2 ÁREAS E VOLUME DO TETRAEDRO REGULAR 1 TETRAEDRO REGULAR. 2.1 Área lateral. 2.2 Área da base. 2.3 Área total. 2.4 Volume

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1 Matemática Pedro Paulo GEOMETRIA ESPACIAL VI são 1 TETRAEDRO REGULAR É uma piramide regular triangular, cujas faces triângulos equiláteros de lado 2 ÁREAS E VOLUME DO TETRAEDRO REGULAR 2.1 Área lateral A área lateral do tetraedro regular é a soma das áreas dos triângulos equiláteros que são faces laterais do tetraedro Figura 1 tetraedro regular 2.2 Área da base A área da base do tetraedro regular é a área do triângulo equilátero da sua base A figura mostra um tetraedro regular. Sejm o polígono da base, o seu vértice e a projeção ortogonal de sobre o plano. Como, vale. Logo, é o centro do triângulo equilátero (isto é, é baricentro, incentro, circuncentro, ortocentro). O ponto está no segmento e é o centro do tetraedro. Então Na figura, é o ponto médio de. Assim, é mediana. Logo, pela propriedade do baricentro, se, e. Como o triângulo é equilátero, a mediana também é altura. Logo. Então: 2.3 Área total A área total do tetraedro regular é a soma da área lateral com a área da base: 2.4 Volume O volume do tetraedro regular é do produto da área da sua base pela sua altura: Usando Pitágoras no triângulo retângulo : ( ) Como é a projeção ortogonal de sobre o plano da base, a altura do tetraedro regular é 1 Geometria CASD Vestibulares

2 Nível I EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. (MACKENZIE - 14) Se um tetraedro regular tem arestas de comprimento, então podemos afirmar que a) a altura é igual a b) a altura é igual a c) a altura é igual a d) o volume é igual a e) o volume é igual a 2. Atividade para Sala nº 1, Geometria Espacial VI 9. (UFPE - 12) Um joalheiro fabricou um pingente maciço de prata banhado a ouro, no formato de tetraedro regular com de aresta. O custo com material para confeccionar o pingente foi ( em prata e em ouro). Quanto o joalheiro gastará com material para confeccionar outro pingente do mesmo tipo com aresta? Considere que a espessura do banho de ouro permanece constante nos pingentes. Nível II 10. (UNIFESP - 07) Quatro dos oito vértices de um cubo de aresta unitária são vértices de um tetraedro regular. As arestas do tetraedro são diagonais das faces do cubo, conforme mostra a figura. 3. (UFSJ - 12) Se o volume de um tetraedro regular é a medida de sua aresta é, em centímetros: a) b) c) d) 4. (UEPB - 12) A área de uma circunferência circunscrita à base de um tetraedro regular de aresta é: a) b) c) d) e) 5. (UFRGS - 11) A superfície total do tetraedro regular representado na figura abaixo é. Os vértices do quadrilátero são os pontos médios de arestas do tetraedro, como indica a figura. a) Obtenha a altura do tetraedro e verifique que ela é igual a dois terços da diagonal do cubo. b) Obtenha a razão entre o volume do cubo e o volume do tetraedro. 11. Atividade para Sala nº 4, Geometria Espacial VI 12. (UNIFESP - 13) Na figura, é um paralelepípedo reto-retângulo, e é um tetraedro regular de lado, conforme indica a figura. Sabe-se ainda que: O perímetro do quadrilátero é a) b) c) d) e) e pertencem, respectivamente, às faces e ; pertence à aresta é baricentro do triângulo e pertence à diagonal da face ; é um arco de circunferência de centro. 6. Atividade Proposta nº 2, Geometria Espacial VI 7. (ITA - 05) Em relação a um sistema de eixos cartesiano ortogonal no plano, três vértices de um tetraedro regular são dados por, e. O volume do tetraedro é a) b) c) d) e) 8. (UEPB - 13) A altura de um tetraedro regular que possui área total e volume numericamente iguais, é: a) b) c) d) e) a) Calcule a medida do arco em centímetros. b) Calcule o volume do sólido, em CASD Vestibulares Geometria 2

3 13. (FUVEST - 12) Em um tetraedro regular de lado, a distância entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes é igual a a) b) c) d) 14. Atividade Proposta nº 9, Geometria Espacial VI 15. (ITA - 10) Sejam,, e os vértices de um tetraedro regular cujas arestas medem. Se é o ponto médio do segmento e e o ponto médio do segmento, então a área do triangulo, em, é igual a e) DICAS E FATOS QUE AJUDAM 1. Sabe-se que a aresta do tetraedro vale 2. Sabe-se que a aresta do peso vale Aplicando uma regra de três simples, tem-se que: a) b) c) d) e) 16. Atividade Proposta nº 7, Geometria Espacial VI 17. (FGV - 12) Arestas opostas de um tetraedro são arestas que não têm ponto em comum. Um inseto anda sobre a superfície de um tetraedro regular de aresta partindo do ponto médio de uma aresta e indo para o ponto médio de uma aresta oposta à aresta de onde partiu. Se o percurso foi feito pelo caminho mais curto possível, então o inseto percorreu a distância, em centímetros, igual a a) b) c) d) e) 18. (UERJ - 11) Um artesão retirou, de uma pedra com a forma inicial de um prisma triangular reto de base, um tetraedro regular. Observe a figura abaixo: 3. Seja a aresta do tetraedro. Então, tem-se: 4. A base de um tetraedro regular é um triângulo equilátero, como o triângulo da figura 1. O raio da circunferência circunscrita é o valor de. Como a aresta vale, tem-se: A área do círculo é ( ) 5. A figura do problema é a seguinte: Seja a aresta do tetraedro. Como a área total é : Considere os seguintes dados: - os vértices e pertencem a duas faces laterais do prisma; Determine o volume inicial da pedra. Logo,. 3 Geometria CASD Vestibulares

4 6. A aresta do tetraedro é. A área lateral é: 10. a) A figura do problema é a seguinte: Como o preço do ouro é por, o custo do ouro será A área da base do tetraedro é: Como o preço da prata é por, o custo do ouro será Logo, o custo total do recobrimento, em reais, é O tetraedro é formado pelos vértices,,,. Note que a a aresta do cubo é (aresta unitária). Usando Pitágoras no triângulo retângulo, tem-se que. Então, a aresta do tetraedro é. Seja a altura do tetraedro. Então, tem-se: 7. Como e, tem-se: Lembre-se que a diagonal do cubo é Logo, a aresta do tetraedro é. Então, o seu volume é: ( ) 8. Seja a aresta do tetraedro. Como a sua área total e o seu volume são numericamente iguais, tem-se: b) Sejam o volume do cubo e o volume do tetraedro. Então,. Além disso, tem-se: 11. O sólido em questão é um octaedro regular. Seja o lado do octaedro. Em cada face do tetraedro, o lado do octaedro é base média da aresta do tetraedro. Logo. Sejam a pirâmide que representa uma das metades do octaedro, a sua base, o centro da base e o seu vértice. A figura do problema é: 9. Como o pingente é maciço de prata e é banhado a ouro, o seu volume é feito de prata e a sua superfície (área total) é feita de ouro. Assim, a quantidade de prata é proporcional ao cubo da aresta (pois ) e a quantidade de ouro é proporcional ao quadrado da aresta (pois ). Assim, quando a aresta passa de para, a aresta duplicou. Logo, o volume foi multiplicado por e a área total foi multiplicada por. Assim, a quantidade de prata foi multiplicada por e a quantidade de ouro foi multiplicada por. Então o custo com a prata foi multiplicado por por e o custo com o ouro foi multiplicado. Assim, o novo custo com a prata é e o novo custo com o ouro é. O novo custo total é Usando Pitágoras no triângulo retângulo : ( ) ( ) ( ) Note que o volume do octaedro é o dobro do volume da pirâmide superior. CASD Vestibulares Geometria 4

5 12. a) O retângulo está ilustrado abaixo: 13. Seja o tetraedro, onde é o ponto médio de e é o ponto médio da aresta oposta. Seja a sua aresta. A figura do problema é a seguinte: Como é um tetraedro regular de lado, e. Uma circunferência de raio teria um comprimento. Como é um arco de (que é de ), o seu comprimento é do comprimento da circunferência, isto é, é b) Como é baricentro do triângulo (que é equilátero), também é o incentro (encontro das bissetrizes). Logo Como é ponto médio de, as medianas (no triângulo equilátero ) e (no triângulo equilátero ) também são alturas, logo Assim, o triângulo é isósceles de base. Portanto, a mediana é a altura relativa ao lado Usando Pitágoras no triângulo retângulo ( ) ( ) Como é um arco de circunferência de centro, 14. Seja. Note que a figura é exatamente a mesma da questão 13. Dos cálculos da questão 13: No triângulo retângulo, tem-se: é a altura do tetraedro, cuja aresta é. Então: 15. A figura do problema é a seguinte (com ): O volume do sólido é: Como é ponto médio de, as medianas (no triângulo equilátero ) e (no triângulo equilátero ) também são alturas, logo Assim, o triângulo é isósceles de base. Portanto, a mediana é a altura relativa ao lado Dos cálculos da questão 13: 5 Geometria CASD Vestibulares

6 16. A figura do problema é a seguinte: 18. A figura do problema é a seguinte: Sejam o centro da face e o centro da face. Então e são os baricentros dos triângulos e, respectivamente. Seja o ponto médio de. Então e são medianas dos triângulos e, respectivamente. Logo, (altura do triângulo equilátero). Além disso, pela propriedade do baricentro, e Como, tem-se que. Então, os triângulos e são semelhantes (pelo caso L.A.L), onde a razão de semelhança é. Logo,, isto é, a aresta do tetraedro exterior é o triplo da aresta do tetraedro interior. Como o volume do tetraedro é proporcional ao cubo da aresta, se a aresta é multiplicada por, o volume do tetraedro é multiplicado por. Então: Seja o ponto médio da aresta. Como é um tetraedro regular,. Como e são alturas dos triângulos equiláteros e, respectivamente, tem-se que Usando a Lei dos cossenos no triângulo : ( ) ( ) 17. Seja o tetraedro, onde é o ponto médio de (que é o ponto de partida do inseto) e é o ponto médio da aresta oposta (que é o ponto de chegada do inseto). A figura do problema é a seguinte: Usando a relação fundamental da trigonometria: ( ) ( ) Planificando esse tetraedro, obtemoso losango : Como pertence à face lateral, tem-se que e são paralelos, logo. Assim: Como e são pontos médios de e, respectivamente, então e são paralelos. Logo,, que é a aresta do tetraedro. O prisma possui base e altura (pois o prisma é reto), logo o seu volume é: CASD Vestibulares Geometria 6

7 GABARITO 1. E 2. E 3. D 4. D 5. C 6. C 7. A 8. E 9. O joalheiro gastará com material 10. a) A altura do tetraedro é b) A razão entre o volume do cubo e o volume do tetraedro é 11. C 12. a) O arco mede b) O volume do sólido é 13. D 14. D 15. B 16. E 17. D 18. O volume inicial da pedra é 7 Geometria CASD Vestibulares