Isometrias ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE

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1 Isometrias

2 Isometria: do grego ισο + μέτρο (ισο = iso = igual; μέτρο = metria = medida) Uma isometria é uma transformação geométrica que preserva as distâncias entre pontos e consequentemente as amplitudes dos ângulos, transformando uma figura noutra figura congruente.

3 Existem quatro tipos de isometrias: Rotação Translação Reflexão Reflexão deslizante

4 ROTAÇÃO A Fig. 2 O que é uma rotação? O Rodar uma figura em torno de um ponto chamado centro de rotação (O). Fig. 1 A 180º A distância dos pontos ao centro de rotação mantém-se constante.

5 ROTAÇÃO Numa rotação: um segmento de recta é transformado num segmento de recta congruente um ângulo é transformado noutro ângulo congruente e com o mesmo sentido Uma rotação é uma transformação geométrica, associada a um ponto, o centro da rotação, e a um ângulo, cuja amplitude pode ser positiva ou negativa.

6 ROTAÇÃO Associado ao conceito de rotação está o conceito de ângulo orientado. Convencionou-se que a rotação tem sentido positivo quando a rotação se efectua no sentido contrário ao do movimento dos ponteiros de um relógio. Quando se efectua uma rotação no sentido do movimento dos ponteiros de um relógio, então diz-se que se efectuou uma rotação no sentido negativo. Sentido positivo ângulo orientado +90º Sentido negativo ângulo orientado -90º

7 Rotação no sentido positivo Rotação no sentido negativo

8 Pavimentações usando as rotações

9 Pavimentações usando as rotações

10 TRANSLAÇÃO O que é uma translação? Vector v Fig. 1 Fig. 2 Deslocamento de uma figura segundo um vector (um vector é um ser matemático que é caracterizado por uma direcção, um sentido e um comprimento).

11 TRANSLAÇÃO Em baixo, a figura B é a imagem da figura A pela translação T no plano. A figura A é a figura original (o objecto) e a figura B é a sua imagem (o transformado) através de uma translação. José 11

12 TRANSLAÇÃO Na figura que podes observar agora, o deslocamento foi feito segundo a mesma direcção e o mesmo sentido, mas não foi mantida a distância em todos os deslocamentos. A figura D não foi obtida por translação da figura C. Não existe nenhuma translação que permita obter a figura D a partir da figura C. José 12

13 TRANSLAÇÃO Uma translação transforma uma figura numa outra figura geometricamente igual. Todos os pontos da figura transformada (imagem) resultam de um deslocamento de todos os pontos da figura original definidos por: uma direcção; um sentido; um comprimento. José 13

14 TRANSLAÇÃO Todos os segmentos orientados que têm a mesma direcção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento (ou norma) representam o mesmo vector. O vector é o representante de todos os segmentos de recta equipolentes (ou seja, com a mesma direcção, mesmo sentido e mesmo comprimento). José 14

15 TRANSLAÇÃO Um vector fica então definido desde que se conheça: a direcção (que é dada pela recta onde esse vector se encontra: - a recta suporte do vector) o sentido (um dos dois possíveis na direcção) o comprimento (ou norma) José 15

16 TRANSLAÇÃO Consideremos o triângulo da figura abaixo e vamos obter a sua imagem através da translação associada ao vector representado a vermelho. 1.º passo: A partir de cada um dos vértices do triângulo, com régua e esquadro, vamos traçar paralelas com a direcção do vector dado José 16

17 TRANSLAÇÃO 2.º passo: Abrimos o compasso com comprimento igual ao do vector dado 3.º passo: Marcam-se as imagens dos vértices, respeitando o sentido indicado pelo vector José 17

18 TRANSLAÇÃO 4.º passo: Traçam-se os lados do novo triângulo cujos vértices são as imagens obtidas, obtendo-se a translação da figura original José 18

19 PROPRIEDADES DA TRANSLAÇÃO Concluindo: Uma translação transforma um segmento de recta num outro segmento de recta paralelo e congruente. Uma translação transforma um ângulo noutro ângulo congruente (com a mesma amplitude). Uma translação transforma uma figura noutra figura geometricamente igual. José 19

20 Translação associada ao vector u=(1,1)

21 Pavimentações usando as translações

22 Pavimentações usando as translações

23 REFLEXÃO O que é uma reflexão? Reflexão em redor de um eixo. Dada uma recta L chama-se reflexão em torno do eixo L ao movimento que transforma um ponto C em outro ponto C' verificando que: O segmento CC' é perpendicular a L. Os pontos C e C' são equidistantes do eixo L. Dito de outra forma o eixo L é a mediatriz do segmento CC'

24 Reflexão

25 Exemplos de Reflexões

26 REFLEXÃO DESLIZANTE O que é uma reflexão deslizante? A reflexão deslizante é a combinação de uma reflexão com uma translação. A figura que resulta da combinação de uma reflexão com uma translação chama-se de reflexão deslizante. O vector associado à translação tem de ser paralelo ao eixo de reflexão

27 Reflexão deslizante O quadrilátero [ABCD] é reflectido segundo uma reflexão obtendo-se o quadrilátero [A B C D ]. Em seguida, sofre uma translação associada ao vector u, obtendo-se o quadrilátero [A B C D ]. Assim, o quadrilátero [A B C D ] é a imagem do quadrilátero [ABCD] segundo uma reflexão deslizante.

28 SIMETRIAS

29 Existe uma simetria para cada um dos quatro tipos de isometrias: Simetria de Reflexão Simetria de Rotação Simetria de Translação Simetria de reflexão deslizante

30 SIMETRIA DE REFLEXÃO Existe, pelo menos, uma reflexão que deixa a figura globalmente invariante. Tal pode ser identificado se conseguirmos dobrar a figura de tal modo que as duas partes obtidas se sobreponham exactamente se conseguirmos colocar um espelho sobre a figura de modo a que a junção da parte reflectida com a não reflectida seja exactamente igual à figura toda

31 SIMETRIA DE REFLEXÃO A simetria de reflexão também se designa por simetria axial; o eixo de reflexão também se designa por eixo de simetria ou linha de simetria

32 EIXO DE SIMETRIA Eixo de simetria de uma figura é a recta sobre a qual se faz a dobra ou se coloca o espelho/mira que divide a figura ao meio de modo que uma metade da figura seja a reflexão da outra metade. Caso contrário, a recta não é eixo de simetria.

33 EIXOS DE SIMETRIA 1 eixo 2 eixos 6 eixos 1 eixo 2 eixos Não tem eixos

34 EIXOS DE SIMETRIA numa circunferência Os eixos de simetria duma circunferência são as rectas que passam pelo centro. Uma circunferência tem uma infinidade de eixos de simetria.

35 EIXOS DE SIMETRIA em polígonos regulares Triângulo Quadrado Pentágono Hexágono Octógono 3 lados 4 lados 5 lados 6 lados 8 lados 3 eixos 4 eixos 5 eixos 6 eixos 8 eixos Um polígono regular com n lados tem n eixos de simetria

36 EIXOS DE SIMETRIA em polígonos regulares Se o número de lados do polígono regular é ímpar, cada um dos eixos de simetria une um vértice ao ponto médio do lado oposto

37 EIXOS DE SIMETRIA em polígonos regulares Se o número de lados do polígono regular é par, cada um dos eixos de simetria une dois vértices opostos ou une os pontos médios dos lados opostos

38 SIMETRIA DE ROTAÇÃO Existe, pelo menos, uma rotação com uma amplitude superior a 0º e inferior a 360º que deixa a figura globalmente invariante. Tal pode ser identificado se conseguirmos girar a figura em torno de um ponto fixo (centro da figura), de modo a que a imagem resultante, através da rotação, coincida com a figura original.

39 SIMETRIA DE ROTAÇÃO Figura original Um terço de volta 120º Dois terços de volta 240º Um volta inteira 360º O centro da simetria rotacional é o ponto em torno do qual a figura roda (centro da figura) O ângulo da simetria rotacional é o ângulo orientado que descreve o movimento da figura

40 Exemplos de simetrias de rotação

41 SIMETRIA DE REFLEXÃO DESLIZANTE Esta simetria de reflexão deslizante caracteriza-se por ser uma reflexão que envia a pegada de baixo para cima seguida de um deslizamento que a faz avançar um passo. r 1º A pegada sofre uma reflexão em torno da recta r. 2º A pegada sofre uma translação na direcção e no sentido de um vector paralelo ao eixo de simetria. NOTA: Só existe simetria de reflexão deslizante em figuras infinitas

42 FIM

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