversal de um cilindro é um círculo congruente às bases, enquanto toda secção meridiana é um paralelogramo. 97

98 3.3. Classificação dos cilindros Um cilindro é denominado reto se o seu eixo é perpendicular aos planos das bases. Um cilindro não-reto é denominado oblíquo. 98

99 3.3. Classificação dos cilindros Dentre os cilindros retos devemos destacar o cilindro equilátero, no qual as geratrizes são congruentes aos diâmetros das bases. 99

100 3.3. Classificação dos cilindros Todo cilindro reto pode ser definido como sendo o sólido gerado pela rotação completa de um retângulo em torno de um de seus lados. Por isso, o cilindro reto também é chamado cilindro de revolução. 100

101 3.4. Área lateral e área total Imagine que a superfície lateral de um cilindro circular reto seja feita de papel. Cortando-se essa superfície segundo uma geratriz, podemos planificá-la, obtendo um retângulo, cuja base tem o comprimento da circunferência da base do cilindro e cuja altura é a própria altura do cilindro. 101

102 3.4. Área lateral e área total A área desse retângulo é a própria área da superfície lateral do cilindro reto. Logo, Sl = 2π r H 102

103 3.4. Área lateral e área total Para obter a área total do cilindro reto, basta somar as áreas das duas bases com a área lateral. S = S + 2 S t l B S = 2 r H + 2 r t ( ) S = 2 r H + r t π π π 2 103

104 3.5. Volume do cilindro V Cilindro = V Prisma Tal como o volume do prisma, o volume do cilindro é dado pelo produto da área de sua base pela sua altura. 104

105 3.5. Volume do cilindro Com o auxílio do princípio de Cavalieri, podemos facilmente constatar que um cilindro e um prisma, cujas alturas são iguais e cujas bases têm a mesma área, têm volumes iguais. 105

106 3.5. Volume do cilindro V = S H B 2 V = πr H 106

107 3.5. Volume do cilindro Exercício 25: Calcule o volume do sólido gerado pela rotação completa do retângulo abaixo em torno do eixo e. 107

108 3.5. Volume do cilindro Exercício 26: Um cano de drenagem é um tubo cilíndrico com 2,0 m de comprimento. Os diâmetros externo e interno são respectivamente iguais a 52 cm e 46 cm. Calcule o volume de argila, em litros, necessário para fabricar um tubo. Utilize π = 3,

109 3.5. Volume do cilindro Exercício 27: A embalagem de um certo produto era uma lata cilíndrica de 4 cm de altura e 12 cm de diâmetro de base. O fabricante substituiu essa embalagem por uma outra lata cilíndrica do mesmo material e com o mesmo volume da antiga. Se o diâmetro da base da nova embalagem é de 6 cm, calcule: (a) a sua altura e (b) o percentual de economia de material na fabricação da nova embalagem. 109

110 4. Cones Considere um círculo contido num plano e um ponto P fora desse plano. Chama-se cone circular, ou simplesmente cone, a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer do círculo. 110

111 4.1. Elementos do cone Vértice: É o ponto P da figura. Base: É o círculo considerado na definição. Eixo: É a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base. 111

112 4.1. Elementos do cone Geratriz: É qualquer segmento com uma extremidade no vértice e outra num ponto qualquer da circunferência da base. Altura: É a distância do vértice ao plano que contém a base. 112

113 4.2. Secção transversal, secção meridiana e classificação Os conceitos de secção transversal e secção meridiana e a classificação dos cones são estabelecidos de modo análogo aos sólidos já estudados. 113

114 4.2. Secção transversal, secção meridiana e classificação Altura Geratriz Raio g 2 = h 2 + r 2 114

115 4.2. Secção transversal, secção meridiana e classificação Verifica-se que qualquer secção transversal de um cone circular é um círculo. Para essa secção, vale a propriedade análoga à que demonstramos para as pirâmides. S S b B h = H

116 4.3. Observações No cone reto todas as geratrizes são congruentes entre si. Cone equilátero é todo cone reto em que as geratrizes são congruentes ao diâmetro da base. g = 2r 116

117 4.3. Observações Todo cone reto pode ser definido como sendo o sólido gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um dos catetos. Assim, o cone reto é também chamado cone de revolução. 117

118 4.4. Área lateral e área total Se l é o comprimento do arco AB da figura, então a medida θ, em radianos, do ângulo central AOB é: θ = θ = l R comprimento do arco raio 118

119 4.4. Área lateral e área total A área do setor circular AOB, para θ em radianos, é dada por: θ R = π = θ 2π 2 2 Sset R Sset 2 119

120 4.4. Área lateral e área total Agora, considere um cone circular reto de geratriz g e cujo raio da base é r. Planificando-se a superfície lateral desse cone, obtém-se um setor circular de raio g e cujo arco correspondente tem comprimento igual a 2πr (comprimento da circunferência da base do cone). A área desse setor é a área lateral do cone. 120

121 4.4. Área lateral e área total Para θ em radianos, temos: 2π r θ = g 2π r g S = 2 set g g 2 Sset = θ

122 4.4. Área lateral e área total Efetuando as simplificações, obtemos: Sset = πrg Assim, a área da superfície lateral do cone reto é dada por: Sl = πrg 122

123 4.4. Área lateral e área total Para calcular a área total do cone reto, basta somar a sua área lateral com a área da base. S = S + S t l B S = πrg + πr t S = πr( g + r ) t 2 123

124 4.5. Volume do cone Empregando-se o princípio de Cavalieri, verifica-se que um cone e uma pirâmide, cujas alturas são iguais e cujas bases têm áreas iguais, têm volumes iguais. V cone = V pirâmide 124

125 4.5. Volume do cone Desse modo, podemos concluir que o volume de um cone qualquer é igual a um terço do produto da área de sua base pela sua altura. 125

126 4.5. Volume do cone 1 1 ( 2 V = S ) B H V = πr H 3 3 V = 1 π 3 2 r H 126

127 4.5. Volume do cone Exercício 28: Com um cartão em forma de setor circular, cujo ângulo central mede 216 o e cujo raio mede 15 cm, constrói-se um cone circular. Qual é o volume desse cone? 127

128 4.5. Volume do cone Exercício 29: Calcular o volume do sólido gerado pela rotação completa do tiângulo isósceles ABC, em torno do lado AB. 128

129 4.5. Volume do cone Exercício 30: Num cone reto, de altura H = 8 cm, a área de uma secção meridiana é igual a 48 cm 2. Calcule: (a) a área lateral; (b) a área total e (c) o volume. 129

130 4.5. Volume do cone Exercício 31: No exercício abaixo, calcule o volume do sólido gerado pela rotação da figura em torno do eixo indicado. 130

131 5. Esfera Dados um ponto O e uma distância R, chamase esfera o conjunto de todos os pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são menores ou iguais a R. raio. O ponto O é o centro da esfera e R é o seu 131

132 5. Esfera Além da esfera, definimos também a superfície esférica como sendo o conjunto de todos os pontos do espaço situados a uma mesma distância R de um ponto fixo O. 132

133 5. Esfera Os conceitos de esfera e de superfície esférica podem também ser formulados por meio de rotações de figuras. A esfera é gerada pela rotação de um semicírculo em torno de seu diâmetro. 133

134 5. Esfera A superfície esférica é gerada pela rotação de um semicircunferência em torno de seu diâmetro. 134

135 5.1. Área de uma secção esférica Um plano e uma esfera que têm um único ponto comum são denominados tangentes. Nesse caso, o raio que tem uma extremidade no ponto de tangência é perpendicular ao plano. 135

136 5.1. Área de uma secção esférica Observe que, sendo S a área da secção, temos: 2 S = πr Por outro lado, pelo teorema de Pitágoras, obtemos: r + d = R r = R d 136

137 5.1. Área de uma secção esférica Logo, S = πr S = π( R d ) 137

138 5.1. Área de uma secção esférica Esse resultado, que expressa a área da secção em função do raio R da esfera e da distância d, será de grande valia para determinar o volume da esfera. Desde já, é importante você observar que 2 2 S = ( R d ) π 138

139 5.1. Área de uma secção esférica é também a área de uma coroa circular de raios R e d. S = π R d coroa 2 2 ( ) 139

140 5.2. Volume da esfera O volume da esfera será obtido com o auxílio do princípio de Cavalieri. Para tanto, vamos utilizar o seguinte sólido conhecido como anticlepsidra. 140

141 5.2. Volume da esfera Trata-se de um cilindro equilátero, do qual foram eliminados dois cones retos cujas bases são as próprias bases do cilindro e cujas alturas são iguais à metade da altura do cilindro. O centro do cilindro é o vértice dos dois cones. 141

142 5.2. Volume da esfera Nesse sólido, vamos considerar uma secção transversal determinada por um plano situado a uma distância d do vértice dos cones. 142

143 5.2. Volume da esfera Essa secção é uma coroa circular. Nela, é imediato que o raio da circunferência menor é igual à distância d. O raio da circunferência maior é o próprio raio R da base do cilindro. Assim, a área da secção é: ( 2 2 ) S = π R d 143

144 5.2. Volume da esfera Então, o princípio de Cavalieri nos permite concluir que o volume da anticlepsidra é igual ao volume de uma esfera de raio R. 144

145 5.2. Volume da esfera Por outro lado, o volume da anticlepsidra é fácil de ser determinado. Para isso, basta subtrair os volumes dos dois cones do volume do cilindro equilátero. 145

146 5.2. Volume da esfera π π 2 2 V = R R R R 2 V = 2π R πr V = πr

147 5.2. Volume da esfera Exercício 32: Calcular o volume da esfera circunscrita a um cubo de aresta a = 2 cm. 147

148 5.2. Volume da esfera Exercício 33: Uma pequena bola de borracha, de 3,5 cm de raio, é colocada dentro de um vaso cônico. A abertura do vaso tem 7 cm de raio e sua profundidade é de 24 cm. Calcular a distância da bola ao fundo do vaso. 148

149 5.2. Volume da esfera Exercício 34: Calcule o volume de uma esfera inscrita num cubo de 6 cm de aresta. 149

150 5.2. Volume da esfera Exercício 35: Uma esfera, cujo volume é igual a 256π/3 cm 3, está inscrita num cilindro equilátero, conforme mostra a figura. Calcule, do cilindro: (a) a área lateral e (b) o volume. 150

151 5.2. Volume da esfera Exercício 36: Calcule o volume da esfera inscrita num cone equilátero, cujo raio da base é

152 5.2. Volume da esfera Exercício 37: Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da figura em torno do eixo e. 152

153 5.3. Área da superfície esférica Considere um prisma cuja altura x seja bastante pequena. Se S é a área da base desse prisma, então seu volume é: V = S x e, portanto, V S x = 153

154 5.3. Área da superfície esférica Essa igualdade é válida para qualquer x > 0. Agora, imagine que x diminua assumindo valores positivos infinitamente pequenos. Conforme x tende a zero, o prisma tende a tornar-se uma superfície, cuja área continua sendo dada por V x 154

155 5.3. Área da superfície esférica S = V x Desde que x seja suficientemente pequeno, esse raciocínio pode também ser aplicado para figuras não-planas. Assim, ele será utilizado para determinar a área da superfície esférica. 155

156 5.3. Área da superfície esférica Para tanto, considere duas esferas concêntricas: uma de raio R e outra de raio R + x. A região do espaço compreendida entre as duas superfícies esféricas é chamada concha esférica. 156

157 5.3. Área da superfície esférica Se V é o volume da concha e S a área da superfície esférica de raio R, então V/x é aproximadamente igual a S. V S x 157

158 5.3. Área da superfície esférica Quanto menor for o valor de x, mais a expressão V/x se aproxima de S, isto é, se x tender a zero, V/x tende a S. Vamos calcular o volume V da concha e analisar o que ocorre com a expressão V/x quando x

159 5.3. Área da superfície esférica O volume da concha é a diferença dos volumes das esferas. Isto é, 4 4 V = π ( R + x) πr V = π ( R + x) R

160 5.3. Área da superfície esférica 4 V = π 3 4 V = π 3R x + 3Rx + x 3 4 V = π x 3R + 3Rx + x 3 ( R + 3 R x + 3 Rx + x R ) ( ) ( 2 2 ) 160

161 5.3. Área da superfície esférica V x 4 3 Logo, = π ( 3R 2 + 3Rx + x 2 ) Quando x tende a zero, os termos 3Rx e x 2 também se aproximam de zero. Desse modo, 161

162 5.3. Área da superfície esférica V x V x 4 π 3 4π R ( 2 3R ) 2 162

163 5.3. Área da superfície esférica E já que V/x tende a S, conclui-se que S = 4 πr 2 163

164 5.3. Área da superfície esférica Exercício 38: Calcule a área da superfície de uma esfera cujo volume é 36π cm

165 5.3. Área da superfície esférica Exercício 39: A figura mostra um cone reto, cuja base tem área igual a 144π cm 2, inscrito numa esfera cuja superfície tem área igual a 900π cm 2. Calcule o volume do cone. 165

166 5.3. Área da superfície esférica Exercício 40: No exercício abaixo, calcule a área total do sólido gerado pela rotação da figura em torno do eixo e. 166

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