Lista de exercícios de Geometria Espacial 2017 Prof. Diego. Assunto 1 Geometria Espacial de Posição

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1 Assunto 1 Geometria Espacial de Posição (01). Considere um plano a e um ponto P qualquer no espaço. Se por P traçarmos a reta perpendicular a a, a intersecção dessa reta com a é um ponto chamado projeção ortogonal de ponto P sobre a. No caso de uma figura F do espaço, a projeção ortogonal de F sobre a é definida pelo conjunto das projeções ortogonais de seus pontos. Com relação a um plano qualquer fixado, pode-se dizer que: (A) a projeção ortogonal de um segmento de reta pode resultar numa semirreta. (B) a projeção ortogonal de uma reta sempre resulta numa reta. (C) a projeção ortogonal de uma parábola pode resultar num segmento de reta. (D) a projeção ortogonal de um triângulo pode resultar num quadrilátero. (E) a projeção ortogonal de uma circunferência pode resultar num segmento de reta. (0). As afirmações seguintes podem ser verdadeiras ou falsas. I. A projeção ortogonal de uma reta num plano é uma reta. II. Distância entre duas retas reversas é a perpendicular comum a essas retas. III. A distância entre dois planos só é definida se esses planos são paralelos. É correto afirmar que somente (A) II é verdadeira. (B) III é verdadeira. (C) I e II são verdadeiras. (D) I e III são verdadeiras. (E) II e III são verdadeiras. (0). O sólido geométrico abaixo é formado pela justaposição de um bloco retangular e um prisma reto, com uma face em comum. Na figura estão indicados os vértices, tanto do bloco quanto do prisma. Considere os seguintes pares de retas definidas por pontos dessa figura: as retas LB e GE ; as retas AG e HI e as retas AD e GK. As posições relativas desses pares de retas são respectivamente: (A) concorrentes; concorrentes; reversas. (B) reversas; reversas; paralelas. (C) concorrentes; reversas; paralelas. Página 1 de 17

2 (D) reversas; concorrentes; reversas. (E) concorrentes; concorrentes; reversas. Lista de exercícios de Geometria Espacial 017 Prof. Diego (04). Considere as seguintes afirmações: I Se uma reta r é perpendicular a um plano a, então todas as retas de a são perpendiculares ou ortogonais a r; II Se a medida da projeção ortogonal de um segmento AB sobre um plano a é a metade da medida do segmento AB, então a reta AB faz com a um ângulo de 60 ; III Dados dois planos paralelos α e β, se um terceiro plano γ intercepta α e β, as intersecções entre esses planos são retas reversas; IV Se α e β são dois planos secantes, todas as retas de α também interceptam β; Estão corretas as afirmações: (A) apenas I e II (B) apenas II e III (C) I, II e III (D) I, II e IV (E) II, III e IV (05). Considere as afirmações a seguir. I. Duas retas distintas determinam um plano. II. Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si. III. Se dois planos são paralelos, então toda reta de um deles é paralela a alguma reta do outro. É correto afirmar que (A) apenas II é verdadeira. (B) apenas III é verdadeira. (C) apenas I e II são verdadeiras. (D) apenas I e III são verdadeiras. (E) I, II e III são verdadeiras. Assunto - Prismas (06). Se a soma das medidas de todas as arestas de um cubo é 60 cm, então o volume desse cubo, em cm é: (A) 15 (B) 100 (C) 75 (D) 60 (E) 5 (07). Dado um prisma hexagonal regular, sabe-se que sua altura mede cm e que sua área lateral é o dobro da área de sua base, o volume desse prisma, em cm, é: (A) 7 (B) 1 (C) 1 (D) 54 (E) 17 5 (08). Uma caixa d água, com forma de um paralelepípedo retângulo, tem capacidade para 1000 litros. Qual a capacidade de outra caixa, semelhante à primeira, cujas medidas das arestas são 0% maiores? A) 178 l B) 1800 l C) 186 l D) 1900 l E) 1948 l Página de 17

3 (09). Um prisma quadrangular reto tem base de dimensões x e y. Sua altura mede z e a área total é 4x. Sabendo que z = y, então o volume é: (A) x (B) x (C) x (D) x (E) 4x (11). Na figura a seguir, I e J são os centros das faces BCGF e EFGH do cubo ABCDEFGH de aresta a. Os comprimentos dos segmentos AI e IJ são respectivamente: (A) a 6 e a (B) a 6 e a (C) a 6 e a (D) a 6 e a (E) a e a (10). A altura de um prisma hexagonal regular é 5 m. Sabe-se também que sua área lateral é o dobro da área de sua base. O volume desse prisma, em m, é: (A) 0 (B) 70 (C) 50 (D) 00 (E) 85 (11). No sólido representado abaixo, sabe-se que as faces ABCD e BCFE são retângulos de áreas 6 cm e 10 cm, respectivamente: O volume desse sólido é de: (A) 8 cm (B) 10 cm (C) 1 cm (D) 16 cm (E) 4 cm Página de 17

4 (1). Considere um prisma regular reto de base hexagonal tal que a razão entre a aresta da base e a aresta lateral é. Aumentando-se a aresta da base em cm e mantendo-se a aresta lateral, o volume do prisma ficará aumentado de 108 cm. O volume do prisma original é: (A) 18 cm (B) 6 cm (C) 18 cm (D) 6 cm (E) 40 cm (1). As medidas das arestas de um paralelepípedo retângulo são diretamente proporcionais a, 4 e 5 e a soma dessas medidas é igual a 48 cm. Então a medida da sua área total, em cm, é: (A) 75 (B) 80 (C) 104 (D) 10 (E) 1504 (14). Num prisma hexagonal regular a área lateral é 75% da área total. A razão entre a aresta lateral e a aresta da base é: (A) 5 (B) (C) 5 (D) 5 (E) 5 (15). A diagonal de um cubo de aresta a 1 mede cm, e a diagonal da face de um cubo de aresta a mede cm. Assim, a 1 a, em cm, é igual a: (A) 6 (B) (C) 6 (D) (E) 1 (16). Um prisma reto é regular quando suas bases: (A) são paralelas. (B) têm a mesma área. (C) têm arestas congruentes. (D) são polígonos regulares. (E) formam ângulo reto entre si Assunto Pirâmides e Troncos de Pirâmide (17). As arestas laterais de uma pirâmide regular medem 15 cm, e sua base é um quadrado cujos lados medem 18 cm. A altura dessa pirâmide, em centímetros, é igual a: (A) 5 (B) 7 (C) 5 (D) 7 (E) 7 (18). Em uma pirâmide reta de base quadrada de 4m de altura, uma aresta da base mede 6m. A área total dessa pirâmide, em m é: (A) 144 (B) 84 (C) 48 (D) 7 (E) 96 (19). A base de um prisma e de uma pirâmide é um polígono regular de n lados. Cada face desse prisma é um quadrado, cuja diagonal mede 18 cm. Qual a altura da pirâmide, sabendo-se que seu volume é igual ao volume do prisma: (A) 18 cm (B) cm (C) 18 cm (D) 18 cm (E) 9 cm Página 4 de 17

5 (0). A figura abaixo, formada por trapézios congruentes e triângulos equiláteros, representa a planificação de um sólido. (imagem abaixo). Esse sólido é um: (A) tronco de pirâmide (B) tronco de prisma (C) poliedro regular (D) prisma trapezoidal (E) prisma triangular (1). Determine o volume (em cm ) de uma pirâmide retangular de altura a e lados da base b e c (a, b e c em centímetros), sabendo que a + b + c = 6 e a, b e c são, respectivamente, números diretamente proporcionais a 6, 4 e. (A) 16 (B) 6 (C) 108 (D) 4 (E) 648 (). O volume de um tronco de pirâmide de 4 dm de altura e cujas áreas das bases são iguais a 6 dm e 144 dm vale: (A) 0 dm (B) 70 dm (C) 40 dm (D) 60 dm (E) 6 dm (). A área lateral de um tronco de pirâmide triangular regular cujas bases são paralelas e têm áreas 5 cm e 4 cm é, em cm : (A) 19 (B) 5 (C) (D) 1 19 (E) 5 15 (4). Uma pirâmide quadrangular regular tem 6 cm de altura e base de 8 cm de perímetro. O volume dessa pirâmide, em cm, é: (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 (E) 1 (5). O apótema de um tronco de pirâmide regular mede 10 dm, as bases são quadrados de lados, respectivamente, 8 dm e 0 dm. Dessa maneira, o volume desse tronco é, em dm, igual a: (A) 1664 (B) 144 (C) 966 (D) 877 (E) 666 Página 5 de 17

6 Assunto 4 - Cilindros (6). A diagonal da seção meridiana de um cilindro equilátero mede 7 cm. Dessa forma, o volume desse cilindro será: (A) 6π cm (B) 54π cm (C) 7π cm (D) 96π cm (E) 108π cm (7). Um fabricante de bebidas, numa jogada de marketing, quer lançar no mercado novas embalagens de latas de alumínio para os seus refrigerantes. As atuais latas de 50 ml devem ser substituídas por uma nova embalagem com metade desse volume, conforme mostra a figura: De acordo com os dados anteriores, qual a relação entre o raio r da embalagem de 175 ml e o raio r da embalagem de 50 ml? (A) r = r (B) r = r (C) r = r (D) r = r (E) r = (8). Dobrando-se a altura de um cilindro circular reto e triplicando o raio de sua base, pode-se afirmar que seu volume fica multiplicado por: (A) 6 (B) 9 (C) 1 (D) 18 (E) 6 (9). Um recipiente cilíndrico, cujo raio da base tem medida R, contém água até certa altura. Uma esfera de aço é mergulhada nesse recipiente ficando totalmente submersa, sem haver transbordamento de água. Se a altura da água subiu 9 R, então o raio da esfera mede: 16 (A) R (B) 4 R (C) 4 9 R (D) 1 R (E) 9 16 R (0). Um recipiente na forma de um cilindro circular reto contém líquido até certo nível. Colocando-se nesse recipiente uma esfera, o nível do líquido aumenta cm. Sabendo-se que o raio do cilindro mede cm, conclui-se que o raio da esfera, em cm, mede: (A) (B) (C) 4 (D) 5 (E) 6 (1). Aumentando-se o raio de um cilindro em 4 cm e mantendo-se a sua altura, a área lateral do novo cilindro é igual a área total do cilindro original. Sabendo-se que a altura do cilindro original mede 1 cm, então o seu raio mede, em cm: Página 6 de 17

7 (A) 1 (B) (C) 4 (D) 6 (E) 8 (). O diâmetro da base de um cilindro reto tem 10 cm. Sabendo que a altura do cilindro é 1 cm, o seu volume é: (A) 10π cm (B) 00π cm (C) 1440π cm (D) 100π cm (E) 1660π cm (). Tem-se um recipiente cilíndrico, de raio cm, com água. Se mergulharmos inteiramente uma bolinha esférica nesse recipiente, o nível da água sobe cerca de 1, cm. Sabe-se então, que o raio da bolinha vale, em cm, aproximadamente: (A) 1 (B) 1,5 (C) (D),5 (E) Assunto 5 Cones e Troncos de Cone (4). Um prisma e um cone retos têm bases de mesma área. Se a altura do prisma é / da altura do cone, a razão entre o volume do prisma e o volume do cone é: (A) 5/ (B) (C) / (D) 5/ (E) (5). A geratriz de um tronco de cone reto, mede 4 dm e os raios das bases, respectivamente, dm e dm. O volume desse tronco será: (A) 8 10π dm (B) π dm (C) 19 5π dm (D) 19π dm (E) 19 15π dm (6). Dobrando-se o raio da base de um cone e sua altura à metade, seu volume: (A) dobra (B) quadruplica (C) não se altera (D) reduz-se à metade do volume original (E) reduz-se a um quarto do volume original (7). Um recipiente em forma de cone circular reto, com raio da base R e altura h, está completamente cheio com água e óleo. Sabe-se que a superfície de contato entre os líquidos está inicialmente na metade da altura do cone. O recipiente dispõe de uma torneira que permite escoar os líquidos de seu interior, conforme indicado na figura. Se esta torneira for aberta, exatamente até o instante em que toda água e nenhum óleo escoar, a altura do nível do óleo, medida a partir do vértice será: Página 7 de 17

8 (A) 7 h (B) 7 h (C) 1 h (D) Lista de exercícios de Geometria Espacial 017 Prof. Diego h (E) h (8). Um cone foi formado a partir de uma chapa de aço, no formato de um setor de 1 cm de raio e ângulo central de 10. Então, a altura do cone é: (A) (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 1 (9). No tronco de cone reto, as bases são paralelas. Se o raio da base maior mede 5 cm e a distância entre as duas bases, 4 cm, então o volume desse tronco de cone, em cm, é: (A) 14π (B) 15π (C) 96π (D) 14π (E) π (40). Num cone circular reto, cujo raio da base mede r e a geratriz é g, a base é equivalente à secção meridiana. A altura desse cone mede: (A) πrg (B) πr g (C) πr (D) πg (E) π (41). Uma empresa comprou um reservatório para armazenar combustível com o formato de um tronco de cone, conforme a figura abaixo. Qual é a capacidade, em litros, desse reservatório? (A) π (B) π (C) 49 10π (D) π (E) π (4). Considerando um lustre de formato cônico com altura e raio da base igual a 0,5 m, a distância do chão (H) em que se deve pendurá-lo para obter um lugar iluminado em forma de círculo com área de 5π m, é de: Página 8 de 17

9 (A) 1m (B) 10m (C) 8m (D) 6m (E) 5m Lista de exercícios de Geometria Espacial 017 Prof. Diego Assunto 6 Esferas (4). Duas esferas de aço de raio 4 cm e 61 cm fundem-se para formar uma esfera maior. Considerando que não houve perda de material das esferas durante o processo de fundição, a medida do raio da nova esfera é de: (A) 5 cm (B) 5,5 cm (C) 4,5 cm (D) 6 cm (E) 7 cm (44). Duas esferas de raios cm e 51 cm fundem-se para formar uma esfera maior. Qual é o raio da nova esfera? (A) 78 (B) 6 (C) 68 (D) 104 (E) 6 (45). Considere duas esferas: a primeira com 16π cm de área, e a segunda com raio igual a 5/ do raio da primeira. A área da segunda esfera, em cm, é: (A) 100π. (B) 50π. (C) 40π. (D) 0π. (E) 10π. (46). Uma esfera tem 6π m de volume. A medida de sua superfície, em m, é: (A) 7π (B) 56π (C) 48π (D) 6π (E) 4π (47). Considere que uma laranja tem a forma de uma esfera de raio 4 cm, composta de 1 gomos exatamente iguais. A superfície total de cada gomo mede: (A) 4 π cm (B) 4 π cm (C) 4 π 9 cm (D) 4 π cm (E) 4 π cm 9 Assunto 7 Inscrição e Circunscrição de Sólidos / Sólidos de revolução (48). Um cone de revolução tem altura 4 cm e está circunscrito a uma esfera de raio 1 cm. O volume desse cone (em cm ) é igual a: (A) 1 π (B) π (C) 4 π (D) 8 π (E) π (49). Um cubo está inscrito em um cone reto. O raio da base do cone é igual a r e a sua área lateral é igual ao dobro de sua área da base. Determine a aresta do cubo em função de r. (A) ( )r (B) ( + )r (C) ( 1)r (D) ( 1)r (E) ( )r (50). Uma esfera de volume 6π está inscrita em um cilindro de volume igual a: (A) 9π (B) 18π (C) 4π (D) 54π (E) 60π Página 9 de 17

10 (51). Constrói-se um depósito, na forma de um sólido V, dentro de uma semiesfera de raio 4 m. O depósito é formado por uma semiesfera de raio 1 m sobreposta a um cilindro circular, dispostos conforme a figura. Então, a área da superfície total de V, em m é igual a: (A) ( )π (B) ( )π (C) ( )π (D) ( )π (E) ( )π (5). Um hexágono regular de lado igual a 8 cm está inscrito na base de um cone de revolução de volume igual a 18π cm. A razão entre a área total do cone e a área total de um cilindro, com o mesmo volume e a mesma base do cone, é de: (A) 0, (B) 0,6 (C) 0,9 (D) 0,7 (E) 0,6 (5). Um cilindro reto de altura 6 cm está inscrito num tetraedro regular e tem sua base em uma das faces do tetraedro. Se as arestas do tetraedro medem cm, o volume do cilindro, em cm, é igual a: (A) π 4 (B) π 6 (C) π 6 6 (D) π 6 9 (E) π (54). Uma esfera inscrita em uma pirâmide regular hexagonal cuja altura mede 1 cm e a aresta da base mede 10 cm. Então o raio da esfera, em cm, é igual a: (A) 10 (B) 1 (C) 15 4 (D) (E) 10 (55). Um cilindro de raio r está inscrito em uma esfera de raio 5, como indica a figura abaixo. Obtenha o maior valor de x, de modo que o volume desse cilindro seja igual a 7π. Página 10 de 17

11 (A) 1 (B) (C) (D) 5 (E) 4 Lista de exercícios de Geometria Espacial 017 Prof. Diego (56). O volume do sólido gerado por um triângulo, que gira em torno de sua hipotenusa e cujos catetos são 15 cm e 0 cm, é: (A) 1080π cm (B) 960π cm (C) 1400π cm (D) 1600π cm (E) nenhuma das respostas anteriores (57). Um cone circular reto está inscrito em um paralelepípedo reto retângulo, de base quadrada, conforme a figura. A razão b/a entre as dimensões do paralelepípedo é / e o volume do cone é π. Então, o comprimento g da geratriz do cone é: (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 10 (E) 11 (58). Todo sólido obtido através do movimento de rotação completa de uma região plana em torno de uma reta, sendo ambas no mesmo plano, é chamado de sólido de revolução. Um giro completo na região hachurada, em torno de r, determina um sólido de revolução. É correto afirmar que o volume desse sólido é de: (A) 75π cm (B) 81π cm (C) 57π cm (D) 99π cm (E) 7π cm Página 11 de 17

12 (59). Considere um cone cujo volume vale 7π cm, inscrito num cilindro, como mostra a figura. A diferença entre os volumes do cilindro e do cone vale: (A) 7π cm (B) 7π cm (C) 7π cm (D) 14π cm (E) 1π cm Assunto 8 Poliedros (60). A palavra icosaedro, de origem grega, significa 0 faces. Sabendo que o icosaedro é formado por 0 triângulos regulares, determine o número de vértices. (A) 1 (B) 4 (C) 5 (D) 8 (E) 48 (61). Arquimedes descobriu um poliedro convexo formado por 1 faces pentagonais e 0 faces hexagonais, todas regulares. Esse poliedro inspirou a fabricação da bola de futebol que apareceu pela primeira vez na Copa do Mundo de Quantos vértices possui esse poliedro? (A) 40 (B) 50 (C) 60 (D) 70 (E) 80 (6). Um poliedro convexo possui apenas faces triangulares, quadrangulares e pentagonais. O número de faces triangulares excede o de faces pentagonais em quatro unidades. Sabendo que o poliedro tem 8 vértices, o produto do número de faces de cada tipo é: (A) 10 (B) 15 (C) 0 (D) 1 (E) 18 Assunto 9 Assuntos Gerais (6). Um cubo tem seus vértices removidos cortando-se um tetraedro de cada quina, de forma que cada face quadrada torna-se um octógono regular de lado a. Qual é o volume do novo sólido? (A) (6 + 4 )a (B) (7 + 1 ) a (C) (1 + ) a (D) ( ) a (E) 77 a (64). Aumentando-se a aresta de um cubo em cm obtemos outro cubo cuja diagonal mede 15 m. A área total do cubo original, em m, é: (A) 8 (B) + (C) 8 (D) 88 (E) 7 (65). Os vértices do hexágono sombreado, na figura abaixo, são pontos médios das arestas de um cubo. Página 1 de 17

13 Se o volume do cubo é 16, o perímetro do hexágono é: (A) (B) 6 (C) 9 (D) 1 (E) 18 (66). As quatro faces do tetraedro ABCD são triângulos equiláteros. M é o ponto médio da aresta AB. O triângulo MCD é: (A) escaleno (B) retângulo em C (C) equilátero (D) obtusângulo. (E) isósceles. (67). Uma chapa com forma de um setor circular de raio 0 cm e ângulo de x graus é manuseada para se transformar num cone. Se o raio da base do cone obtido é r = 5 cm, então o valor de x é: (A) 60 (B) 75 (C) 80 (D) 85 (E) 90 (68). A figura mostra duas pirâmides regulares iguais, unidas pela base ABCD, formando um octaedro. Se ABCD tem 4 cm de lado e EF = 6 cm, o volume do sólido da figura, em cm, é: Página 1 de 17

14 (A) 6 (B) 8 (C) (D) 4 (E) 6 (69). Um desafio matemático construído pelos alunos de um curso de matemática tem as peças no formato de um cone. A figura abaixo representa a planificação de uma das peças construídas. A área total de cada peça, em cm,é de: (A) 10π (B) 16π (C) 0π (D) 8π (E) 40π (70). Uma pedra preciosa tem a forma da figura abaixo e tem 5 mm de aresta. Podemos dizer que o volume desta joia é, em mm, igual a: (A) 15 (B) 15 (C) 15 (D) 15 6 (E) 6 Página 14 de 17

15 (71). Um cone circular reto com altura de 8 cm e raio da base de cm está inscrito numa esfera que, por sua vez, está inscrita num cilindro. A razão entre as áreas das superfícies totais do cilindro e do cone é igual a: (A) ( 1) (B) 9 4 ( 1) (C) 9 4 ( 6 1) (D) ( 1) (E) ( 1) 16 (7). A soma de todas as arestas de um cubo mede 4 m. O volume da esfera inscrita nesse cubo é igual a: (A) π m (B) π 4 m (C) π m (D) π m (E) 4π m (7). Quantas arestas tem um poliedro convexo de faces triangulares em que o número de vértices é do número de 5 faces? (A) 60 (B) 0 (C) 5 (D) 0 (E) 15 (74). O volume de uma esfera é 6π m. O volume do cubo circunscrito à esfera é de: (A) 76π m (B) 7π m (C) 180π m (D) 6π m (E) 16π m (75). Um octaedro tem seus vértices localizados nos centros das faces de um cubo de aresta. O volume desse octaedro é de: (A) / (B) 4/ (C) (D) 8/ (E) 10/ UNIDADES DE COMPRIMENTO ANEXO: unidades de medidas mais utilizadas Página 15 de 17

16 Regras Práticas: Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior devemos fazer uma multiplicação por 10. Exemplo: 1 m = 10 dm Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, devemos fazer uma divisão por 10. Exemplo: 1 m = 0,1 dam Para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicar sucessivas vezes uma das regras anteriores. Exemplo: 1 m = 100 cm 1 m = 0,001 km UNIDADES DE ÁREA Regras Práticas: Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior devemos fazer uma multiplicação por 100. Exemplo: 1 m = 100 dm Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, devemos fazer uma divisão por 100. Exemplo: 1 m = 0,01 dam UNIDADES DE VOLUME Página 16 de 17

17 Regras Práticas: Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior devemos fazer uma multiplicação por Exemplo: 1 m = 1000 dm Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, devemos fazer uma divisão por Exemplo: 1 m = 0,001 dam Para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicar sucessivas vezes uma das regras anteriores. Litro O litro (l) é uma medida de volume muito comum e que corresponde a 1 dm. 1 litro = 0,001 m => 1 m = 1000 litros 1 litro = 1 dm 1 litro = cm 1 litro = mm Caso tenha dificuldades, utilize a regra de três simples para a conversão. Bom trabalho e lembre-se: Nada nesta vida é por acaso! Página 17 de 17