3 PIRÂMIDE RETA 1 ELEMENTOS DA PIRÂMIDE 4 PIRÂMIDE REGULAR 2 CLASSIFICAÇÃO DE PIRÂMIDES. Matemática Pedro Paulo GEOMETRIA ESPACIAL V

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1 Matemática Pedro Paulo GEOMETRIA ESPACIAL V 1 ELEMENTOS DA PIRÂMIDE Pirâmide é um poliedro formado por um polígono que é a base e um ponto fora do plano da base que é o vértice. Cada lado do polígono da base é denominado aresta da base. Cada vértice da base é ligado ao vértice por uma aresta lateral. Se alguma face da pirâmide é diferente da base, ela é uma face lateral. Note que as faces laterais são todas triângulos. Finalmente, a altura da pirâmide é a distância entre a base e o vértice. 3 PIRÂMIDE RETA Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro da base. Figura 2 pirâmide reta Observação: Na figura 2, note que os triângulos,, e são todos retângulos 4 PIRÂMIDE REGULAR Uma pirâmide é regular quando ela é reta e a sua base é um polígono regular Figura 1 elementos da pirâmide 2 CLASSIFICAÇÃO DE PIRÂMIDES As pirâmides são classificadas de acordo com o número de lados do polígono da base: Se a base é um triângulo, a pirâmide é denominada pirâmide triangular; Se a base é um quadrilátero, a pirâmide é denominada pirâmide quadrangular; Se a base é um pentágono, a pirâmide é denominada pirâmide pentagonal; Se a base é um hexágono, a pirâmide é denominada pirâmide hexagonal; Figura 3 pirâmide regular Em uma pirâmide regular, deve-se destacar: - o polígono da base tem lado e é ínscritível em uma circunferência de raio, que é o raio da base; - o apótema do polígono da base é chamado de apótema da base e a sua medida é ; - as arestas laterais medem são todas congruentes; - As faces laterais são triângulos isósceles congruentes; - a altura de uma face lateral (altura relativa à base de um triângulo isósceles) é chamada apótema da pirâmide e a sua medida é Observação: na figura 3, é ponto médio do lado. Logo, é mediana e altura do triângulo isósceles. 1 Geometria CASD Vestibulares

2 Ainda na figura 3, deve-se destacar os seguintes triângulos: 5 ÁREAS E VOLUME DA PIRÂMIDE 5.1 Área lateral A área lateral de uma pirâmide é a soma das áreas de todos os triângulos que são faces laterais da pirâmide 5.2 Área da base Figura 4 triângulo retângulo Como o triângulo é retângulo, pelo Teorema de pitágoras, tem-se: A área da base de uma pirâmide é a área do polígono da sua base. 5.3 Área total A área total de uma pirâmide é a soma da área lateral com a área da base: 5.4 Volume Pode-se mostrar que um prisma de área da base e altura pode ser decomposto em três pirâmides com a mesma área da base e a mesma altura. Nesse caso, tem-se: Figura 5 triângulo isósceles Como o triângulo Teorema de pitágoras, tem-se: é retângulo, pelo ERRATA - No material de Geometria Espacial IV, troque 4.1 Área da base por 4.2 Área da base - No material de Geometria Espacial IV, troque 4.2 Área total por 4.3 Área total - No material de Geometria Espacial IV, troque 4.3 Volume por 4.4 Volume Figura 6 triângulo isósceles Como o triângulo Teorema de pitágoras, tem-se: é retângulo, pelo CASD Vestibulares Geometria 2

3 Nível I EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. (ENEM PPL 2012) O Museu do Louvre, localizado em Paris, na França, é um dos museus mais visitados do mundo. Uma de suas atrações é a Pirâmide de Vidro, construída no final da década de A seguir tem-se, na Figura 1, uma foto da Pirâmide de Vidro do Louvre e, na Figura 2, uma pirâmide reta de base quadrada que a ilustra. 2. (UERJ - 14) Um quadrado de centro está situado sobre um plano. Esse plano contém o segmento, perpendicular a, conforme ilustra a imagem: Admita a rotação de centro do segmento em um plano perpendicular ao plano a, como se observa nas imagens: Considere os pontos,,, como na Figura 2. Suponha que alguns reparos devem ser efetuados na pirâmide. Para isso, uma pessoa fará o seguinte deslocamento: 1) partir do ponto e ir até o ponto. deslocando-se pela aresta ; 2) ir de até, deslocando- se pela aresta que contém esses dois pontos; 3) ir de até, pelo caminho de menor comprimento; 4) deslocar se de até pela aresta que contém esses dois pontos. Disponível em: Acesso em: 29 fev A projeção do trajeto da pessoa no plano da base da pirâmide é melhor representada por Considere as seguintes informações: - o lado do quadrado e o segmento medem metro; - a rotação do segmento é de radianos, sendo ; - corresponde ao ângulo formado pelo segmento e o plano ; - o volume da pirâmide, em metros cúbicos, é igual a. O gráfico que melhor representa o volume da pirâmide, em, em função do ângulo, em radianos, é: a) b) a) b) c) d) c) e) d) 3 Geometria CASD Vestibulares

4 3. (ENEM - 12) Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as planificações dessas caixas. 6. (UFPE - 12) Os vértices de um tetraedro são um dos vértices de um cubo de aresta e os três vértices ligados a ele por uma aresta do cubo, como ilustrado na figura abaixo. Se é o volume do tetraedro, em assinale. Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações? a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide. b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide. c) Cone, tronco de pirâmide e prisma. d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma. e) Cilindro, prisma e tronco de cone. 4. (ENEM - 09) Um artesão construiu peças de artesanato interceptando uma pirâmide de base quadrada com um plano. Após fazer um estudo das diferentes peças que poderia obter, ele concluiu que uma delas poderia ter uma das faces pentagonal. Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do artesão? 7. (UNESP - 11) Há anos, o Imperador Quéops do Egito mandou construir uma pirâmide regular que seria usada como seu túmulo. As características e dimensões aproximadas dessa pirâmide hoje, são: 1.ª) Sua base é um quadrado com metros de lado; 2.ª) Sua altura é de metros. Suponha que, para construir parte da pirâmide equivalente a, o número médio de operários utilizados como mão de obra gastava em média dias. Dados que e que e mantidas estas médias, o tempo necessário para a construção de toda pirâmide, medido em anos de dias, foi de, aproximadamente, a) Uma pirâmide de base quadrada tem arestas laterais e a interseção de um plano com a pirâmide intercepta suas arestas laterais. Assim, esses pontos formam um polígono de lados. b) Uma pirâmide de base quadrada tem faces triangulares e, quando um plano intercepta essa pirâmide, divide cada face em um triângulo e um trapézio. Logo, um dos polígonos tem lados. c) Uma pirâmide de base quadrada tem faces e a interseção de uma face com um plano é um segmento de reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, o polígono obtido nessa interseção tem lados. d) O número de lados de qualquer polígono obtido como interseção de uma pirâmide com um plano é igual ao número de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem faces, o polígono tem lados. e) O número de lados de qualquer polígono obtido interceptando-se uma pirâmide por um plano é igual ao número de arestas laterais da pirâmide. Como a pirâmide tem arestas laterais, o polígono tem lados. 5. (UFRGS - 12) Se duplicarmos a medida da aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular e reduzirmos sua altura à metade, o volume desta pirâmide a) será reduzido à quarta parte. b) será reduzido à metade. c) permanecerá inalterado. d) será duplicado. e) aumentará quatro vezes. a) b) c) d) e) 8. (FUVEST - 13) No paralelepípedo reto retângulo da figura, tem-se, e a) Qual é a área do triângulo? b) Qual é o volume do tetraedro? c) Qual é a área do triângulo? d) Sendo o ponto do triângulo mais próximo do ponto, quanto vale? 9. (ITA 13 - ADAPTADA) No paralelepípedo reto retângulo, um plano passa pelos vértices,,, determinando um triângulo cujos lados, e. O volume, em, do sólido é a) b) c) d) e) CASD Vestibulares Geometria 4

5 Nível II 10. (UNIFESP - 14) A figura indica uma pirâmide regular quadrangular reta cujas faces laterais são triângulos equiláteros. A aresta da base dessa pirâmide mede. 12. (IME - 11) A base de uma pirâmide é um retângulo de área. Sabe-se que duas de suas faces laterais são perpendiculares ao plano da base. As outras duas faces formam ângulos de e com a base. O volume da pirâmide é: a) b) c) d) e) Duas formigas, e, partiram do ponto médio da aresta para o ponto médio da aresta sempre caminhando por faces, arestas, ou cruzando arestas. Dentre todos os caminhos possíveis ligando os dois pontos, a formiga escolheu o mais curto deles. Já a formiga escolheu o caminho mais curto dentre todos que passam pela base da pirâmide. Calcule: 13. (EPCAR (AFA) - 12) Um sólido maciço foi obtido quando a base de uma pirâmide hexagonal regular de altura foi colada à base de uma pirâmide reta de base retangular e altura de forma que dos vértices da base da primeira coincidam com os vértices da base da segunda, conforme figura. Desprezando-se o volume da cola, se a aresta da base da pirâmide hexagonal mede então, o volume do sólido obtido, em, é igual a a) a distância percorrida pela formiga. b) a distância percorrida pela formiga. a) b) c) d) 11. (FUVEST - 08) Pedrinho, brincando com seu cubo mágico, colocou-o sobre um copo, de maneira que - apenas um vértice do cubo ficasse no interior do copo, conforme ilustra a foto; - os pontos comuns ao cubo e ao copo determinassem um triângulo equilátero. 14. (UFPE - 11) Uma pirâmide hexagonal regular tem a medida da área da base igual à metade da área lateral. Se a altura da pirâmide mede, assinale o inteiro mais próximo do volume da pirâmide, em. Dado: use a aproximação:. Sabendo-se que o bordo do copo é uma circunferência de raio, determine o volume da parte do cubo que ficou no interior do copo. 5 Geometria CASD Vestibulares

6 15. (ESPCEX (AMAN) - 11) Na figura abaixo, está representado um sólido geométrico de faces, obtido a partir de um cubo e uma pirâmide. Sabendo que todas as arestas desse sólido têm medida, então as medidas da altura (distância do ponto à face ) e da superfície total desse sólido são, respectivamente, 17. (UPF - 12) Nesta figura estão representados dois poliedros de Platão: o cubo e o octaedro a) ( ) e b) ( ) e c) ( ) e ( ) d) ( ) e e) ( ) e ( ) 16. (UFPE - 11) Na ilustração a seguir, temos um octaedro regular com área total da superfície. Indique o volume do octaedro, em. Cada aresta do cubo mede e os vértices do octaedro são os pontos centrais das faces do cubo. Então, é correto afirmar que a área lateral e o volume do octaedro medem, respectivamente: a) e b) e c) e d) e e) e 18. (FATEC - 09) Uma pirâmide quadrangular regular de base e vértice tem volume igual a. Considerando que a base da pirâmide tem centro e que é o ponto médio da aresta, se a medida do ângulo é, então a medida da aresta da base dessa pirâmide é, em centímetros, igual a: a) b) c) d) e) 19. (FUVEST - 10) Uma pirâmide tem como base um quadrado de lado, e cada uma de suas faces laterais é um triângulo equilátero. Então, a área do quadrado, que tem como vértices os baricentros de cada uma das faces laterais, é igual a a) b) c) d) e) CASD Vestibulares Geometria 6

7 20. (UFRJ - 10) A pirâmide é tal que as faces, e são triângulos retângulos cujos catetos medem. Considere o cubo de volume máximo contido em tal que um de seus vértices seja o ponto, como ilustra a figura a seguir. 22. (UFJF - 11) Na figura a seguir, considere o cubo de aresta de medida e faces adjacentes e. Nesse cubo, o ponto localiza-se no centro da face oposta à face e são pontos médios das arestas e respectivamente, e pertence ao segmento a) Calcule a medida da área do triângulo. b) Sabendo que é a altura da pirâmide de base triangular, determine o valor da medida do volume dessa pirâmide. Determine a medida da aresta desse cubo em função de. 21. (ENEM 2ª APLICAÇÃO - 10) Devido aos fortes ventos, uma empresa exploradora de petróleo resolveu reforçar a segurança de suas plataformas marítimas, colocando cabos de aço para melhor afixar a torre central. Considere que os cabos ficarão perfeitamente esticados e terão uma extremidade no ponto médio das arestas laterais da torre central (pirâmide quadrangular regular) e a outra no vértice da base da plataforma (que é um quadrado de lados paralelos aos lados da base da torre central e centro coincidente com o centro da base da pirâmide), como sugere a ilustração. 23. (UNICAMP - 08) Suponha que um livro de de largura esteja aberto conforme a figura a seguir, sendo e. a) Calcule a altura do livro. b) Calcule o volume do tetraedro de vértices,,, 24. (FUVEST - 09) A figura representa uma pirâmide, cuja base é o retângulo. Sabe-se que: Se a altura e a aresta da base da torre central medem, respectivamente, e e o lado da base da plataforma mede, então a medida, em metros, de cada cabo será igual a a) b) c) d) e) Determine: a) A medida de. b) A área do trapézio. c) Volume da piramide. 7 Geometria CASD Vestibulares

8 DICAS E FATOS QUE AJUDAM 5. A figura do problema é a seguinte: 1. A figura do problema (com o trajeto e a projeção do trajeto sendo indicados pelas setas) é a seguinte: O volume inicial da pirâmide é 2. A figura do problema é a seguinte: O volume final da pirâmide é 6. A base do tetraedro é um triângulo retângulo de catetos iguais a, logo a área da sua base é. Além disso, a altura do tetraedro é, logo o seu volume é: A base é um quadrado de lado, logo a sua área é. Então, o volume da pirâmide é: 7. Como a base da pirâmide é um quadrado de lado, a área da sua base é. Além disso, a sua altura é. Então: 3. Note que o sólido da esquerda possui dois círculos como bases, o sólido do meio possui dois pentágonos como bases e cinco retângulos como faces laterais, e o sólido da direita possui um triângulo como base e três triângulos como faces laterais que se encontram no mesmo ponto. Aplicando uma regra de três simples, tem-se que: 4. Cortando a pirâmide com um plano paralelo à base, o polígono obtido é um quadrado, logo a alternativa D está errada. Assim, apenas a alternativa C reflete a figura a seguir. CASD Vestibulares Geometria 8

9 8. a) b) d) Como é o ponto do triângulo mais próximo do ponto, é a projeção ortogonal do ponto sobre o triângulo. Logo, considerando que o tetraedro tem como base o triângulo e como vértice o ponto, a sua altura é (pois é a distância do vértice ao plano da base). Logo: c) A figura do problema é a seguinte: 9. A figura do problema é a seguinte Pitágoras no triângulo retângulo : Pitágoras no triângulo retângulo : Sejam, e. Então, tem-se: Pitágoras no triângulo retângulo : No triângulo, seja a altura relativa ao lado. Seja. Então Pitágoras no triângulo retângulo : Pitágoras no triângulo retângulo : Pitágoras no triângulo retângulo : Pitágoras no triângulo retângulo : Pitágoras no triângulo retângulo : Somando as três igualdades: A pirâmide tem como base o triângulo e como altura o segmento. Então: 9 Geometria CASD Vestibulares

10 10. Sejam e os pontos médios das arestas e, respectivamente. a) Planificando a pirâmide, a figura do problema é a seguinte: ( ) Como o triângulo é isósceles,. Fazendo Pitágoras no triângulo : 11. Seja o vértice do cubo que fica no interior do copo e, e os pontos comuns ao cubo e ao copo. Seja o lado do triângulo equilátero. Como, tem-se que. As faces laterais e são triângulos equiláteros. Logo, e De fato,, pois Usando a Lei dos cossenos no triângulo : Então, a figura do problema é a seguinte: No triângulo, como e são os pontos médios de e, tem-se que é base média. Logo: b) Planificando a pirâmide, a figura do problema é a seguinte: O triângulo equilátero está inscrito em uma circunferência de raio. Então: Usando Pitágoras no triângulo retângulo : é ponto médio de No triângulo retângulo, tem-se: A parte do cubo que fica no interior do copo é a pirâmide, cuja base é o triângulo retângulo e cuja altura é o segmento. Então: CASD Vestibulares Geometria 10

11 12. A figura do problema é a seguinte: Como o triângulo é isósceles, a mediana também é altura e bissetriz, logo, No triângulo retângulo, tem-se: Seja a base da pirâmide, com,. Como as faces e formam ângulos de e com o plano da base, respectivamente, então e. Seja No triângulo retângulo, tem-se: O volume do sólido obtido é 14. A figura do problema é a seguinte: No triângulo retângulo, tem-se: Multiplicando por, tem-se: 13. Sejam a área da base da pirâmide hexagonal, a área da base da pirâmide quadrangular, a altura da pirâmide hexagonal, a altura da pirâmide quadrangular, o volume da pirâmide hexagonal e o volume da pirâmide quadrangular. Como a aresta da base da pirâmide hexagonal mede, tem-se: Sejam e as dimensões da base retangular. Então, colando as duas bases, a figura é a seguinte: Sejam o vértice da pirâmide, o centro da base, o ponto médio de uma das arestas da base e a medida da aresta da base da pirâmide. Note que a área de uma face lateral é, logo a área lateral da pirâmide é. Como a área da base é igual à metade da área lateral, tem-se: Como é o apótema da base, é o raio da circunferência inscrita na base, logo Como a altura da pirâmide é, Usando Pitágoras no triângulo retângulo : ( ) ( ) 11 Geometria CASD Vestibulares

12 15. Seja o centro da base da pirâmide. A figura do problema é a seguinte: 17. Seja o ponto médio de. Então. O triângulo retângulo está ilustrado abaixo: Usando Pitágoras no triângulo retângulo que, logo Usando Pitágoras no triângulo retângulo :, tem-se Usando Pitágoras no triângulo retângulo : Logo, a aresta do octaedro é. ( ) A área lateral do octaedro é a área de triângulos equiláteros de lado. Logo: ( ) A altura do sólido é A área de cada um dos quadrados,,, e é. Além disso, a área de cada um dos triângulos equiláteros,, e é. Logo, a superfície total do sólido é: Seja o centro do quadrado.pela questão anterior,. ( ) 16. Seja a medida da aresta do octaedro. Como o octaedro é regular, a sua área total é a área de triângulos equiláteros de lado. Logo: Note que o volume do octaedro é o dobro do volume da pirâmide. 18. Sejam a altura da pirâmide e a aresta da base. Então,,. Ilustrando o triângulo : Sejam a base da pirâmide superior, o centro da base e o seu vértice. A figura do problema é: Pela questão anterior, tem-se que: ( ) A área da base da pirâmide é. Então, se é o seu volume, tem-se: Note que o volume do octaedro é o dobro do volume da pirâmide superior. CASD Vestibulares Geometria 12

13 19. A figura do problema é a seguinte: 21. Sejam a base da pirâmide, o centro da base da pirâmide e a base da plataforma. Então e Sejam a base da pirâmide, o seu vértice, e o quadrado paralelo à base da pirâmide que tem os baricentros das faces laterais como pontos médios dos seus lados. Como é paralelo a, os triângulos e são semelhantes. Então: Seja o vértice da torre. Então. Usando Pitágoras no triângulo retângulo, tem-se: Note que a área pedida é metade de Seja o ponto médio da aresta lateral da torre, como está ilustrado na figura abaixo. O comprimento de cada cabo é o valor de : 20. A figura do problema é a seguinte: No triângulo retângulo, tem-se: Seja a aresta do cubo. Então,, Seja o ponto médio de. Note que. No triângulo, é a mediana relativa à hipotenusa, logo Semelhança entre os triângulos e : Usando a Lei dos cossenos no triângulo : ( ) ( ) 13 Geometria CASD Vestibulares

14 22. a) Sejam o ponto médio de e a projeção ortogonal de sobre o plano da base. A figura do problema é a seguinte: 23. a) Ilustrando o triângulo : Aplicando a lei dos cossenos, tem-se: Como a aresta do cubo é, tem-se: Usando Pitágoras no triângulo retângulo :, logo o triângulo é isósceles. Assim, tem-se:. Então, no triângulo : Como o triângulo é isósceles, a mediana também é altura. Logo, tem-se: b) Como é perpendicular à base da pirâmide, tem-se que. Sejam e. A figura do problema é a seguinte: Então, logo o triângulo é equilátero. Assim, Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo : ( ) b) Usando a fórmula trigonométrica da área do triângulo, a área da base do tetraedro é: O volume do tetraedro é:,, logo os triângulos e são semelhantes CASD Vestibulares Geometria 14

15 24. a) Para determinar, vamos ilustrar o triângulo. Como,, : b) Como, e, os triângulos e são congruentes. Assim, tem-se: No triângulo, tem-se que são os pontos médios de e, logo os triângulos e são semelhantes, com razão de semelhança igual a. Então, tem-se: Vamos ilustrar o trapézio : Seja o ângulo. Aplicando a lei dos cossenos no triângulo, tem-se: Sejam e os pés das perpendiculares a traçadas a partir de e, respectivamente. Então: ( ) O trapézio é isósceles, logo. Então: Aplicando a lei dos cossenos no triângulo PBE: Seja a altura do trapézio. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo : ( ) A base maior do trapézio é e a base menor é. Então a área do trapézio é: 15 Geometria CASD Vestibulares

16 c) Para calcular o volume da pirâmide, vamos considerar que ela tem base e vértice. Portanto, a altura da pirâmide é a distância entre o ponto e o trapézio. Essa distância é o tamanho do segmento perpendicular ao trapézio, e que passa pelo ponto. Sejam e os pontos médios de e, respectivamente. Então é a altura do triângulo equilátero (de lado ), é a altura do triângulo equilátero (de lado ) e é a altura do trapézio (que vale ). Então, da fórmula de altura do triângulo equilátero, tem-se: ( ) ( ) o triângulo é retângulo! Logo, o segmento perpendicularà base da pirâmide é o segmento. Portanto, a altura da pirâmide é. Então o volume da pirâmide é: 1. C 2. A 3. A 4. C 5. D 6. O valor de é 7. A GABARITO 8. a) A área do triângulo é b) O volume do tetraedro é c) A área do triângulo é d) O valor de é 9. A 10. a) A formiga percorreu b) A formiga percorreu ( ) 11. O volume da parte do cubo que ficou no interior do copo é 12. A 13. B 14. O inteiro pedido é 15. B 16. O volume do octaedro é 17. C 18. A 19. D 20. A aresta desse cubo é 21. D 22. a) A área do triângulo é b) O volume da pirâmide é 23. a) A altura do livro é b) O volume do tetraedro de vértices,, e é 24. a) O valor de é b) A área do trapézio é c) O volume da pirâmide é CASD Vestibulares Geometria 16