Aulas Particulares on-line

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1 Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, MTEMÁTI PRÉ-VESTIULR LIVRO O PROFESSOR

2 IESE rasil S.. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais. I9 IESE rasil S.. / Pré-vestibular / IESE rasil S.. uritiba : IESE rasil S.., 009. [Livro do Professor] 660 p. ISN: Pré-vestibular.. Educação.. Estudo e Ensino. I. Título isciplinas Língua Portuguesa Literatura Matemática Física Química iologia História Geografia Produção utores Francis Madeira da S. Sales Márcio F. Santiago alixto Rita de Fátima ezerra Fábio Ávila anton Pedro dos Santos Feres Fares Haroldo osta Silva Filho Jayme ndrade Neto Renato aldas Madeira Rodrigo Piracicaba osta leber Ribeiro Marco ntonio Noronha Vitor M. Saquette Edson osta P. da ruz Fernanda arbosa Fernando Pimentel Hélio postolo Rogério Fernandes Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini Rafael F. de Menezes Rogério de Sousa Gonçalves Vanessa Silva uarte. R. Vieira Enilson F. Venâncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer Projeto e esenvolvimento Pedagógico Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/,

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5 Ângulos e polígonos Segmento de reta O curso de geometria plana começa com três conceitos primitivos (conceitos sem definição): ponto, reta e plano, que nos leva a uma melhor compreensão no estudo dos ângulos e têm grande utilidade no dia-a-dia. Ponto, reta e plano PONTO RET S PLNO (α) Se tomarmos dois pontos distintos e de uma reta r, o pedaço da reta que vai de um ponto ao outro é chamado de segmento de reta. Ângulos Se traçarmos duas semirretas de mesma origem, as regiões formadas no plano que as contém serão chamadas de ângulos. 0 Tipos de ângulos Numa reta há infinitos pontos. Num plano, há infinitas retas e, consequentemente, infinitos pontos. gudo É todo ângulo α, tal que 0 < α < 90. Semirreta Se tomarmos um ponto O de uma reta r, formaremos duas semirretas, com origem no ponto O. O r Reto 0 α É todo ângulo α, tal que α = 90. Símbolo EM_V_MT_06 Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, 1

6 djacentes Muitas vezes o desenho induz ao erro, pois o ângulo só será considerado reto se tiver o símbolo ou vier escrito. Possuem o mesmo vértice e um lado comum entre eles. Ô e Ô O Obtuso É todo ângulo α, tal que 90 < α < α Todo ângulo adjacente é consecutivo, mas nem todo ângulo consecutivo é adjacente. Raso É todo ângulo α, tal que α = 180. α Reentrantes 0 É todo ângulo α, tal que 180 < α < 60. α 0 omplementares São dois ângulos cuja soma é igual a α β α + β = 90 α é o complemento de β ou β é o complemento de α Suplementares omparação de dois ou mais ângulos onsecutivos Possuem o mesmo vértice e um lado em comum. São dois ângulos cuja soma é igual a 180. α 0 β α + β = 180 α é o suplemento de β ou β é o suplemento de α Ô e Ô O Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, EM_V_MT_06

7 Replementares São dois ângulos cuja soma é igual a 60. α + β = 60 lternos Internos: c e; d f Externos: a g; b h 0 α β α é o replemento de β ou β é o replemento de α Opostos pelo vértice São dois ângulos de mesma medida, tais que os lados de um são as respectivas semirretas opostas aos lados do outro. Todos os ângulos alternos são congruentes. olaterais Internos: c f; d e Externos: a h; b g α β α = β Todos os ângulos colaterais são suplementares. issetriz de um ângulo É a semirreta de origem no vértice que divide o ângulo em duas partes com a mesma medida. O α α R OR é bissetriz de Ô orrespondentes São os ângulos que se superpõem quando deslocamos a reta s para cima da reta r, logo, são congruentes. a e; b f; d h; c g EM_V_MT_06 Retas paralelas cortadas por uma transversal h e d a g f t c b s r (r//s) s r α t β α θ α + β + θ = 180º. soma dos ângulos externos de qualquer triângulo vale 180º. Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, u θ

8 Polígonos s figuras poligonais geralmente são usadas para delimitar uma região em destaque, assim podendo calcular a área de seu interior de acordo com seus ângulos internos. Muito utilizado na idade média quando as igrejas eram construídas com mosaicos e vitrais em suas decorações interiores, atualmente vemos duas dessas formas poligonais (pentágono e hexágono) nos gomos da bola de futebol. O polígono é a união de n segmentos de retas consecutivas (n > ). V V 1 V V n V 4 Equiângulo É todo polígono que tem ângulos congruentes. Retângulo Quadrado Regular É todo polígono equilátero e equiângulo. E F 4 V 5 V 1 V V V V V 4... V n V 1 lassificação onvexo É o polígono no qual quaisquer pontos interiores unidos formam um segmento de reta completamente contido no polígono. ôncavo E É o polígono no qual existem pontos interiores que, unidos, formam um segmento de reta que não está completamente contido no polígono. Equilátero F É todo polígono que tem lados congruentes. Losango E Quadrado Quadrado Gênero Pentágono regular E Hexágono regular É todo número de lados (ou vértices) de um polígono. lados triângulo 4 lados quadrado 5 lados pentágono 6 lados hexágono 7 lados heptágono 8 lados octógono 9 lados eneágono 10 lados decágono 11 lados undecágono 1 lados dodecágono 0 lados icoságono Para os demais dizemos polígonos de n lados. Número de diagonais iagonal É o segmento de reta que une dois vértices não adjacentes. (n lados) Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, EM_V_MT_06

9 iagonais de cada vértice omo podemos observar, de cada vértice sai (n ) diagonais, pois não pode sair diagonal para os vértices adjacentes e nem para o próprio vértice. Ângulos internos (a i ) e ângulos externos (a e ) Em cada vértice temos um ângulo interno e um ângulo externo adjacente. 1 ae 1 ai 1 ai a e n Logo, se o polígono tem n lados ele terá n vértices, o que nos leva a pensar errado que o número de diagonais é igual a n (n ). Total de diagonais omo podemos observar, cada diagonal é contada duas vezes, então a relação correta do número de diagonais é: n(n ) Soma dos ângulos internos (S ai ) V n V V V 1 V 4 n lados V 5 4 a i a e = 180º omo podemos observar, temos n lados nos dando n triângulos, assim concluímos que a soma dos ângulos internos será: n(n ) nd = 5(5 ) nd = = 5 Pentágono Somente em polígonos regulares de gênero par podemos afirmar que o número de diagonais que passam pelo centro é igual à metade do número de lados n. S ai = 180 (n ) Soma dos ângulos externos (S ae ) onsideremos, como exemplo, o polígono da figura a seguir: Tracemos, pelo ponto p, paralelas aos lados do polígono. Os ângulos formados em torno do ponto p são congruentes, respectivamente, aos ângulos externos do polígono. Logo, é fácil concluir que: a e1 + a e + a e +a e4 +a e5 = 60 a e a e ae a e1 a e EM_V_MT_06 Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, a e4 a e4 a e5 a e5 a e1 5

10 soma dos ângulos externos de um polígono convexo é dada por: S ae = 60 Para todo polígono regular podemos afirmar que: soma dos ângulos internos Ângulo interno = o número de ângulos internos Ângulo externo = a i = Quadriláteros 180 ( n ) n soma dos ângulos externos o número de ângulos externos a = 60 e n Propriedades Os lados e os ângulos opostos são congruentes, as diagonais cortam-se mutuamente ao meio e os ângulos consecutivos são suplementares. O paralelogramo, de acordo com sua forma, cria algumas propriedades, formando, assim, retângulos, losangos e quadrados. Retângulo É todo paralelogramo que possui os quatro ângulos congruentes. O É a figura plana determinada por quatro segmentos de reta consecutivos (polígono de quatro lados). Propriedades s diagonais são congruentes e cortam-se ao meio. x ^ ^ y w ^ ^ z Losango É todo paralelogramo que possui os quatro lados congruentes. ^, ^, ^ e ^ são ângulos internos. x, y, z, w são ângulos externos. ^ + ^ + ^ + ^ = 60 x + y + z + w = 60 e são diagonais. lassificação Propriedades O s diagonais são perpendiculares entre si bissetrizes dos ângulos internos e se cortam ao meio. Paralelogramo É todo quadrilátero que possui os lados opostos paralelos. Quadrado É todo paralelogramo que possui os quatro lados e os quatro ângulos congruentes. O 6 // e // Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, EM_V_MT_06

11 Propriedades s diagonais são congruentes, perpendiculares entre si, bissetrizes dos ângulos internos e se cortam ao meio. Isósceles Os lados não-paralelos são congruentes. É interessante observarmos que, ao destacarmos uma das partes do retângulo dividido por sua diagonal, teremos um triângulo retângulo e deste tiramos algumas propriedades: x x O x O x x x x mediana relativa à hipotenusa de um triângulo mede a metade da hipotenusa. Por consequência, teremos dois triângulos isósceles, O e O. Trapézio É todo quadrilátero que possui somente um par de lados paralelos, chamados bases. // // Os ângulos pertencentes à mesma base são congruentes. Retângulo Um dos lados não-paralelos é perpendicular às bases (possui dois ângulos retos). // // O trapézio retângulo é também escaleno. ase média e mediana de Euler gora vamos estudar como se calcula a base média e a mediana de Euler do trapézio, para isso temos: // O trapézio, de acordo com sua forma, é subdividido em três: escaleno, isósceles e retângulo. ase média do triângulo Escaleno M N Os lados não-paralelos não são congruentes. MN // EM_V_MT_06 MN = M e N são pontos médios de e respectivamente. MN é a base média do triângulo. Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, 7

12 ase média do trapézio M MN // MN // MN = + M e N são pontos médios de e respectivamente. N MN é a base média do trapézio. Polígonos inscritos omo já foi estudado anteriormente, um polígono convexo é regular se seus lados e ângulos são congruentes. grande importância dos polígonos regulares na geometria plana é tirada pela inscrição e circunscrição das figuras. Vamos estudar os três principais polígonos regulares: triângulo equilátero, quadrado e hexágono regular, calculando os lados e os apótemas em função dos raios das circunferências inscritas e circunscritas (os apótemas são as distâncias do centro da circunferência aos pontos médios dos lados). Triângulo equilátero Mediana de Euler M P Q N a = R PQ // PQ // =R PQ = M e N são pontos médios de e respectivamente. MN é a base média do trapézio. PQ é a mediana de Euler. emonstração: Trapezoide É todo quadrilátero que não possui lados paralelos. a = R a= R h TE = a= R = = R 8 = R Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, EM_V_MT_06

13 Quadrado emonstração: a= R =R hte = R a = emonstração: Polígonos circunscritos Triângulo equilátero d= a= R= a=r R = R a= =R a = R = R Hexágono regular emonstração: a=r a= R = R a = R =R EM_V_MT_06 h TE = a = R = 6R = Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, = R 9

14 Quadrado a = R = a = R 1. 5 Um ângulo é igual a do seu suplemento. alcule o 4 replemento do dobro desse ângulo. Solução: emonstração: 5 x = (180 x ) x x = 4 4x = x 9x = 900 x = 100 Log o : Hexágono regular ( 60 x ) =? = 160. etermine o menor ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos adjacentes e suplementares. a = R r β/ β β/ O α/ α α/ s emonstração: = R Solução α+β= 180 α β RÔS = + α+β 180 RÔS = = = 90. Na figura, calcule α se r//s. h TE = a = a=r R = R = = R 160º α 40 0 s r 10 Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, EM_V_MT_06

15 etermine o polígono convexo, cujo número de diagonais é o triplo do número de lados α = α = 0 α = 15 Um raio de luz é refletido por três espelhos planos, dois dos quais são paralelos, como mostra a figura. Lembrando que o raio de luz é refletido por um espelho segundo o seu ângulo de incidência, ou seja, o ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência, o valor do ângulo α é, em graus: Solução: nd = n n( n ) nd = n( n ) n = 6n = n n n 9n = 0 n = 9 eneágono Em um polígono regular, o ângulo interno é o quádruplo do ângulo externo. alcule a soma dos ângulos internos desse polígono. Solução: ai = 4ae ai + ae = 180 4ae + ae = 180 5ae = 180 a = 6 e 60 = 6 n 60 n = 6 n = 10 Sai = 180 ( n ) Sai = 180 (10 ) Sai = S = ai 90º 85º 80º d) 75º e) 65º α Solução: 5 70 α α = etermine o número de diagonais que não passam pelo centro de um polígono regular cujo ângulo externo vale 45. Solução: 60 ae = n = n 60 n = 45 n = 8 8( 8 ) 8.5 nd = = = 0 n 8 nd pc = = = 4 ndnpc = nd nd pc nd = 0 4 = 16 npc Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as combinações de polígonos que se prestam a pavimentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras. α = 85 EM_V_MT_06 Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, 11

16 9. Num trapézio isósceles, a base menor é igual a um dos lados não-paralelos. Prove que as diagonais são bissetrizes dos ângulos agudos. Solução: α α Figura1: Ladrilhos retangulares pavimentando o plano. α α α α Figura : Heptágonos regulares não pavimentam o plano (há falhas ou superposição). tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas de seus ângulos internos. Se ^ = α, então ^ = α, como =, ^ = ^ = α, assim, a diagonal também é bissetriz do vértice analogamente com. 10. Na figura, é um quadrado e E um triângulo equilátero, calcule α. E α Nome Triângulo Quadrado Pentágono Hexágono Octógono Eneágono Figura Solução: Ângulo interno º 10º 15º 140º E Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de um: triângulo. d) e) quadrado. pentágono. hexágono. eneágono. 11. α α 0º 60º omo é lado do triângulo e do quadrado, temos E = = α, logo E é um triângulo isósceles, assim α + α + 0º = 180º α α = 150º α = 75º. No trapézio da figura, E e F são pontos médios. e e, respectivamente. Sabendo-se que = 4cm e MN= cm, calcule a diferença entre os perímetros dos trapézios FE e EF. Solução: 15º E M N F 15º α 1 α = 60 α = 90º, logo é ângulo interno de um quadrado. Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, EM_V_MT_06

17 Solução: x E x b = 4 M N y F y 1. alcule o perímetro do triângulo equilátero inscrito numa circunferência com 1cm de diâmetro. Solução: 1. =? b = 4 = 6 = 10 EF = 10+4 = 7 P FE = 10 + x + y + 7 = 17 + x + y P EF = 4 + x + y + 7 = 11 + x + y P FE - P EF = 6 E Figura 1 Figura Figura Origami é a arte japonesa das dobraduras de papel. Observe as figuras anteriores, onde estão descritos os passos iniciais para fazer um passarinho: comece marcando uma das diagonais de uma folha de papel quadrada. Em seguida, faça coincidir os lados e sobre a diagonal marcada, de modo que o vértice e se encontrem. onsiderando-se o quadrilátero EF da figura, pode-se concluir que o ângulo E mede: 100º 11º 0 115º d) 15º 0 e) 15º Solução: F R = 1 = R = 6 cm R = 6cm P = = 18 cm 14. che a razão entre o lado do quadrado inscrito e o lado do quadrado circunscrito a uma mesma circunferência. Solução: = R R R Razão = = = L R 15. Uma moeda tem em seu interior um hexágono regular inscrito. Se o raio mede 1cm, calcule o perímetro do hexágono inscrito na moeda. Solução: R,5º E 45º45º 67,5º F omo = R = 1cm, temos p = 6 = 6cm E = 45º + 67,5º = 11,5º = 11º0 EM_V_MT_06 Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, 1

18 6. Mostre que as bissetrizes de dois ângulos opostos pelo vértice são colineares. 1. Um ângulo mede a metade do seu complemento. Então esse ângulo vale: 0 60º medida da soma de dois ângulos é 15º e a metade de um deles é igual à terça parte da medida do suplemento do outro. alcule a diferença entre esses ângulos. Nas figuras a seguir, as retas r e s são paralelas. Encontre a medida de cada caso. d) 80º. e) 90 O ângulo igual a do seu suplemento mede: d) 7 e) 80. ois ângulos opostos pelo vértice medem x + 10 e x Um deles mede: 0 70º 0 d) 45º e) alcule x e determine o valor dos ângulos adjacentes da figura: x α 0º xα +α 10º d) d) 10º e 60º 105º e 75º 100º e 80º 90º e 90º e) 110º e 70º semirreta O é exterior ao ângulo Ô de bissetriz OX. Se Ô = e Ô = 108º, determine ÔX: d) 66 e) 8 9. emonstre que as bissetrizes de dois ângulos adjacentes e suplementares formam ângulo reto. 10. (UFF) Sabendo que o replemento do dobro de um ângulo é igual ao suplemento do complemento desse mesmo ângulo. etermine a quarta parte desse ângulo. 15º,5º 45º Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, EM_V_MT_06

19 d) 60º e) 67,5º (Unirio) diferença entre o suplemento e o complemento de um ângulo qualquer é: um ângulo raso. um ângulo agudo. um ângulo reto. d) um ângulo obtuso. e) não pode ser determinada. alcular os valores dos ângulos internos e externos do polígono regular convexo que possui 7 diagonais. No polígono regular... da figura, as diagonais e formam, entre si, um ângulo que mede 0º. 19. Três polígonos convexos têm lados expressos por números consecutivos. Sendo 700 a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos, determine o número de diagonais de cada um deles. 0. etermine o número de lados de um polígono regular E, sabendo que as bissetrizes de P e P, dos ângulos e, formam um ângulo que vale /9 do seu ângulo interno. 1. (UFJF) Em um pentágono convexo, os ângulos internos formam uma progressão aritmética de razão r. O valor de r tal que o maior ângulo desse pentágono meça 18 é: 10 15º 0 d) 7º e) 6. Na figura, E é um pentágono regular. EM_V_MT_06 etermine o número de lados do polígono. 14. O número de diagonais do polígono convexo cuja soma dos ângulos internos é é: d) 44 e) Qual o gênero do polígono convexo em que a diagonal faz com o lado um ângulo de 0º? 16. Qual o polígono convexo em que o número de diagonais é o triplo do número de lados? 17. s mediatrizes de dois lados consecutivos de um polígono regular formam um ângulo igual a 0. etermine o número de diagonais desse polígono. 18. e cada vértice de um polígono regular só podemos traçar três diagonais, sendo que a maior mede T. O perímetro desse polígono vale: d) e) T T T 6T 8T etermine a soma:. ssinale a alternativa que contém a propriedade diferenciada do quadrado em relação aos demais quadriláteros. d) Todos os ângulos são retos. Os lados são todos iguais. s diagonais são iguais e perpendiculares entre si. s diagonais se cortam ao meio. e) Os lados opostos são paralelos e iguais. 4. Q, T, P, L, R e denotam, respectivamente, o conjunto dos quadriláteros, dos trapézios, dos paralelogramos, dos losangos, dos retângulos e dos quadrados. e acordo com a relação de inclusão entre esses conjuntos, a alternativa verdadeira é: R L P L P Q Q P L d) T P Q R e) Q T P R Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, 15

20 5. Prove que a figura formada pelas bissetrizes internas de um paralelogramo propriamente dito é um retângulo. 6. Na figura, os triângulos ^M e ^P são equiláteros e é um quadrado. 7. alcule o ângulo d) 45 e) 0 (Fuvest) No retângulo a seguir, o valor em graus de + é: 9. (UFMG) Sobre figuras planas, é correto afirmar que: um quadrilátero convexo é um retângulo se os la- dos opostos têm comprimentos iguais. um quadrilátero que tem suas diagonais perpendicu- lares é um quadrado. um trapézio que tem dois ângulos consecutivos congruentes é isósceles. d) um triângulo equilátero é também isósceles. e) um triângulo retângulo é aquele cujos ângulos são retos. 0. (PU-SP) Sendo: = {x x é quadrilátero} = {x x é quadrado} = {x x é retângulo} = {x x é losango} E = {x x é trapézio} F = {x x é paralelogramo} então vale a relação: E F F d) F e) E 1. Na figura, é um quadrado e M um triângulo equilátero d) 10 e) 0 afirmativa um quadrado foi subdividido em n quadrados congruentes acarreta que: n pode ser 1. n não pode ser par. n não pode ser ímpar. d) n pode ser 6. e) n pode ser 9. etermine a medida do ângulo ^M d) 48 e) 50 Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, EM_V_MT_06

21 EM_V_MT_06. (esgranrio) s bases MQ e np de um trapézio medem 4cm e 11cm, respectivamente. Se o ângulo M^QP é o dobro do ângulo P^NM, então o lado PQ mede: 154cm 1cm 91cm d) 77cm e) 70cm. Na figura ad = dc = cb e bd = ba medida do ângulo  do trapézio mede: d) 48 e) Ligando-se os pontos médios dos lados de um quadrilátero convexo de diagonais 6 e 8, obtém-se um outro quadrilátero convexo de perímetro: d) 14 e) (UFRJ) Os ângulos internos de um quadrilátero convexo estão em progressão aritmética de razão igual a 0. etermine o valor do maior ângulo desse quadrilátero. 6. alcule o lado e o apótema do triângulo equilátero inscrito num círculo de raio R. 7. alcule o lado e o apótema do quadrado inscrito num círculo de raio R. 8. alcule o lado e o apótema do hexágono regular inscrito num círculo de raio R. 9. alcule o lado do triângulo equilátero circunscrito a um círculo de raio R. 40. alcule o lado do hexágono regular circunscrito a um círculo de raio R. 41. alcule a distância entre dois lados opostos de um hexágono regular de cm de lado. 4. alcule a razão entre os perímetros de dois hexágonos regulares, o primeiro inscrito e o segundo circunscrito a um mesmo círculo. 4. E é um polígono regular convexo de cm de lado. s diagonais e formam um ângulo de 18º. alcule o perímetro do polígono. 44. (UFF) razão entre o lado do quadrado inscrito e o lado do quadrado circunscrito em uma circunferência de raio R é: d) 1 1 e) 45. (PU)... é um polígono regular convexo, de n 1 n lados, inscrito em um círculo. Se o vértice 15 é diametralmente oposto ao vértice 46, o valor de n é: d) 56 e) (Unirio) Às 1 horas e 15 minutos, os ponteiros de um relógio formam um ângulo de: d) 7 e) 5 0 Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, 17

22 .. Nesta figura, as retas r e s são paralelas e t e u são transversais. O valor em graus de (x + y) é: d) 660 e) 580 O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do seu suplemento aumentada da metade do replemento do quádruplo desse ângulo. etermine o valor do complemento desse ângulo. 4. e são, respectivamente, as bissetrizes dos ângulos adjacentes MÔN e NÔP. é a bissetriz do ângulo QÔR. alcule as medidas, em graus, dos ângulos MÔN e NÔP, sabendo que MÔP = 100 e MÔT = Sendo r//s na figura abaixo, o valor de a é: 4h min e 4h 8 min. d) 4h 5 min e 4h 8 min. 7. (UFRRJ) s semirretas consecutivas e são tais que são colineares e Ô = alcule a medida do ângulo PÔQ, sabendo-se que são as bissetrizes dos ângulos Ô e Ô d) 9 e) 16 Pelo ponto de uma reta traçam-se, num mesmo semiplano dos determinados por, as semirretas. O ângulo é o dobro do ângulo e o ângulo é o dobro do ângulo. alcule o ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos e. 9. Na figura abaixo, calcule. e º 10º 15º d) 0º e) 0º (IT) Entre 4 e 5 horas, o ponteiro das horas de um relógio fica duas vezes em ângulo reto com o ponteiro dos minutos. Os momentos dessas ocorrências serão: 4h 5 min e 4h 8 min. 4h5 min e 4h 8 min. 10. (OM) Quantos ângulos retos são formados pelos ponteiros (horas e minutos) de um relógio em um dia completo que se inicia às 0:00 h? d) (M) Na figura a seguir: I. Ô = 108 II. ZÔ = 4 Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, EM_V_MT_06

23 d) e) 1. Sabendo-se que OX, OY e OZ são as bissetrizes de Ô, Ô e XÔY, respectivamente, determine a medida de Ô. uas bissetrizes internas de dois ângulos consecutivos de um polígono regular formam um ângulo dado por: 16. O número de diagonais de um polígono regular de n lados que não passam pelo centro da circunferência circunscrita nesse polígono, é dado por: 17. d) e) n (n ) n (n 1) n (n ) n (UFF) figura representa um triângulo equilátero FHN de lado e um hexágono regular. d) e) EM_V_MT_06 1. (esgranrio) Na figura E é um polígono regular. etermine a medida do ângulo Â. 14. (onsart) Se cada ângulo interno de um polígono não excede, então o polígono tem, no máximo: 4 lados. 5 lados. 6 lados. d) 8 lados. e) 1 lados. 15. Os lados de um polígono regular de n lados, n > 4, são prolongados para formar uma estrela. O número de graus em cada vértice da estrela é: Sabendo que I é ponto médio do lado e pertence ao segmento, assinale a alternativa que representa o perímetro do quadrilátero FGLM. d) e) Se a razão entre o número de diagonais e o número de lados de um polígono é um número inteiro positivo, então o número de lados do polígono é: par. ímpar. múltiplo de. d) não existe. e) nenhuma das anteriores. 19. soma dos (n 1) ângulos internos de um polígono regular de n lados é 945º. etermine o número de lados do polígono. 0. (FEI) O menor ângulo de um polígono convexo mede 19º, e os outros ângulos formam com o primeiro uma progressão aritmética de razão. etermine o número de lados do polígono. Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, 19

24 1. (Mackenzie) medida em graus de um ângulo interno de um polígono regular é um número inteiro. O número de polígonos não semelhantes que possuem essa propriedade é: 4 0 d) 18 e) 15. Um polígono P tem lados a mais e 0 diagonais a mais 1 que um polígono P. Quantas diagonais possui P 1?. (N) O número de polígonos regulares, tais que quaisquer duas de suas diagonais, que passam pelo seu centro, formam entre si ângulo expresso em graus por número inteiro, é: d) e) 4 5. O hexágono da figura abaixo é equiângulo e não equilátero. etermine o valor de X e Y. 6. é um quadrado cujas diagonais cortam-se no ponto I. onstrói-se, exteriormente, um triângulo equilátero M. 7. alcule o ângulo ÎJ, sabendo-se que J é o ponto médio do lado am. Observe a figura abaixo: 4. (EFET) Para ladrilhar o chão de uma varanda foram usadas lajotas na forma de pentágonos regulares e losangos, como mostra a figura. O trapézio é isósceles e o lado oblíquo tem para o dobro da medida da base menor ab. O ponto M é médio de bc e dm = dc Se o ângulo ^M mede 0, calcule o valor da medida do ângulo ^. 8. Na figura a seguir, não pertence ao plano determinado pelos pontos,, e. Os pontos E, F, G e H são os pontos médios dos segmentos ab, bc, cd E da respectivamente. 0 Os ângulos agudos de cada losango medem: d) 56 e) 7 Prove que EFGH é um paralelogramo. Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, EM_V_MT_06

25 9. ado o triângulo acutângulo da figura H, tal que ab = 8, bc = 1 e bh =, calcule o perímetro do quadrilátero convexo MNPH, onde M, N e P são pontos médios dos lados ab, ac e bc.. O perímetro do paralelogramo é igual a: 48cm 46cm 40cm d) 6cm e) cm Um ponto qualquer é considerado sobre o lado OX do ângulo XÔY da figura. 0. (Unificado) No quadrilátero da figura a seguir são traçadas as bissetrizes cm e bn, que formam entre si o ângulo. soma dos ângulos internos e desse quadrilátero corresponde a: d) e) 4 1. Na figura, é um paralelogramo. Traçamos, então: 1. ab OY. aq // OY. opq tal que pq = oa Se PÔ = 6, XÔY mede: º d) 78º e) 80º. No paralelogramo, as distâncias de, e a uma reta exterior que contém são, respectivamente, a, b e c. EM_V_MT_06 onsidere: 1. ap bissetriz de Â, bp bissetriz de ^ e cq bissetriz de ^.. M e N pontos médios, respectivamente, de ab e bc. pm = 5cm e qn = cm. Prove que b = a + c. Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, 1

26 4. Na figura, M é o ponto médio do lado bc, an bissetriz do ângulo  e bn perpendicular a an. 8. Na figura abaixo, é um trapézio e M e N os pontos médios dos lados não-paralelos. Se = 14 e ac = 0, calcule o comprimento do segmento mn. 5. (Fuvest) Em um trapézio isósceles, a altura é igual à base média. eterminar o ângulo que a diagonal forma com a base. 6. No quadrilátero, temos = bc = e o prolongamento desses lados forma um ângulo de 60. Mostre que: Os pontos P, M, N e Q são colineares. O perímetro do trapézio vale o dobro do segmento pq. 9. o montar um quebra-cabeça, Joãozinho montou o retângulo abaixo de dimensões a e b, decomposto em quatro quadrados. a Indicando por,, e, respectivamente, as me- didas dos ângulos internos do quadrilátero de vértice,, e, calcule + e +. Sejam J o ponto médio de dc, M o ponto médio de ac e N o ponto médio de bd. alcule jm e jn. alcule a medida do ângulo M^J N. 7. Na figura abaixo, é um quadrilátero onde ad = bc e  + ^ = 10º. b Qual o valor da razão a/b? 5 d) 1 e) alcule o perímetro do triângulo PQR. Sabendo que P, Q e R são respectivamente os pontos médios dos segmentos ac, bd E dc e que ad = 6m Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, EM_V_MT_06

27 EM_V_MT_ Na figura a seguir, calcule o ângulo, sabendo que E é um pentágono onde = ^ = 90º, ab = bc, cd = de e que M é o ponto médio do lado ae. 41. Em uma circunferência de centro O e raio, têm-se duas cordas paralelas, e, que são os lados do quadrado e do hexágono regular convexo inscritos, respectivamente. distância EF entre essas cordas é, aproximadamente, igual a: d) 5 6 π e) 4. Na figura a seguir, e são, respectivamente, lados do triângulo equilátero e do quadrado inscritos na circunferência de raio r. om centro em, traçam-se os arcos de circunferências e, que interceptam a reta t em e. medida que está mais próxima do comprimento do segmento é: o perímetro do quadrado de lado. o comprimento da semicircunferência de raio r. o dobro do diâmetro da circunferência de raio r. d) o semiperímetro do triângulo equilátero de lado. 4. alcule o perímetro do triângulo equilátero circunscrito ao círculo que circunscreve um quadrado de 8 6 cm de perímetro. 44. alcule a distância entre dois lados opostos de um hexágono regular inscrito num círculo inscrito num triângulo equilátero de 6m de lado. 45. alcule a razão entre os perímetros do triângulo equilátero inscrito num círculo e do hexágono regular circunscrito ao mesmo círculo. 46. alcule o lado do octógono regular convexo inscrito num círculo de raio igual a cm. 47. alcule o lado do dodecágono regular convexo inscrito num círculo de raio cm. 48. alcule o comprimento da diagonal do pentágono regular convexo, de lado = cm. 49. razão entre os comprimentos das circunferências circunscrita e inscrita a um quadrado é: d) e) (Unirio) Um carimbo com o símbolo de uma empresa foi encomendado a uma fábrica. Ele é formado por um triângulo equilátero que está inscrito numa circunferência e que circunscreve um hexágono regular. Sabendo-se que o lado do triângulo deve medir cm, então a soma das medidas, em cm, do lado do hexágono com a do diâmetro da circunferência deve ser: Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/,

28 d) e) che o lado do decágono regular inscrito em um círculo de raio R. 4 Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, EM_V_MT_06

29 e EM_V_MT_ emonstração º 40 d) 55º emonstração Eneágono. 16. Eneágono diagonais , 14 e lados = = Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, 5

30 E 0. 1 lados diagonais R R e R R e R R e R R cm x = 1 y = 4 6. = 0 7. = H e FG é um paralelogramo. 17cm cm 1... E emonstração 4. omo an é bissetriz, temos dois triângulos congruentes N e NQ, logo aq = 14 e qc = 6. No triângulo Q, N e M são pontos médios, assim mn = , com as bases E e 40 E º e cm + = = 90 + = = 90 pq = pm + mn + nq mn = + b pq = x + + b + y pq = x + b + y P = x + + b + y P =.pq Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, EM_V_MT_06

31 cm m 4 cm cm ( 1+ 5)cm R ( 5 1) EM_V_MT_06 Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, 7

32 8 Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, EM_V_MT_06