Escola Básica Integrada c/ Jardim de Infância da Malagueira SÍNTESE DO TÓPICO ISOMETRIAS. rotaçã

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1 Escola Básica Integrada c/ Jardim de Infância da Malagueira Ficha informativa nº9 Matemática Nome: Nº: Ano: 8º Turma: Data: 11 SÍNTESE DO TÓPICO ISOMETRIAS ISOMETRIAS I - Transformações geométricas: reflexão, rotaçã ção e translaçã ção Reflexão Na figura ao lado apresenta-se o sinal representativo da proibição de virar à esquerda. Observa a figura ao lado na qual se encontram dois sinais de trânsito: o sinal 1 é representativo da proibição de virar à esquerda; o sinal 2 representa a proibição de virar à direita. Se dobrarmos a página pela recta r observamos que a figura 1 vai coincidir com a figura 2 (e vice-versa). Podemos pensar na recta r como uma espécie de "espelho" que reflecte as duas figuras. 1 r 2 A figura 2 é o transformado ou imagem da figura 1 por meio de uma transformação geométrica chamada reflexão através da recta r. A recta r é designada por eixo de simetria ou eixo de reflexão. As figuras 1 e 2 são geometricamente iguais; O segmento de recta que une um ponto da figura 1 ao seu transformado pela reflexão através da recta r é perpendicular ao eixo de simetria. Rotaçã ção Observando o esquema podemos levar a figura 1 a coincidir com a figura 2 rodando-a em torno do ponto C. Quando a rotação é realizada da figura 1 para a figura 2 dizemos que é feita no sentido positivo (no sentido contrário aos ponteiros do relógio). Quando a rotação é feita da figura 2 para a figura 1 dizemos que é feita no sentido negativo (no sentido dos ponteiros do relógio). 1/9

2 A figura 2 é o transformado (ou a imagem) da figura 1 por meio de uma transformação geométrica chamada rotaçã ção de centro C e amplitude 90 no sentido positivo. A figura 1 é o transformado (ou a imagem) da figura 2 por meio de uma transformação geométrica chamada rotaçã ção de centro C e amplitude 90 no sentido negativo. As figuras 1 e 2 são geometricamente iguais; Uma rotação fica determinada quando se conhece o centro da rotação, o sentido e a amplitude do respectivo ângulo de rotação. Translaçã ção Observando as figuras 1 e 2 é possível com um deslocamento segundo uma linha recta levar o decalque da figura 1 a coincidir com a figura 2. A figura 2 é o transformado ou a imagem da figura 1 por meio de uma transformação geométrica chamada translaçã ção. A translação realiza-se segundo uma determinada direcção, um determinado sentido e um determinado comprimento. As figuras 1 e 2 são geometricamente iguais; Existe uma translação quando podemos "imaginar" que a figura 1 é "copiada" e se "move" segundo uma determinada direcção, um determinado sentido e um determinado comprimento até coincidir com a figura 2. Reflexão deslizante A reflexão deslizante é uma transformação geométrica que combina uma reflexão através da recta r com uma translação, em que são iguais a direcção associada à recta r e a translação. A figura 3 foi obtida da figura 1 por meio de uma reflexão deslizante. 2/9

3 II Tipos de simetrias nas figuras Simetria axial ou simetria de reflexão Observando a figura podemos concluir que, se traçarmos uma recta vertical que contém o centro da figura, a reflexão definida por este eixo deixa a figura, como um todo, invariante, isto é, inalterada. De igual forma, se traçarmos uma recta horizontal ou duas rectas oblíquas que contêm o centro da figura, como se ilustra a seguir, concluímos que estes eixos deixam a figura invariante. A figura possui quatro simetrias axiais (ou quatro simetrias de reflexão) que a deixam invariante. Simetria rotacional ou simetria de rotaçã ção Observando novamente a figura, vamos efectuar uma rotação, considerando o centro da figura como o centro da rotação, de amplitude 90 e sentido negativo (sentido dos ponteiros do relógio). A única diferença entre as duas figuras é a posição de cada um dos quatro polígonos. A rotação de amplitude 90 que efectuamos deixou a figura, como um todo, invariante. O mesmo acontece se efectuarmos uma rotação de amplitude 180, 270 e naturalmente 360. Repara que independentemente do sentido da rotação, esta deixa a figura invariante. A figura possui quatro simetrias rotacionais que a deixam invariante. 3/9

4 III Translação associada a um vector Imagina a vela de um barco a ser empurrada pelo vento. O primeiro triângulo foi transformado no segundo através de uma translação. Pode-se notar, que existe aqui uma certa semelhança com as funções. Neste caso, o objecto (A) é o triângulo inicial e a imagem (B) é o triângulo obtido, após feita a translação. As setas que unem os vértices dos dois triângulos são todas paralelas, o que significa que têm a mesma direcção. Também se pode notar que essas setas se dirigem todas para o mesmo lado, isto é, têm todas o mesmo sentido. Se forem medidas, com a ajuda de um compasso (coloca-se o bico do compasso num dos extremos e abre-se o compasso com uma medida igual à da seta), pode-se observar que têm todas o mesmo comprimento. Ao conjunto de setas nas condições indicadas chama-se vector (ou vector livre). VECTOR é um segmento de recta orientado, com uma determinada direcção, um determinado sentido e um determinado comprimento. Um vector é, normalmente, representado por uma letra minúscula encimada por uma seta. Por exemplo, tratamos o vector por u r. Também por norma, essa letra encimada pela seta é colocada ao lado do vector para que ele se distinga de outro qualquer vector. Temos então: u r Estes dois conceitos, vector e translação, estão directamente ligados um ao outro. Em qualquer translação existe sempre um vector que transforma pontos (os objectos) noutros pontos (as imagens). Sendo assim, quando nos referimos a uma translação temos de também fazer referência ao vector que lhe está associado, dizendo que é uma translação associada ao vector. u r O u r I O esquema acima mostra-te que obténs o ponto I (imagem) através da translação do ponto O (objecto), associada ao vector u r, ou ainda: Objecto + vector = Imagem Translação associada ao vector (a soma do ponto O com o vector u r, deu origem ao ponto I). 4/9

5 Nota: Todos os segmentos de recta orientados com a mesma direcção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento, definem o mesmo vector. Quando dois vectores têm direcções diferentes então, também os sentidos serão diferentes. Se duas rectas são paralelas então definem a mesma direcção. IV - Propriedades das translações Consideremos, o segmento de recta [AB] a seguir representado, bem como o vector u r. O segmento de recta [A'B'] é a imagem do segmento de recta [AB] através da translação associada ao vector u r. Tendo em atenção que u r é um e um só vector (as setas têm o mesmo comprimento e são paralelas, isto é, têm a mesma direcção), então podemos concluir que a figura [ABA'B'] é um paralelogramo. Logo, os segmentos de recta [AB] e [A'B'] são geometricamente iguais. Uma translação conserva o comprimento. Vimos que a imagem de um segmento de recta, através de uma translação, é um outro segmento de recta geometricamente igual ao inicial. Ora, por outro lado, também concluímos que a figura [ABA'B'] é um paralelogramo, donde se tem que os lados [AB] e [A'B'] são paralelos. Uma translação conserva a direcção. Consideremos, agora, o ângulo ao lado representado: O ângulo [A'V'B'] é o transformado (imagem) do ângulo [AVB] através da translação associada ao vectoru r. Vimos que a imagem de um segmento de recta é ainda um segmento de recta e é paralelo ao inicial. Ora, o ângulo dado e a sua imagem são ângulos de lados paralelos e são da mesma espécie (ambos são ângulos agudos). Concluímos, assim, que os dois ângulos são geometricamente iguais. Uma translação conserva os ângulos. 5/9

6 Por fim, considera o triângulo [ABC] e a translação associada ao vector u r. A imagem do triângulo [ABC, através da translação associada ao vector u r, é o triângulo [A'B'C']. Como uma translação conserva os comprimentos dos segmentos de recta, então os três lados dos dois triângulos (objecto e imagem) são geometricamente iguais. Podemos, por esse facto, concluir que os dois triângulos são geometricamente iguais. Uma translação conserva as figuras geométricas. A imagem de qualquer figura geométrica, através de uma translação associada a um qualquer vector, é uma figura geometricamente igual à figura inicial. V - Composição de translações e soma de vectores Considera o triângulo rectângulo [ABC] e observa atentamente a forma como se obteve o triângulo rectângulo IA"B"C"]. Construído o triângulo [ABC] fizemos a sua translação associada ao vector u r, obtendo-se o triângulo [A'B'C'. Neste caso, o objecto é o triângulo [ABC] e a respectiva imagem, através daquela translação, é o triângulo [A'B'C']. Seguidamente, considerámos como objecto o triângulo [A'B'C] e fizemos a sua translação associada ao vector v r, obtendo por imagem o triângulo [A"B"C"]. Dizemos, então, que fizemos uma composição de translações. A translação composta pode designarse por Tr w como é a translação composta das translações associadas aos vectores u r e v r pode escrever-se T r w = Tr v otr u (lê-se v Tr após u Tr ) 6/9

7 Repara que, em vez de se terem feito aquelas duas translações, poderíamos ter realizado apenas uma delas. Facilmente se observa que o triângulo [A"B"C"] é a imagem do triângulo [ABC], através da translação associada ao vector w r. Daqui podemos tirar a seguinte: A composição de duas translações é ainda uma translação. Ao vector w r que define a translação composta, chama-se vector soma do vector u r com o vector v r r r r e escreve-se w = u + v. Como determinar o vector soma? Para determinar a soma de dois vectores, como seguinte forma: r r u + v, procedemos da Regra do triângulo ngulo: 1.º Seleccionam-se um ponto qualquer, A. 2. A partir de A desenha-se um representante de u r = AB. 3. A partir de B, extremidade de u r, desenha-se um representante de v r = BC. 4. Por último une-se a origem de v r com a extremidade de u r obtendose o vector soma, u + v r r =AC Em alternativa à Regra do triângulo podemos utilizar a seguinte regra: Regra do paralelogramo: 1. Selecciona-se um ponto qualquer, A. 2. A partir de A desenha-se um representante deu r e um representante de v r. 3. Traçamos duas rectas, uma paralela a u r ; e outra a v r. 4. Unimos o ponto A ao ponto de intersecção das duas rectas (diagonal do paralelogramo), obtendo vector soma, u r r + v. Ambas as regras são igualmente válidas para vectores que tenham a mesma direcção. 7/9

8 Adiçã ção de vectores com a mesma direcç cção e o mesmo sentido Adiçã ção de vectores com a mesma direcçã ção e sentidos opostos Um caso particular na adição de dois vectores com a mesma direcção e sentidos opostos é quando os vectores têm o mesmo comprimento: A origem de um dos vectores, o ponto A, coincide com a extremidade do outro vector, o ponto C, pelo que r r o vector soma é u + v =AB + BC = AA Os vectores com a mesma direcção, o mesmo comprimento e sentidos contrários chamam-se vectores simétricos. A soma de vectores simétricos é igual a um vector com o comprimento nulo a que se dá o nome de vector nulo, que se representa por 0 r. Subtracção de vectores: Chama-se diferença dos vectores u r e v r à soma de u r com o simétrico de v r. r r r u v = u + v ( ) 8/9

9 VI - Propriedades das isometrias Reflexão em relaçã ção a uma recta A figura F 2 é a imagem da figura F 1, por meio de uma reflexão em relação à recta r. As figuras F 2 e F 1, são geometricamente iguais. Rotaçã ção em relaçã ção a um ponto A figura F 2 é a imagem da figura F 1, por meio de uma rotação de centro C de amplitude 90 no sentido negativo (sentido dos ponteiros do relógio). Translaçã ção segundo um vector A figura F 2 é a imagem da figura F 1 por meio de uma translação segundo o vector v r. As figuras F 2 e F 1 são geometricamente iguais. As translações preservam a direcçã ção e o sentido. Nestes três exemplos observaste que as reflexões, as rotações e as translações transformam uma figura noutra geometricamente igual. Assim, estas três transformações conservam: os comprimentos dos segmentos de recta; as amplitudes dos ângulos. Designa-se por isometria, uma transformação geométrica que conserva os comprimentos dos segmentos de recta e as amplitudes dos ângulos. Duas figuras dizem-se isométricas se uma é transformada noutra por meio de uma isometria. Duas figuras geometricamente iguais são sempre resultantes de isometrias. As professoras Albina Almodôvar Ana Percheiro Fátima Morgado 9/9