Ângulos, Triângulos e Quadriláteros. Prof Carlos

Transcrição

1 Ângulos, Triângulos e Quadriláteros. Prof Carlos

2 RECORDANDO...

3 Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal Correspondentes: 1 e 5, 2 e 6, 3 e 7, 4 e 8. Alternos internos: 3 e 5, 4 e 6. Alternos externos: 1 e 7, 2 e 8. Colaterais internos: 3 e 6, 4 e 5. Colaterais externos:1 e 8, 2 e 7.

4 a b c 180º A soma das amplitudes dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180º.

5 a c b a b c 360º A soma das amplitudes dos ângulos externos de qualquer triângulo é igual a 360º.

6 Recorda

7 05- Polígono regular - É equilátero e por sua vez equiângulo. 06- Polígono irregular - Seus lados têm comprimentos diferentes. Triângulo : 3 lados Quadrilátero: 4 lados Pentágono: 5 lados Hexágono: 6 lados Heptágono: 7 lados Octógono: 8 lados Eneágono : 9 lados Decágono: 10 lados Undecágono: 11 lados Dodecágono: 12 lados Pentadecágono:15 lados Icoságono: 20 lados

8 Polígonos Soma das medidas S 180º 2 dos ângulos internos: i n Soma das medidas dos ângulos externos: Se 360º Ângulos internos de um polígono regular: a i S i n ou a i 180º n 2 n Ângulos externos de um polígono regular: a e S e n ou a e 360º n Número de diagonais de um polígono: d n n 2 3 8

9 Congruência de triângulos Dois triângulos são congruentes se coincidem ao serem sobrepostos. Isso significa que seus lados, dois a dois, terão a mesma medida e o mesmo ocorrerá com os seus ângulos. 1 o caso: LAL Dois lados congruentes e o ângulo formado por eles congruente 2 o caso: LLL Três lados congruentes 3 o caso: ALA Dois ângulos congruentes e o lado compreendido entre eles congruente 4 o caso: LAA o Um lado congruente, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado congruente 9

10 Semelhança de triângulos Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais. Dessa forma, basta verificar alguns elementos para saber se os dois triângulos são semelhantes. Assim teremos: 1 o caso: AA Se dois ângulos de um triângulo são respectivamente congruentes a dois ângulos de outro, o terceiro ângulo também será. Casos de semelhança: 2 o caso: LLL Dois triângulos são semelhantes se os lados de um são proporcionais aos lados do outro. 3 o caso: LAL Dois triângulos são semelhantes se possuem um ângulo congruente compreendido entre lados proporcionais. AB BC AC constante DE EF DF 10

11 Num triângulo: A lados iguais opõem-se ângulos iguais e a ângulos iguais opõem-se lados iguais. Ao maior lado opõe-se o maior ângulo e ao maior ângulo opõe-se o maior lado. Ao menor lado opõe-se o menor ângulo e ao menor ângulo opõe-se o menor lado.

12 MEDIANA, BISSETRIZ E ALTURA DE UM TRIÂNGULO Ceviana Definição Ponto notável Figura Mediana É o segmento que tem como extremidade um vértice do triângulo e o ponto médio do lado oposto a esse vértice. Baricentro (G): é o ponto de encontro das medianas do triângulo; é o centro de gravidade do triângulo. Bissetriz É o segmento que tem uma extremidade em um vértice do triângulo, divide o ângulo ao meio e tem a outra extremidade no lado oposto a esse vértice. Incentro (I): é o encontro das bissetrizes internas do triângulo; é o centro da circunferência inscrita no triângulo, pois equidista dos três lados. Altura É o segmento com uma extremidade em um vértice e a outra extremidade no lado oposto ou no seu prolongamento, formando com ele ângulos retos. Ortocentro (H): é o ponto de encontro das retas que contêm as alturas, podendo pertencer ao exterior do triângulo. Mediatriz Reta que passa pelo ponto médio de um lado do triângulo e é perpendicular a ele. Circuncentro (C): é o ponto de encontro das mediatrizes dos lados do triângulo; é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, pois equidista dos três vértices. 12

13 Quadriláteros São polígonos de quatro lados em que a soma das medidas dos ângulos internos é 360º. Paralelogramo Retângulo Quanto aos ângulos Ângulos opostos congruentes e ângulos adjacentes suplementares. Quatro ângulos retos. Quanto às diagonais Encontram-se no seu ponto médio. São congruentes. Quanto aos lados Lados opostos congruentes. Lados opostos congruentes. Losango Ângulos opostos congruentes e ângulos adjacentes suplementares. São perpendiculares entre si e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos do losango. Quatro lados congruentes. Quadrado Quatro ângulos retos. Encontram-se no seu ponto médio e são congruentes. Quatro lados congruentes. 13

14 Num paralelogramo, os lados opostos são congruentes (iguais). Num paralelogramo, as diagonais dividem-se ao meio. Num paralelogramo, os ângulos opostos são iguais. Num paralelogramo, dois ângulos consecutivos são suplementares. a b180º

15 Quadriláteros Os trapézios são quadriláteros que têm apenas um par de lados paralelos, chamados base maior e base menor. Trapézio retângulo É todo trapézio que tem dois ângulos retos. Nele, um dos lados que não é base é perpendicular às duas bases. Trapézio isósceles É todo trapézio que tem dois lados não paralelos congruentes. 15