Preparação para a Prova Final de Matemática 2.º Ciclo do Ensino Básico Olá, Matemática! 6.º Ano

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1 Geometria Figuras no plano Retas, semirretas e segmentos de reta Ângulos: amplitude e medição Polígonos: propriedades e classificação Círculo e circunferência: propriedades e construção Reflexão, rotação e translação Noção e propriedades da reflexão Noção e propriedades da rotação Noção e propriedades da translação Simetrias axial e rotacional Síntese Reta Dois pontos de um plano definem uma e uma só reta. A reta que contém os pontos A e B é a reta AB ou reta r. Semirreta A semirreta está contida na reta. Ao ponto A chama-se origem da semirreta que contém o ponto B. Segmento de reta O segmento de reta está contido na reta. Os pontos A e B estão contidos no segmento de reta e são os seus extremos. Pág. 1

2 Retas paralelas Duas retas são paralelas quando não têm nenhum ponto em comum (estritamente paralelas) ou quando têm todos os pontos em comum (coincidentes). Construção de retas paralelas: As retas e são estritamente paralelas. As retas e são coincidentes. Retas concorrentes Duas retas são concorrentes quando têm um único ponto em comum (perpendiculares e oblíquas). São retas perpendiculares se fazem ângulos retos entre si e são retas oblíquas se não fazem ângulos retos entre si. Construção de retas concorrentes: Retas r e s Retas perpendiculares. Paralelas Concorrentes Retas oblíquas. Estritamente paralelas: r // s Coincidentes: r s Perpendiculares: r s Oblíquas Classificação de ângulos Agudo: 0º 90º Reto: 90º Obtuso: 90º 180º Raso: 180º Giro: 360º Ângulos complementares Dois ângulos dizem-se complementares se a soma das suas amplitudes é 90º. 90 Pág. 2

3 Ângulos suplementares Dois ângulos dizem-se suplementares se a soma das suas amplitudes é 180º. 180 Ângulos adjacentes Dois ângulos dizem-se adjacentes quando têm uma semirreta comum que os separa. Repara que, o ângulo é adjacente ao ângulo. Ângulos verticalmente opostos Ângulos verticalmente opostos têm a mesma amplitude. O ângulo é verticalmente oposto ao ângulo. O ângulo é verticalmente oposto ao ângulo. Ângulos alternos internos Ângulos alternos internos em relação a uma secante de duas retas paralelas têm a mesma amplitude. O ângulo é alterno interno ao ângulo. O ângulo é alterno interno ao ângulo. Se // então: O ângulo é alterno interno ao ângulo e. O ângulo é alterno interno ao ângulo e. Polígono regular Um polígono diz-se regular quando tem os lados iguais e os ângulos também todos iguais. Pág. 3

4 Polígono irregular Um polígono que não é regular diz-se irregular. Classificação de polígonos Triângulo: 3 lados Quadrilátero: 4 lados Pentágono: 5 lados Hexágono: 6 lados Heptágono: 7 lados Octógono: 8 lados Eneágono: 9 lados Decágono: 10 lados Dodecágono: 12 lados Icoságono: 20 lados Classificação de triângulos Quanto aos lados: Equilátero: tem três lados geometricamente iguais. Isósceles: tem pelo menos dois lados geometricamente iguais. Escaleno: tem os lados todos diferentes. Quanto aos ângulos: Retângulo: tem um ângulo reto (e os outros dois agudos). Obtusângulo: tem um ângulo obtuso (e os outros dois agudos). Acutângulo: tem os três ângulos agudos. Desigualdade triangular Num triângulo, qualquer um dos seus lados é menor que a soma dos outros dois. Relações entre ângulos e lados de um triângulo Num triângulo, ao lado de maior comprimento opõe-se o ângulo de maior amplitude. Num triângulo, ao lado de menor comprimento opõe-se o ângulo de menor amplitude. A soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º. Num triângulo, a amplitude de cada ângulo externo é igual à soma das amplitudes dos ângulos internos não adjacentes. A soma das amplitudes dos ângulos externos de um triângulo é 360º. Construção de triângulos Dadas as medidas do comprimento de três lados de um triângulo Pág. 4

5 Dadas as medidas do comprimento de dois lados de um triângulo e a amplitude do ângulo formado por dois dos seus lados Dadas as medidas do comprimento de um dos lado de um triângulo e a amplitude dos ângulos adjacentes a esse lado Triângulos congruentes Dois triângulos dizem-se congruentes (ou geometricamente iguais) quando têm, de um para o outro, os três lados e os três ângulos correspondentes iguais. Circunferência Uma circunferência é uma linha fechada em que todos os seus pontos estão à mesma distância de um ponto fixo, o seu centro. A um segmento de reta definido pelo centro e por qualquer um dos pontos da circunferência chama-se raio. A um segmento de reta definido por quaisquer dois pontos da circunferência e que passa pelo centro chama-se diâmetro. Repara que: comprimento do diâmetro = 2 comprimento do raio. Círculo Um círculo é um conjunto de pontos definidos por uma circunferência e por todos os pontos que estão no seu interior. Pág. 5

6 Reflexão A reflexão em relação à reta r transforma um ponto P num ponto P' tal que: os pontos P e P' estão numa reta perpendicular ao eixo de reflexão r ; os pontos P e P' estão à mesma distância da reta r. O triângulo! # $ é o transformado do triângulo!#$ por uma reflexão de eixo r. Repara que: %% & ; ((((% ' %' (((((. O mesmo acontece para qualquer outro ponto da imagem original e o seu correspondente transformado por uma reflexão de eixo r. Propriedades da reflexão A figura original e o seu transformado são geometricamente iguais. Um ponto da figura original pertencente ao eixo de reflexão é transformado em si próprio. Rotação Uma rotação transforma uma figura do plano noutra figura, rodando todos os pontos da figura original à volta de um ponto fixo (centro de rotação), num determinado sentido (positivo ou negativo) e segundo um determinado ângulo (ângulo de rotação). À amplitude do ângulo de rotação chamamos amplitude de rotação. O triângulo!# $ é o transformado do triângulo!#$ por uma rotação de centro! e amplitude 90º, no sentido positivo. Repara que: )%*) +,- e /%*/ +,- ; )% (((() % ((((( e /% ((((/ % ((((( ; o ponto % é transformado em si próprio, pois pertence à figura original. Propriedades da rotação A figura original e o seu transformado são geometricamente iguais. Um ponto e o seu transformado estão à mesma distância do centro de rotação. O centro de rotação, no caso de pertencer à figura original, é transformado em si próprio. Translação Numa translação todos os pontos da figura original sofrem o mesmo deslocamento. Se o transformado do ponto P é P' e o transformado de Q é Q', então a distância de P a P' é igual à distância de Q a Q'. Além disso, PP' // QQ'. Pág. 6

7 O triângulo! # $ é o transformado do triângulo!#$ por uma translação. Repara que: ((((( %% )) ((((( // ((((( ; %% + //)) ////. Propriedades da translação A figura original e o seu transformado são geometricamente iguais. Um segmento de reta é transformado num segmento de reta paralelo. Isometria Uma isometria transforma uma figura do plano noutra figura conservando as distâncias entre pontos. Simetria axial Uma figura tem simetria axial quando existe pelo menos uma reta que a divide em duas partes que se podem sobrepor ponto por ponto por dobragem, isto é, por reflexão. A essa reta dá-se o nome de eixo de simetria. A bissetriz de um ângulo é a semirreta que o divide em dois ângulos geometricamente iguais. A bissetriz de um ângulo está contida no seu eixo de simetria. Simetria axial de triângulos: Um triângulo equilátero tem 3 eixos de simetria. Um triângulo isósceles (não equilátero) tem 1 eixo de simetria. Um triângulo escaleno não tem eixos de simetria. Simetria rotacional Uma figura tem simetria rotacional quando fica invariante por uma rotação de amplitude inferior a 360º. Simetria rotacional de triângulos: Um triângulo equilátero é o único tipo de triângulo que tem simetria rotacional. Existem três rotações (de sentido positivo) pelas quais esta figura fica invariante. Ordem de simetria de rotação: é o número de vezes em que a figura fica invariante numa rotação de 360º. Pág. 7

8 Nas próximas páginas encontrarás questões de provas finais de Matemática do 2.º Ciclo seguidas de novas propostas semelhantes. Não te esqueças que podes, e deves, consultar a síntese inicial sempre que tiveres alguma dúvida. Bom trabalho! Prova Final de Matemática ( Caderno 2) 1. Qual a fração que representa a amplitude do ângulo agudo formado pelos ponteiros do relógio às 5 horas e 30 minutos, considerando como unidade 360º? Assinala com X a opção correta Assinala com X a opção que representa a amplitude de um ângulo obtuso, com amplitude múltipla de 5 e º 180º 120º 30º Pág. 8

9 Prova Final de Matemática ( Caderno 2) 3. Na Figura 1, estão representadas duas retas perpendiculares, e, cujo ponto de interseção é o ponto 7. Assinala com X a opção que corresponde à soma das amplitudes dos ângulos 7 com º 180º 60º 300º Pág. 9

10 4. Na Figura 2, estão representadas duas retas paralelas, e, intersetadas por uma secante. A amplitude do ângulo 8 é 60º. Qual a amplitude do ângulo? Mostra como chegaste à resposta. Resposta: 5. Na Figura 3, estão representadas duas retas perpendiculares, e, que se intersetam no ponto. A bissetriz do ângulo é a semirreta. Qual a amplitude do ângulo? Mostra como chegaste à resposta. Resposta: Pág. 10

11 Prova Final de Matemática ( Caderno 2) Prova Final de Matemática ( Caderno 2) Prova Final de Matemática ( Caderno 2) Pág. 11

12 Prova Final de Matemática ( Caderno 2) 6. Na Figura 4 estão representados os triângulos e congruentes e as retas e que são paralelas Qual a amplitude, em graus, do ângulo? Mostra como chegaste à tua resposta. Resposta: Pág. 12

13 7. Na Figura 5 está representado um triângulo equilátero. Qual a amplitude, em graus, do ângulo? Mostra como chegaste à tua resposta. Resposta: 8. Na Figura 6 está representado o triângulo e o seu ângulo externo. Sabe-se que: Qual a amplitude, em graus, do ângulo? Mostra como chegaste à tua resposta. Resposta: 9. Na Figura 7 está representado o triângulo em que: A Joana afirmou: "O lado de menor comprimento do triângulo é." Indica se a Joana fez uma afirmação verdadeira ou falsa, justificando a tua resposta. Resposta: Pág. 13

14 10. Na Figura 8 está representado o triângulo em que: 957 (((( 4,5 cm (((( 4,5 cm Qual a amplitude, em graus, do ângulo? Mostra como chegaste à tua resposta. Resposta: Prova Final de Matemática ( Caderno 2) Prova Final de Matemática ( Caderno 2) Prova Final de Matemática ( Caderno 2) Pág. 14

15 Prova Final de Matemática ( Caderno 2) 11. Considera uma circunferência de centro O e raio Se ((((4 cm, qual a maior distância possível entre dois pontos da circunferência? Resposta: Se ((((10 cm, qual o valor numérico do triplo do diâmetro desta circunferência? Assinala com X a opção correta Pág. 15

16 Prova Final de Matemática ( Caderno 2) 12. Considera os polígonos congruentes A, B, C e D Qual o polígono que corresponde ao transformado do polígono A por uma rotação de 90º no sentido positivo? Resposta: Qual o polígono que corresponde ao transformado do polígono A por uma reflexão de eixo r? Resposta: Qual o polígono que corresponde ao transformado do polígono A por uma translação? Resposta: Pág. 16

17 13. Completa as figuras de modo a que as retas r e s sejam os eixos de reflexão respetivos. 14. Para cada uma das figuras dadas, desenha o transformado da figura por uma rotação de centro P e amplitude 270º no sentido positivo. Prova Final de Matemática ( Caderno 2) Pág. 17

18 15. A professora de Matemática perguntou aos seus alunos qual o polígono de três lados que tem apenas um eixo de simetria. O Pedro disse: O triângulo equilátero. O Tomás disse: Não é verdade! É o triângulo isósceles, não equilátero! Indica qual dos dois alunos está correto, justificando a tua resposta. Resposta: Justificação: 16. Nem todos os polígonos têm simetria rotacional. Indica um polígono de três lados que não tenha simetria rotacional. Prova Final de Matemática ( Caderno 2) Resposta: Pág. 18

19 17. Considera as figuras A e B Qual a ordem de simetria de rotação da Figura A? Quantos eixos de simetria axial possui a Figura A? Qual a ordem de simetria de rotação da Figura B? 2 não tem simetria de rotação 4 não tem simetria rotacional Indica qual a menor amplitude de um ângulo de simetria rotacional da Figura B? Mostra como chegaste à tua resposta. Resposta: Quantos eixos de simetria axial possui a Figura B? 4 não tem simetria axial Pinta, na figura C, o menor número de triângulos, de forma a que se obtenha uma figura sem simetria axial e com simetria rotacional de ordem 2. Pág. 19

20 19. Considera a Figura A que representa um pormenor de um vitral de uma igreja Quantas simetrias axiais consegues observar na Figura A? Resposta: Quais as amplitudes dos ângulos das simetrias rotacionais da Figura A? Mostra como chegaste à tua resposta. Resposta: 20. Considera o friso que se segue. Indica quais as simetrias que se podem identificar neste friso. Resposta: Pág. 20

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