CURSO DE GEOMETRIA LISTA

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1 GEOMETRI Ângulos Obs.: Dois ângulos são congruentes quando têm a mesma abertura. Exemplos:

2 Ângulos complementares Soma (medida) 90º Ângulos suplementares Soma (medida) 180º

3 issetriz bissetriz de um ângulo é a semi-reta que divide o ângulo em dois ângulos congruentes. Retas coplanares Duas retas contidas no mesmo plano são chamadas de coplanares. s retas coplanares podem ser: a) oncorrentes Quando possuem um único ponto em comum. b) Paralelas Quando não possuem pontos em comum.

4 Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v) Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes. x + y = 180º y + z = 180º x = y Reta transversal reta t é uma transversal de r e s

5 são correspondentes são correspondentes são correspondentes são correspondentes Obs.: Em duas retas paralelas os ângulos correspondentes são congruentes. y x r s r//s x = y Obs.: Os ângulos z e y são chamados de alternos internos. z y r s

6 Obs. :Os ângulos alternos internos em duas retas paralelas são congruentes. x r x = y z x = z z y y s Exercícios: 1) Se r//s, qual é a medida do ângulo x? x 60º r 20º s Resposta: 80º 2) Se r//s, calcule a medida do ângulo x. x 70º r 130º s Resposta: x = 150º 3) alcule a medida do ângulo x, sabendo que r//s r 30º 115º x s Resposta: x = 85º

7 4) Se r//s. Determine a medida de x + y. x r 70º y s Resposta: 250º Triângulos soma dos ângulos de um triângulo é 180º y x z y z x + y + z = 180º lassificação dos triângulos Triângulo acutângulo 3 ângulos agudos.

8 Triângulo retângulo Triângulo obtusângulo 1 ângulo obtuso Triângulo eqüilátero 60º 60º 60º

9 Triângulo isósceles 2 lados iguais Triângulo escaleno 3 lados diferentes Propriedades Em todo triângulo qualquer ângulo externo tem medida igual a soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes. y z E x + y + z = 180º E + z = 180º => E = x + y

10 5) alcule a medida do ângulo x 30º 20º x Resposta: x = 50º 6) alcule a medida do ângulo x. 50º Resposta: x = 140º x 7) alcule as medidas de x e y. 80º y x 150º Resposta: x = 30º e y = 110º

11 8) alcule as medidas de x e y. 55º 30º y x 40º Resposta: x = 70º e y = 125º 9) No triângulo da figura, calcule o valor de x. 4x 2x 3x Resposta: x = 20º 10) O triângulo da figura abaixo é isósceles de base. alcule a medida do ângulo interno. Resposta:120º 30º

12 11) figura abaixo mostra um triângulo, isósceles de base. Se é bissetriz do ângulo é bissetriz do ângulo, calcule a medida do ângulo x. 80º I x Resposta: 130º 12) onsidere o triângulo retângulo, na figura abaixo sabendo que D = D. alcule a medida do ângulo. 40º D Resposta: = 80º 13) onsidere o triângulo, tal que D é bissetriz do ângulo. alcule o valor de x y. 40º y x 30º D Resposta: 10º

13 14) Na figura calcule o ângulo x. x D Resposta: 60º Polígonos São regiões do plano cujos contornos são segmentados de retas. Os polígonos podem ser: onvexo ôncavo Os polígonos recebem os nomes conforme o número de lados. 3 lados triângulo 4 lados quadrilátero 5 lados pentágono 6 lados hexágono 7 lados heptágono 8 lados octógono 9 lados eneágono 10 lados decágono 11 lados undecágono 12 lados dodecágono 15 lados hexadecágono 20 lados icoságono

14 Soma dos ângulos internos de um polígono Triângulo x x + y + z = 180º y z Quadrilátero x D y z w Observe que podemos obter dois triângulos no quadrilátero. D Logo a soma é Pentágono E D Podemos obter 3 triângulos no pentágono. Logo a soma dos ângulos é

15 Sendo assim, podemos dizer que a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados (s i ) pode ser calculada pela fórmula: Polígonos regulares Dizemos que um polígono é regular quando todos os seus lados têm o mesmo tamanho, e seus ângulos têm a mesma medida. Exemplos: a) Triângulo equilátero 3 lados iguais 3 ângulos iguais (60º) b) Quadrado 4 lados iguais 4 ângulos iguais (90º) c) Hexágono regular F E 6 lados iguais D

16 Soma dos ângulos internos: Podemos calcular o ângulo interno de um polígono regular pela fórmula: No caso do hexágono regular os ângulos internos medem: Número de diagonais de um polígono (d) O número de diagonais de um polígono pode ser calculado pela fórmula: Quadriláteros notáveis a) Trapézio Dois lados paralelos D Obs.: Trapézio retangular (1 lado transversal perpendicular aos lados paralelos.

17 Obs.: Trapézio isósceles (lados transversais congruentes) D b) Paralelogramo Quadrilátero com lados paralelos congruentes. D Lados opostos côngruos Ângulos opostos côngruos Diagonais se cortam ao meio c) Retângulo É o paralelogramo que tem os quatro ângulos retos D

18 d) Losango É o paralelogramo que tem os quatro lados iguais. Lados iguais Diagonais perpendiculares Diagonais são bissetrizes e) Quadrado É paralelogramo com quatro lados iguais e os quatro ângulos retos. Exercícios: 15) alcule a medida do ângulo x. x 100º 120º

19 16) alcule a soma dos ângulos externos de um triângulo. 17) alcule o número de diagonais de um hexágono. 18) alcular a soma dos ângulos internos de um dodecágono. 19) soma dos ângulos de um polígono é 2340º. Qual o número de diagonais desse polígono? 20) soma dos ângulos internos de um polígono é 720º, então o número de lados é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 21) Na figura abaixo, o triângulo é isósceles de base. alcule a medida do ângulo, sabendo que o ângulo mede 20º. 22) N figura abaixo, é um triângulo eqüilátero e D é isósceles de base. alcule o ângulo, sabendo que ele é o quádruplo do ângulo. D Resposta: 40º

20 23) Na figura abaixo e calcule. Resposta: 30º 30º M D 24) Os ângulos de um triângulo medem 3x, 4x e 5x. O menor desses ângulos mede: a) 15º b) 18º c) 30º d) 45º e) 60º 25) O triângulo é isósceles de base. Sabe-se que. alcule a medida do ângulo. D E 26) N figura abaixo tem-se o triângulo equilátero XYZ, inscrito triângulo isósceles. O valor de é: a) 15º b) 20º c) 25º 30º y d) 30º e) 45º Resposta: D Z

21 27) soma das medidas dos ângulos D + E é: a) 60º b) 120º c) 180º d) 360º E e) varia de estrela para estrela D 28) Três quadrados são colados pelos seus vértices entre si e a dois bastões verticais, como mostra a figura. medida do ângulo x é: a) 39º b) 41º c) 43º d) 44º e) 46º 29) soma dos ângulos internos de um polígono convexo é 1080º. alcule o número de diagonais desse polígono.

22 PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO (IO) RIENTRO INENTRO IRUNENTRO ORTOENTRO MEDIN DE UM TRIÂNGULO hamamos de mediana de um triângulo ao segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. LTUR DE UM TRIÂNGULO altura de um triângulo é o segmento de reta que une um vértice ao lado oposto(ou prolongamento do lado oposto) formando um ângulo reto.

23 ISSETRIZ INTERN DE UM TRIÂNGULO É o segmento de reta que divide o ângulo, de um vértice do triângulo, em duas partes iguais.,, são bissetrizes internas do triângulo. MEDITRIZ DE UM TRIÂNGULO É o segmento de reta perpendicular ao lado de um triângulo, passando pelo ponto médio do mesmo.

24 RIENTRO(G) hamamos de baricentro ao ponto de encontro de todas as medianas do triângulo.,, são as bissetrizes do triângulo, e o ponto G é o baricentro. INENTRO hamamos de incentro ao ponto de encontro de todas as bissetrizes internas do triângulo. Obs: O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo.

25 IRUNENTRO hamamos de circuncentro ao ponto de encontro de todas as mediatrizes. Obs: O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita no triângulo. ORTOENTRO(O) hamamos de ortocentro ao ponto de encontro de todas as alturas do triângulo.