Desenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II

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Luiz Eduardo Olivares de Almada
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1 Desenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II Módulo I Aula 04

TRIÂNGULOS Triângulo é um polígono de três lados. É o polígono que possui o menor número de lados. Talvez seja o polígono mais importante que existe.

2 TRIÂNGULOS Triângulo é um polígono de três lados. É o polígono que possui o menor número de lados. Talvez seja o polígono mais importante que existe. Todo triângulo possui alguns elementos e os principais são: vértices, lados, ângulos, alturas, medianas e bissetrizes. elementos Des.Proj.Tub.Ind.Nível II.Mód I Página 2

3 Altura de um ponto A em relação a um segmento PQ de uma reta r Seja s perpendicular a r que passa por A e H ( ponto de concorrência entre r e s ). A medida de h = AH é a altura do ponto A ao segmento PQ. Alturas de um triângulo: O triângulo apresenta três alturas, cada uma relativa a um lado. Supondo que o lado base seja BC, a altura h será um segmento de reta traçado a partir do vértice A de forma a encontrar o lado oposto formando um ângulo reto. AH é uma altura do triângulo, indicada por h. Altura relativa ao lado (base) BC Altura relativa ao lado (base) AB As três alturas de um triângulo concorrem (interceptam-se) em um mesmo ponto O denominado ortocentro. Des.Proj.Tub.Ind.Nível II.Mód I Página 3

4 Medianas de um triângulo: Mediana é o segmento de reta que une cada vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto. O ponto de interseção das três medianas é o baricentro ou centro de gravidade G do triângulo. O baricentro divide a mediana em dois segmentos. O segmento que une o vértice ao baricentro vale o dobro do segmento que une o baricentro ao lado oposto deste vértice. Mediatrizes de um triângulo: A mediatriz é a reta perpendicular a um lado do triângulo, traçada pelo seu ponto médio. As três mediatrizes de um triângulo se encontram em um único ponto, o circuncentro (CC), que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, que passa pelos três vértices do triângulo O circuncentro (CC) é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. Des.Proj.Tub.Ind.Nível II.Mód I Página 4

5 Bissetrizes de um triângulo: A bissetriz interna de um triângulo corresponde ao segmento de reta que parte de um vértice, e vai até o lado oposto do vértice em que partiu, dividindo o seu ângulo em dois ângulos congruentes. Em um triângulo há três bissetrizes internas, sendo que o ponto de interseção delas chama-se incentro (CI). O círculo que tem o incentro como centro e é tangente aos três lados do triângulo é denominado círculo inscrito. Nota: Em um triângulo equilátero, o incentro, o ortocentro e o baricentro são o mesmo ponto. Ângulo Externo: É formado por um dos lados do triângulo e pelo prolongamento do lado adjacente. Um ângulo interno e seu externo correspondente são suplementares, isto é somam 180º Um ângulo externo tem a medida da soma dos dois internos não adjacentes. Des.Proj.Tub.Ind.Nível II.Mód I Página 5

6 CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS Em relação aos lados Equilátero Um triângulo equilátero possui todos os lados congruentes ou seja com medidas iguais. Um triângulo equilátero é também equiângulo: todos os seus ângulos internos são congruentes (medem 60 ), sendo, portanto, classificado como um polígono regular. Isósceles Um triângulo isósceles apresenta dois e somente dois de seus lados com a mesma medida. O lado diferente é costumeiramente chamado de base e o ângulo formado pelos lados iguais é chamado de ângulo do vértice. No triângulo isósceles os ângulos da base são congruentes. Des.Proj.Tub.Ind.Nível II.Mód I Página 6

7 α Ξ β Escaleno Um triângulo escaleno não apresenta nenhum par de lados congruentes. AB BC, AB AC e AB AC Em relação aos ângulos Acutângulo Possui 3 ângulos agudos ( menores que 90º). α, β e γ são agudos. Obtusângulo Possui 1 ângulo obtuso ( entre 90º e 180º). Des.Proj.Tub.Ind.Nível II.Mód I Página 7

8 90º < α < 180º Retângulo Possui 1 ângulo reto e 2 agudos. SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO Considere um triângulo qualquer ABC com ângulos internos α, β e γ: Ao traçarmos as retas suportes dos lados e uma paralela a uma delas ( no caso paralela a reta suporte do lado AC), teremos retas paralelas ( r e s ) cortadas por duas transversais ( t e u ) Des.Proj.Tub.Ind.Nível II.Mód I Página 8

9 Verifique: O ângulo α e consecutivo esquerdo de β são alternos internos. O ângulo γ e consecutivo direito de β são alternos internos. α + β + γ = 180º A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º. Quanto aos ângulos externos temos: Des.Proj.Tub.Ind.Nível II.Mód I Página 9

10 A soma dos ângulos externos de um triângulo é 360º. SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS A idéia de semelhança: Duas figuras são semelhantes quando têm a mesma forma, mas não necessariamente o mesmo tamanho Des.Proj.Tub.Ind.Nível II.Mód I Página 10

11 As ampliações e as reduções fotográficas e de mapa são figuras semelhantes. Quando dois triângulos são semelhantes eles têm a mesma trinca de ângulos e os lados correspondentes são proporcionais Exemplo: Temos dois triângulos: ABC e BDE. Observe que os ângulos de vértice B dos dois triângulos têm a mesma medida, são opostos pelo vértice. Os dois têm ângulos retos, logo os ângulos de vértices C e E são congruentes. Des.Proj.Tub.Ind.Nível II.Mód I Página 11

Os triângulos ABC e BDE são semelhantes. Aplicação: Os conceitos fundamentais da trigonometria surgiram da verificação da semelhança entre triângulos retângulos.

12 Os triângulos ABC e BDE são semelhantes. Aplicação: Os conceitos fundamentais da trigonometria surgiram da verificação da semelhança entre triângulos retângulos. Por exemplo: o seno do ângulo de 30º é ½, significa que a relação entre o cateto oposto ao ângulo de 30º e a hipotenusa de um triângulo retângulo qualquer é de 1 para 2. Des.Proj.Tub.Ind.Nível II.Mód I Página 12

13 Condição de existência de um triângulo Para que se possa construir um triângulo é necessário que a medida de qualquer um dos lados seja menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da diferença entre essas medidas. Exemplo: Sendo a, b e c lados de um triângulo, vale: b c < a < b + c É possível construir um triângulo quando seus lados medem 8 cm, 3 cm e 4 cm? Observe que, se fixarmos nas extremidades do lado maior os lados menores, não conseguiremos encontrar uma posição para que eles se encontrem e formem um triângulo. Isso ocorre porque a soma das medidas dos lados menores (3 + 4 = 7) é menor do que a medida do lado maior (8): 8 > Vamos tentar então aumentar um dos lados menores e verificar o que acontece. Façamos os lados medindo 8 cm, 4 cm e 4 cm. Como no exemplo anterior se fixamos as extremidades para procurar a posição que formará o triângulo veremos que os dois lados menores (4 cm cada um) só se encontrarão sobre o lado maior (8 cm). Isso ocorre porque: 8 = Vamos utilizar lados com 8 cm, 5 cm e 4cm. Des.Proj.Tub.Ind.Nível II.Mód I Página 13

14 Neste caso é possível construir um triângulo, pois quando giramos os lados menores com extremidades presas no lado maior eles se encontram formando o triângulo. Note que: 8 < Para que seja possível construir um triângulo, basta que o maior lado seja menor que a soma dos outros dois. Área A área de um triângulo é a metade do produto da medida da sua altura pela medida da sua base. Assim, a área do triângulo pode ser calculada pela fórmula: onde h é a altura do triângulo e b a medida da base. Nota: Este assunto é abordado na aula que trata de área de figuras planas. Des.Proj.Tub.Ind.Nível II.Mód I Página 14

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Triângulos classificação Quanto aos ângulos Acutângulo: possui três ângulos agudos. Quanto aos lados Equilátero: três lados de mesma medida. Obs.: os três ângulos internos têm medidas de 60º. Retângulo: