Sólidos Inscritos e Circunscritos

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1 Sólidos Inscritos e Circunscritos 1. (Fuvest 01) Os vértices de um tetraedro regular são também vértices de um cubo de aresta. A área de uma face desse tetraedro é a) b) 4 c) d) e) 6. (Uerj 01) Um cristal com a forma de um prisma hexagonal regular, após ser cortado e polido, deu origem a um sólido de 1 faces triangulares congruentes. Os vértices desse poliedro são os centros das faces do prisma, conforme representado na figura. Calcule a razão entre os volumes do sólido e do prisma. Página 1 de 10

2 . (Ufrn 01) Por motivo de segurança, construiu-se um superaquário de vidro, em formato esférico, dentro de um cilindro também de vidro, conforme esquematizado na figura a seguir. A esfera está completamente cheia de água e, caso quebre, toda a água passará para o cilindro. Desconsidere a pequena diferença entre os raios da esfera e do cilindro e o volume de água deslocado pelos pedaços de vidro da esfera quando quebrada. Supondo que R é igual a m, determine: a) O volume de água da esfera. b) A capacidade volumétrica do cilindro. c) A altura do nível da água no cilindro, caso a esfera quebre. 4. (Udesc 01) Algumas caixas de pizza para entrega têm o formato de um prisma regular de base hexagonal. Considere uma caixa destas com altura de 4 cm e, com base, um polígono de perímetro 7 cm. Se a pizza tem o formato de um cilindro circular, então o volume máximo de pizza que pode vir nesta caixa é: a) 16 cm b) c) d) e) 576π cm 864 cm 108π cm 4π cm 5. (Uff 010) Em 1596, em sua obra Mysterium Cosmographicum, Johannes Kepler estabeleceu um modelo do cosmos onde os cinco poliedros regulares são colocados um dentro do outro, separados por esferas. A ideia de Kepler era relacionar as órbitas dos planetas com as razões harmônicas dos poliedros regulares. A razão harmônica de um poliedro regular é a razão entre o raio da esfera circunscrita e o raio da esfera inscrita no poliedro. A esfera circunscrita a um poliedro regular é aquela que contém todos os vértices do poliedro. A esfera inscrita, por sua vez, é aquela que é tangente a cada uma das faces do poliedro. A razão harmônica de qualquer cubo é igual a: a) 1 b) c) d) e) Página de 10

3 6. (Ufscar 010) A figura mostra um prisma retangular reto de base quadrada com um cilindro circular reto inscrito no prisma. O lado da base do prisma mede 4 dm e a altura é dada por h(x) = x 5x + 8x dm, com x > 0. a) Calcule o volume do prisma para x = dm. b) Para x = 1 dm o volume do cilindro inscrito é 16 dm. Encontre os outros valores de x para os quais isto acontece. 7. (Uerj 010) Uma embalagem em forma de prisma octogonal regular contém uma pizza circular que tangencia as faces do prisma. Desprezando a espessura da pizza e do material usado na embalagem, a razão entre a medida do raio da pizza e a medida da aresta da base do prisma é igual a: a) b) 4 c) 1 d) 1 8. (Fgv 009) Considere uma pirâmide regular de altura 6 cuja base é um quadrado de lado. Calcule: a) o volume da pirâmide. b) o raio da esfera circunscrita à pirâmide. Página de 10

4 9. (Puc-rio 009) Um cilindro reto de base circular de raio r e altura h é inscrito numa esfera de raio 5. a) Encontre a altura do cilindro quando r =. b) Calcule a área total do cilindro quando r =. c) Escreva a área total do cilindro como função de r. 10. (Uerj 009) A figura a seguir representa uma caixa, com a forma de um prisma triangular regular, contendo uma bola perfeitamente esférica que tangencia internamente as cinco faces do prisma. Admitindo π=, determine o valor aproximado da porcentagem ocupada pelo volume da bola em relação ao volume da caixa. 11. (Unesp 008) Um porta-canetas tem a forma de um cilindro circular reto de 1 cm de altura e 5 cm de raio. Sua parte interna é um prisma regular de base triangular, como ilustrado na figura, onde o triângulo e equilátero e está inscrito na circunferência. A região entre o prisma e o cilindro é fechada e não aproveitável. Determine o volume dessa região. Para os cálculos finais, considere as aproximações π = e = 1,7. Página 4 de 10

5 1. (Ueg 008) Um fabricante de bolas deseja adquirir uma caixa de forma cúbica para acondicionar uma bola de volume Vb. A razão entre os volumes dessa bola e do menor cubo possível para acondicioná-la é: a) π/4 b) π/5 c) π/ d) π/6 1. (Ufmg 007) Nesta figura, estão representados o cubo ABCDEFGH e o sólido OPQRST: Cada aresta do cubo mede 4 cm e os vértices do sólido OPQRST são os pontos centrais das faces do cubo. Então, é correto afirmar que a área lateral total do sólido OPQRST mede a) 8 cm. b) 8 cm. c) 16 cm. d) 16 cm. 14. (Puc-rio 007) Seja E uma esfera de raio 1 metro. Considere dois cubos, um contido em E, de maior volume possível e outro que contém E, de menor volume possível. Ache a razão entre os volumes dos dois cubos. 15. (Ufu 007) Calcule a medida da diagonal de um cubo circunscrito a uma esfera de volume 6π cm. 16. (Fuvest 006) Um cone circular reto está inscrito em um paralelepípedo reto retângulo, de base quadrada, como mostra a figura. A razão b/a entre as dimensões do paralelepípedo é e o volume do cone é π. Então, o comprimento g da geratriz do cone é a) 5 b) 6 c) 7 d) 10 e) 11 Página 5 de 10

6 17. (Pucsp 006) De um cristal de rocha, com o formato de uma esfera, foi lapidada uma joia na forma de um octaedro regular, como mostra a figura seguinte. Se tal joia tem 9 cm de volume, quantos centímetros cúbicos de rocha foram retirados do cristal original para lapidá-la? (Use: π = ) a) 6 b) c) 4 d) 18 e) (Ufrrj 005) Em uma caixa d'água cúbica vazia de lado m, é colocada, cheia de água, uma esfera inscrita, com espessura da parede desprezível. Estoura-se a esfera e retiram-se seus resíduos. Qual a altura de água que permanecerá dentro da caixa? 19. (Ufrn 004) Um artista esculpiu a metade de uma esfera de pedra-sabão, transformando-a num cone, ilustrado na figura a seguir. Supondo que a esfera tem raio R e a altura do cone esculpido também é R, calcule: a) o volume do cone esculpido; b) o volume do material retirado da metade da esfera para formar o cone. 0. (Ufsm 000) Bolas de tênis são vendidas, normalmente, em embalagens cilíndricas contendo unidades. Supondo-se que as bolas têm raio a em centímetros e tangenciam as paredes internas da embalagem, o espaço interno dessa embalagem que NÃO é ocupado pelas bolas é, em cm a) πa b) (4πa ) c) ( πa ) d) a e) (πa ) Página 6 de 10

7 Gabarito: Resposta da questão 1: [A] Considere a figura. Como qualquer uma das faces do tetraedro VABC é um triângulo equilátero de lado, segue que a área pedida é dada por ( ) 4 u.a. Resposta da questão : Sendo a medida da aresta da base do prisma, considere a seguinte vista superior. Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo ABC, obtemos 1 x cos10 x x, em que x é a medida da aresta da base das pirâmides hexagonais regulares obtidas pelo corte. Portanto, se h é a altura do prisma, segue que a razão pedida é dada por 1 ( ) h 1. ( ) 4 h Página 7 de 10

8 Resposta da questão : a) O volume de água na esfera é dado por 4 4 πr π π m. b) Como o cilindro é equilátero, segue que sua capacidade volumétrica é dada por πr π 16π m. c) A altura h do nível da água no cilindro, caso a esfera quebre é tal que 8 π h π h m. Resposta da questão 4: [E] Como o perímetro da base do prisma é igual a 7 cm, segue que a aresta da base desse 7 prisma mede 1cm. Portanto, sabendo que o raio do cilindro é igual cm e a altura da caixa é 4 cm, temos que o volume máximo de pizza que pode vir na caixa é Resposta da questão 5: [D] a r e R r a a a R = a π (6 ) 4 4πcm. Resposta da questão 6: a) Seja V(x) 4 h(x) o volume do prisma. Para x dm, temos: V() 16 ( 5 8 ) dm. b) Seja C V (x) r h(x) o volume do cilindro circular reto de raio 4 r dm. Se V (x) 16 dm, então C (x 5x 8x) 16 x 5x 8x 4 0. Logo, x 1 é raiz de x 5x 8x 4 0. Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, obtemos: Página 8 de 10

9 x Donde x 5x 8x 4 (x 1) (x 4x 4) (x 1) (x ) 0, dm. isto é, x é raiz de Resposta da questão 7: [C] x 5x 8x 4 0 e, portanto, C V (x) 16 dm também para Sejam O, A e M, respectivamente, o centro da pizza, um vértice do prisma e o ponto médio de uma das arestas adjacentes ao vértice A. OM Queremos calcular. MA ˆ 180 MOA 0'. 8 tgmoa ˆ tg 0' 1 cos 45 1 cos 45 1 ( ) 1. 1 MA MA tgmoa ˆ 1 OM OM OM MA 1 1 Portanto, OM 1 OM 1. MA MA Resposta da questão 8: a) 9 6 u.v. b) 6 u.c. Página 9 de 10

10 Resposta da questão 9: a) 8u.c. b) 66π u.a. c) πr r 5 r Resposta da questão 10: 8% Resposta da questão 11: 517,5 cm Resposta da questão 1: [D] Resposta da questão 1: [D] Resposta da questão 14: Resposta da questão 15: 6 cm Resposta da questão 16: [D] Resposta da questão 17: [D] Resposta da questão 18: h = π/ m Resposta da questão 19: πr a) b) πr u.a. Resposta da questão 0: [A] Página 10 de 10

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