Exercícios de exames e provas oficiais

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1 mata Exercícios de exames e provas oficiais. Na figura, está representado, no plano complexo, um quadrado cujo centro coincide com a origem e em que cada lado é paralelo a um eixo. Os vértices deste quadrado são as imagens geométricas dos,, e. Qual das afirmações seguintes é falsa? Re (B) (C) i (D) matemática A º ano, exame 65, época especial, 05 8i e. 6 cis 5 Sabe-se que as imagens geométricas dos e são vértices consecutivos de um polígono regular de n lados, com centro na origem do referencial.. Em, conjunto dos números, seja i 6 Determine, sem recorrer à calculadora, o valor de n. matemática A º ano, exame 65, época especial, 05. Na figura, está representado, no plano complexo, um triângulo equilátero [OAB]. Sabe-se que: o ponto O é a origem do referencial; o ponto A pertence ao eixo real e tem abcissa igual a ; o ponto B pertence ao quarto quadrante e é a imagem geométrica de um complexo. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (C) cis 6 (B) 5 cis (D) cis 6 5 cis matemática A º ano, exame 65, ª fase, 05 /

2 mata i. Em, conjunto dos números, seja cis. Determine os números que são solução da equação calculadora. Apresente esses números na forma trigonométrica., sem utiliar a matemática A º ano, exame 65, ª fase, Considere em, conjunto dos números, a condição i arg No plano complexo, esta condição define uma linha. Qual é o comprimento dessa linha? (B) (C) (D) matemática A º ano, exame 65, ª fase, 05 9 i 6. Em, conjunto dos números, considere. cis Determine os valores de pertencentes ao intervalo 0,, para os quais é um número imaginário puro. Na resolução deste item, não utilie a calculadora. matemática A º ano, exame 65, ª fase, Na figura abaixo, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de cinco números : w,,, e. Qual é o número complexo que pode ser igual a iw? (B) (C) (D) matemática A º ano, exame 65, época especial, 0 /

3 mata 8. Seja o conjunto dos números. Resolva os dois itens seguintes sem utiliar a calculadora. 8.. Considere i i i e cis. Averigue se a imagem geométrica do complexo quadrantes ímpares. 8.. Considere o número complexo Escreva w na forma trigonométrica. pertence à bissetri dos wsin icos, com 0,. matemática A º ano, exame 65, época especial, 0 9. Na figura, estão representadas, no plano complexo, duas semirretas OA e OB e uma circunferência de centro C e raio BC. Sabe-se que: O é a origem do referencial; o ponto A é a imagem geométrica do complexo i ; o ponto B é a imagem geométrica do complexo i ; o ponto C é a imagem geométrica do complexo i. Considere como arg a determinação que pertence ao intervalo,. Qual das condições seguintes define a região sombreada, excluindo a fronteira? (B) (C) (D) i arg i arg i arg i arg matemática A º ano, exame 65, ª fase, 0 /

4 mata 0. Seja o conjunto dos números. 0.. Considere cis 6 e i w i No plano complexo, seja O a origem do referencial.. Seja A a imagem geométrica do número complexo e seja B a imagem geométrica do número complexo w. Determine a área do triângulo [AOB], sem utiliar a calculadora. 0.. Seja 0,. Resolva, em, a equação cos 0. Apresente as soluções, em função de, na forma trigonométrica. matemática A º ano, exame 65, ª fase, 0. Na figura, está representado, no plano complexo, um polígono regular [ABCDEF] Os vértices desse polígono são as imagens geométricas das n raíes de índice n de um número complexo. O vértice C tem coordenadas,. Qual dos números seguintes tem por imagem geométrica o vértice E? cis (B) cis (C) 7 cis (D) 7 cis matemática A º ano, exame 65, ª fase, 0 /

5 mata. Seja o conjunto dos números... Considere i i e cis, com 0,. Determine os valores de, de modo que utiliar a calculadora. seja um número imaginário puro, sem.. Seja um número complexo tal que 0. Mostre que matemática A º ano, exame 65, ª fase, 0. Em, conjunto dos números, considere w i 0 A qual dos conjuntos seguintes pertence w? :. (B) : (C) : (D) : Re Im matemática A º ano, exame 65, época especial, 0. Na figura abaixo, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas dos números :,,,, e. Sabe-se que w é um número complexo tal que i w. Qual é o número complexo que pode ser igual a w? (B) (C) (D) matemática A º ano, exame 65, época especial, 0 5 /

6 mata 5. Seja o conjunto dos números, considere i e cis 5 i cis Seja cis, com pertencente a 0,. Determine de modo que seja um número real negativo, sem utiliar a calculadora. 5.. As imagens geométricas de e do seu conjugado,, são vértices consecutivos de um polígono regular. Os vértices desse polígono são as imagens geométricas das raíes de índice n de um certo número complexo w. Determine w na forma algébrica, sem utiliar a calculadora. Comece por calcular n. matemática A º ano, exame 65, época especial, 0 6. Considere, em, conjunto dos números, bi, com b 0. Seja 0,. Qual dos números seguintes pode ser o conjugado de? cis cis (B) cis (C) cis (D) matemática A º ano, exame 65, ª fase, 0 6 /

7 mata 7. Considere, em, conjunto dos números, a condição i arg i Considere como arg a determinação que pertence ao intervalo,. Qual das opções seguintes pode representar, no plano complexo, o conjunto de pontos definido pela condição dada? (B) (C) (D) matemática A º ano, exame 65, ª fase, 0 8. Seja o conjunto dos números. 8.. Considere i i e i n Determine, sem utiliar a calculadora, o menor número natural n tal que é um número real negativo. 7 /

8 mata 8.. Seja,. Mostre que cos icos cis. cos isin matemática A º ano, exame 65, ª fase, 0 9. Na figura abaixo, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de quatro números : w, w, w, e w. Qual é o número complexo que, com n, pode ser igual a 8n 8n i i i 8n? w (B) w (C) w (D) w matemática A º ano, exame 65, ª fase, 0 0. Em, conjunto dos números, considere 8 6i e Seja um argumento do número complexo. Qual das opções seguintes é verdadeira? w 0cis (B) w cis (C) w 0cis (D) w cis i w. matemática A º ano, exame 65, ª fase, 0 8 /

9 mata. Seja o conjunto dos números, considere cis e i... Sabe-se que é uma rai quadrada de um certo número complexo w. Determine w na forma algébrica, sem utiliar a calculadora... Seja cis Determine o valor de pertencente ao intervalo,, sabendo que é um número real. matemática A º ano, exame 65, ª fase, 0. Sejam k e p dois números reais tais que os números i e w k p i sejam inversos um do outro. Qual é o valor de k p? (B) (C) 5 (D) 7 matemática A º ano, exame 65, época especial, 0. Na figura, estão representadas, no plano complexo, uma circunferência, de centro na origem e de raio, e uma reta r, definida por Re. Seja o número complexo cuja imagem geométrica está no º quadrante e é o ponto de intersecção da com a reta r. Qual das opções seguintes apresenta uma equação de que é solução? i (B) Im (C) (D) matemática A º ano, exame 65, época especial, 0 9 /

10 mata. Seja o conjunto dos números. Resolva os itens seguintes, sem recorrer à calculadora... Considere o número complexo 8 8i. Determine as raíes de índice de. Apresente as raíes na forma trigonométrica... Seja w um número complexo não nulo. Mostre que, se o conjugado de w é igual a metade do inverso de w, então a imagem geométrica de w pertence à circunferência de centro na origem e de raio. matemática A º ano, exame 65, época especial, 0 5. Seja k um número real, e sejam i e ki dois números. Qual é o valor de k para o qual é um imaginário puro? (B) (C) (D) 6 matemática A º ano, exame 65, ª fase, 0 6. Na figura, está representado, no plano complexo, um polígono regular [ABCDEFGHI]. Os vértices desse polígono são as imagens geométricas das raíes de índice n de um número complexo. O vértice A tem coordenadas 0,. Qual dos números seguintes tem por imagem geométrica o vértice F? 7 cis 8 (B) cis 8 (C) cis (D) 5 cis 9 matemática A º ano, exame 65, ª fase, 0 0 /

11 mata 7. Seja o conjunto dos números. 7.. Seja n um número natural. Determine cis 6, sem recorrer à calculadora. cis 5 n 6 i Apresente o resultado na forma trigonométrica. 7.. Seja,. Sejam e dois números tais que cis e cis. Mostre, analiticamente, que a imagem geométrica de, no plano complexo, pertence ao º quadrante. matemática A º ano, exame 65, ª fase, 0 8. Na figura, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de cinco números : w,,, e. Qual é o número complexo que pode ser igual a w i? (B) (C) (D) matemática A º ano, exame 65, ª fase, 0 /

12 mata 9. Na figura, estão representadas, a sombreado, no plano complexo, parte de uma coroa circular. Sabe-se que: O é a origem do referencial; o ponto Q é a imagem geométrica do complexo i ; a reta PQ é paralela ao eixo real; as circunferências têm centro na origem; os raios das circunferências são iguais a e a 6. Considere como arg a determinação que pertence ao intervalo,. Qual das condições seguintes pode definir, em a sombreado, incluindo a fronteira? 6 arg i (B) 9 6 arg i (C) 6 arg i (D) 9 6 arg i, conjunto dos números, a região matemática A º ano, exame 65, ª fase, 0 0. Seja o conjunto dos números, considere i 0.. Resolva a equação 8i e. i, sem recorrer à calculadora. Apresente as soluções da equação na forma trigonométrica. 0.. Seja w um número complexo não nulo. Mostre que, se w e w ou. são raíes de índice n de um mesmo número complexo, então matemática A º ano, exame 65, ª fase, 0 /

13 mata. Sejam k e p dois números reais e sejam k pi e números. p 5k i dois Quais são os valores de k e de p para os quais é igual ao conjugado de? k e p (B) k e p (C) k 0 e p (D) k e p matemática A º ano, exame 65, época especial, 0. Considere, em, um número complexo w. No plano complexo, a imagem geométrica de w é o vértice A do octógono [ABCDEFGH], representado na figura. Os vértices desse polígono são imagens geométricas das raíes de índice 8 de um certo número complexo. Qual dos números seguintes tem como imagem geométrica o vértice C do octógono [ABCDEFGH]? w (B) w (C) i w (D) i w matemática A º ano, exame 65, época especial, 0. Seja o conjunto dos números. Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora... Considere i i n. n0, Sabe-se que é uma das raíes cúbicas de um certo complexo. Determine. Apresente o resultado na forma algébrica... Considere cis. No plano complexo, a região definida pela condição arg está representada geometricamente numa das opções I, II, III e IV, apresentadas na página seguinte. (Considere como arg a determinação que pertence ao intervalo Sabe-se que em cada uma das opções: O é a origem do referencial; C é a imagem geométrica de ; 0, ) /

14 mata OC é o raio da circunferência. Apenas uma das opções está correta. I II III IV Elabore uma composição na qual: indique a opção correta; apresente as raões que lhe levam a rejeitar as restante opções. Apresente três raões, uma por cada opção rejeitada. matemática A º ano, exame 65, época especial, 0 /

15 mata. Na figura abaixo, está representado, no plano complexo, a sombreado, um setor circular. Sabe-se que: o ponto A é a imagem geométrica da número complexo i ; o ponto B tem abcissa negativa, ordenada nula, e pertence à circunferência de centro na origem do referencial e raio igual a OA Qual das condições seguintes define, em, a região sombreada, incluindo a fronteira? (Considere como (C) arg a determinação que pertence ao intervalo 0, ). 5 6 arg (B) arg 5 6 arg (D) arg matemática A º ano, exame 65, ª fase, 0 5. Na figura, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de seis números :,,,, 5 e 6. Qual é o número complexo que pode ser igual a i? (B) (C) 5 (D) 6 matemática A º ano, exame 65, ª fase, 0 5 /

16 mata 6. Seja o conjunto dos números. Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora. 6.. Considere i e n i b w 5 cis, com b e n. Determine o valor de b para o qual w é um número real. 6.. Seja um número complexo tal que Mostre que. matemática A º ano, exame 65, ª fase, 0 7. Na figura, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de quatro números :,, e. Qual é o número complexo que, com n, pode ser igual a n n i i i n? (B) (C) (D) matemática A º ano, exame 65, ª fase, 0 6 /

17 mata 8. Na figura seguinte, está representado, no plano complexo, a sombreado, um setor circular. Sabe-se que: o ponto A está situado no º quadrante; o ponto B está situado no º quadrante; [AB] é um dos lados de um polígono regular cujos vértices são as imagens geométricas das raíes de índice 5 do complexo cis ; o arco AB está contido na circunferência de centro na origem do referencial e raio igual a OA. Qual dos números seguintes é o valor da área do setor circular AOB? 5 (B) 5 (C) 5 (D) 8 5 matemática A º ano, exame 65, ª fase, 0 9. Seja, o conjunto dos números, considere: n, 5i e cis 0, n Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora. 9.. O complexo é rai do polinómio Determine, em 6 6., as restantes raíes do polinómio. Apresente as raíes na forma trigonométrica. 9.. Determine o menor valor de n natural para o qual a imagem geométrica de, no plano complexo, está no terceiro quadrante e pertence à bissetri dos quadrantes ímpares. matemática A º ano, exame 65, ª fase, 0 7 /

18 mata 0. A figura representa um pentágono [ABCDE] no plano complexo. Os vértices do pentágono são as imagens geométricas das raíes de índice n de um número complexo w. O vértice A tem coordenadas,0 Qual dos números seguintes tem por imagem geométrica o vértice D do pentágono? 6 5cis 5 (B) cis 6 5 (C) cis 5 (D) cis 5 matemática A º ano, exame 65, ª fase, 00. Seja w o número complexo cuja imagem geométrica está representada na figura abaixo. A qual das retas seguintes pertence a imagem geométrica de Eixo real (B) Eixo imaginário (C) Bissetri dos quadrantes ímpares (D) Bissetri dos quadrantes pares 6 w? matemática A º ano, exame 65, ª fase, 00. Seja, o conjunto dos números, considere cis e. Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos. i.. Determine o número complexo w. i Apresente o resultado na forma trigonométrica... Escreva uma condição, em, que defina, no plano complexo, a circunferência que tem centro na imagem geométrica de e que passa na imagem geométrica de. matemática A º ano, exame 65, ª fase, 00 8 /

19 mata. Em, conjunto dos números, considere cis 8, com. Para qual dos valores seguintes de podemos afirmar que é um número imaginário puro? (B) (C) 8 (D) 5 8 matemática A º ano, exame 65, ª fase, 00. Na figura abaixo, está representada, no plano complexo, a sombreado, parte do semiplano definido pela condição Re. Qual dos números seguintes tem a sua imagem geométrica na região representada a sombreado? cis 6 (B) cis 6 (C) cis (D) cis matemática A º ano, exame 65, ª fase, Em, conjunto dos números, considere cis 7 e i. Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos. 5.. Determine o número complexo w 7 i. (i designa a unidade imaginária, e designa o conjugado de ). Apresente o resultado na forma trigonométrica. 5.. Mostre que 6 cos sin 7 7 matemática A º ano, exame 65, ª fase, 00 9 /

20 mata 6. Seja k um número real, e k i i um número complexo. Qual é o valor de k, para que seja um número imaginário puro? (B) (C) (D) matemática A º ano, exame 65, ª fase, Na figura, está representada uma região do plano complexo. O ponto A tem coordenadas,. Qual das condições seguintes define em, conjunto dos números, a região sombreada, incluindo a fronteira? i Re Im (B) i Re Im (C) i Re Im (D) i Im Re matemática A º ano, exame 65, ª fase, 009 cis 7 i 8. No conjunto dos números, seja cis Determine na forma algébrica, sem recorrer à calculadora. 7. matemática A º ano, exame 65, ª fase, /

21 mata 9. Considere, em, um número complexo w, cuja imagem geométrica no plano complexo é um ponto A, situado no º quadrante. Sejam os pontos B e C, respetivamente, as imagens geométricas w (conjugado de w) e de ( w ). Sabe-se que BC 8 e que w 5. Determine a área do triângulo [ABC]. matemática A º ano, exame 65, ª fase, Seja um número complexo, em que um dos argumentos é. Qual dos valores seguintes é um argumento de i 6 (B), sendo o conjugado de? (C) 5 6 (D) 7 6 matemática A º ano, exame 65, ª fase, Seja b um número real positivo, e bi um número complexo. Em qual dos triângulos seguintes os vértices podem ser as imagens geométricas dos números complexo, e? (B) (C) (D) matemática A º ano, exame 65, ª fase, 009 /

22 mata 5. Em, conjunto dos números complexo, considere i i i 8 e 5.. Determine na forma trigonométrica, sem recorrer à calculadora. 5.. Determine o menor valor de n, tal que i n. 5 cis 6. matemática A º ano, exame 65, ª fase, Seja um número complexo de argumento 6. Qual dos seguintes valores é um argumento de? (B) (C) (D) 7 6 matemática A º ano, exame 65, ª fase, Considere a figura abaixo, representada no plano complexo. Qual é a condição, em, que define a região sombreada da figura, incluindo a fronteira? Re arg 0 (B) Re 0 arg Re arg 0 (C) Im arg 0 (D) matemática A º ano, exame 65, ª fase, 008 /

23 mata 55. Em, conjunto dos números, considere i (i designa a unidade imaginária) Sem recorrer à calculadora, determine o valor Apresente o resultado na forma algébrica. 8 i i 55.. Considere uma das raíes quartas de um certo número complexo. Determine uma outra rai quarta de, cuja imagem geométrica é um ponto pertence ao º quadrante. Apresente o resultado na forma trigonométrica.. matemática A º ano, exame 65, ª fase, Seja i um número complexo. Qual dos seguintes valores é um argumento de? 0 (B) (C) (D) matemática A º ano, exame 65, ª fase, Considere, em, a condição. Em qual das figuras seguintes pode estar representado, no plano complexo, o conjugado de pontos definidos por esta condição? (B) (C) (D) matemática A º ano, exame 65, ª fase, 008 /

24 mata 58. Em, conjunto dos números, considere i e 8cis0 (i designa a unidade imaginária) Mostre, sem recorrer à calculadora, que é uma rai cúbica de No plano complexo, sejam A e B as imagens geométricas de e de respetivamente. Determine o comprimento do segmento [AB].. i 6, matemática A º ano, exame 65, ª fase, Em, conjunto dos números, seja i a unidade imaginária. Seja n um número natural tal que i n i. n Indique qual dos seguintes é o valor de i. (B) i (C) (D) i matemática A º ano, exame 65, ª fase, Em, conjunto dos números, sejam: yi e i (i é a unidade imaginária e y designa um número real) Considere que, para qualquer número complexo não nulo, Arg designa o argumento de que pertence ao intervalo 0,. Admitindo que Arg de Sabendo que Im Im e que 0, determine o valor de Arg em função, determine. Apresente o resultado na forma algébrica. matemática A º ano, exame 65, ª fase, Qual das opções seguintes apresenta duas raíes quadradas de um mesmo número complexo? e i (B) e i (C) i e i (D) i e i matemática A º ano, exame 65, ª fase, 007 /

25 mata 6. Em, conjunto dos números, considere cis, 0,. 6.. Na figura está representado, no plano complexo, o paralelogramo [AOBC]. A e B são as imagens geométricas de e, respetivamente. C é a imagem geométrica de um número complexo w. Justifique que w cos. 6.. Determine o valor de 0, para o qual i é um número real. matemática A º ano, exame 65, ª fase, Na figura estão representadas, no plano complexo, duas circunferências, ambas com centro no eixo real, tendo uma delas raio e a outra raio. A origem do referencial é o único ponto comum às duas circunferências. Qual das condições seguintes define a região sombreada, incluindo a fronteira? (B) (C) (D) matemática A º ano, exame 65, ª fase, /

26 mata 6. Em o conjunto dos números ; i designa a unidade imaginária. 6.. Considere i cis e cis 5 7. Sem recorrer à calculadora, escreva o número complexo na forma trigonométrica. 6.. Seja um número complexo cuja imagem geométrica, no plano complexo, é um ponto A situado no primeiro quadrante. Seja B a imagem geométrica de, conjugado de. Seja O a origem do referencial. Sabe-se que o triângulo [AOB] é equilátero e tem perímetro 6. Represente o triângulo [AOB] e determine na forma algébrica. matemática A º ano, exame 65, ª fase, Os pontoa A e B, representados na figura, são as imagens geométricas, no plano complexo, das raíes quadradas de um certo número complexo. Qual dos números seguintes pode ser? (B) i (C) (D) i matemática A º ano, exame 65, ª fase, Em o conjunto dos números ; i designa a unidade imaginária Sem recorrer à calculadora, determine forma trigonométrica. i cis 6 i 6 apresentando o resultado final na 66.. Considere que, para qualquer número complexo não nulo, arg designa o argumento de que pertence ao intervalo 0,. Represente a região do plano complexo pela condição, em, e determine a sua área. arg 5 matemática A º ano, exame 65, ª fase, /

27 mata 67. Em qual das opções seguintes estão duas raíes de um mesmo números complexo? (C) cis e 6 cis e 5 cis 6 cis (B) (D) cis e cis e cis cis matemática A º ano, exame 5, ª fase, Em o conjunto dos números, considere w i, w cis e w cis 68.. Sem recorrer à calculadora, determine o valor de Apresente o resultado na forma algébrica. ww. w 68.. Represente, no plano complexo, a região definida pela condição Re Re w w matemática A º ano, exame 5, ª fase, Em o conjunto dos números, considere cis e i. Sejam P e P as imagens geométricas, no plano complexo, de e de, respetivamente. Sabe-se que o segmento de reta PP é um dos lados do polígono cujos vértices são as imagens geométricas das raíes de índice n de um certo número complexo w. Qual é o valor de n? (B) 6 (C) 8 (D) 0 matemática A º ano, exame 5, ª fase, Em o conjunto dos números ; i designa a unidade imaginária. i 70.. Considere w i. i Sem recorrer à calculadora, escreva w na forma trigonométrica. e cis. Mostre que a imagem geométrica, no plano complexo, de pertence à bissetri dos quadrantes ímpares Considere cis matemática A º ano, exame 5, ª fase, /

28 mata 7. Os quatro vértices de um dos quadriláteros seguintes são as imagens geométricas, no plano complexo, das raíes quartas de um certo número complexo w. Qual poderá ser esse quadrilátero? (B) (C) (D) matemática A º ano, exame 5, ª fase, Em o conjunto dos números, considere w i (i designa a unidade imaginária) w 7.. Sem recorrer à calculadora, calcule, na forma algébrica, i. i 7.. Seja um argumento do número complexo w. Exprima, na forma trigonométrica, em função de, o produto de i pelo conjugado de w. matemática A º ano, exame 5, ª fase, 00 8 /

29 mata 7. Na figura abaixo está representado, no plano complexo, um triângulo retângulo isósceles. Os catetos têm comprimento, estando um deles contido no eixo dos números reais. Um dos vértices do triângulo coincide com a origem do referencial. Qual das condições seguintes define a região sombreada, incluindo a fronteira? Re 0 Im 0 (B) Re 0 Im 0 (C) Re Im 0 i (D) Re Im 0 i matemática A º ano, exame 5, ª fase, Em, considere os números : 6 i e i. Sem recorrer à calculadora, determine trigonométrica. i, apresentando o resultado final na forma matemática A º ano, exame 5, ª fase, Seja um número complexo, cuja imagem geométrica pertence ao primeiro quadrante (eixos não incluídos). Justifique que a imagem geométrica de, não pode pertencer ao quarto quadrante. matemática A º ano, exame 5, ª fase, 00 9 /

30 mata 76. Na figura abaixo, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de cinco números : w,,, e. Qual é o número complexo que pode ser igual a w? (B) (C) (D) matemática A º ano, exame 5, ª fase, é o conjunto dos números ; i designa a unidade imaginária Sem recorrer à calculadora, calcule, na forma trigonométrica, as raíes quartas do número complexo i, simplificando o mais possível as expressões obtidas Seja um número complexo cuja imagem geométrica, no plano complexo, é um ponto A situado no segundo quadrante e pertencente à reta definida pela condição Re. Seja B a imagem geométrica de, conjugado de. Seja O a origem do referencial. Represente, no plano complexo, um triângulo [AOB], de acordo com as condições enunciadas. Sabendo que área do triângulo [AOB] é 8, determine,, na forma algébrica. matemática A º ano, exame 5, ª fase, 00 0 /

31 mata 78. Considere, em, a condição: 0 arg Re Em qual das figuras seguintes pode estar representado, no plano complexo, o conjunto de pontos definidos por esta condição? (B) (C) (D) matemática A º ano, exame 5, ª fase, ª chamada, é o conjunto dos números ; i designa a unidade imaginária Sem recorrer à calculadora, determine na forma algébrica Seja um número real. Sejam e dois números tais que: cis ; cis. i cis 9 cis apresentando o resultado Mostre que e não podem ser ambos raíes cúbicas de um mesmo número complexo. matemática A º ano, exame 5, ª fase, ª chamada, 00 /

32 mata 80. Seja w um número complexo diferente de ero, cuja imagem geométrica pertence à bissetri dos quadrantes ímpares. A imagem geométrica de A qual delas? Eixo real. (C) Bissetri dos quadrantes pares. w pertence a uma das retas a seguir indicadas. (B) Eixo imaginário. (D) Bissetri dos quadrantes ímpares. matemática A º ano, exame 5, ª fase, ª chamada, Em, conjunto dos números, considere 5 i, cis e i 8.. Sem recorrer à calculadora, determine apresentando o resultado na forma algébrica. 8.. Escreva uma condição em que defina, no plano complexo, a circunferência que tem centro na imagem geométrica de e que passa na imagem geométrica de. matemática A º ano, exame 5, ª fase, ª chamada, Na figura está representado um retângulo, de comprimentos e largura, centrado na origem do plano complexo. Seja um número complexo qualquer, cuja imagem geométrica está situada no interior do retângulo. Qual dos seguintes números tem também, necessariamente, a sua imagem geométrica no interior do retângulo? (B) (C) (D) matemática A º ano, exame 5, ª fase, Em, conjunto dos números, considere i (i designa a unidade imaginária). 8.. Determine os números reais b e c para os quais é rai do polinómio 8.. Seja cis. x bx c. Calcule o valor de, pertencente ao intervalo 0,, para o qual é um número real negativo ( designa o conjugado de ). matemática A º ano, exame 5, ª fase, 00 /

33 mata 8. Qual das figuras seguintes pode ser a representação geométrica, no plano complexo, do conjunto : i Im? (B) (C) (D) matemática A º ano, exame 5, ª fase, ª chamada, De dois números e sabe-se que: 85.. Seja um argumento de é ; o módulo de é. i w. i Justifique que w diferente de e de e são duas das raíes quartas de um certo número complexo. Sabendo que, no plano complexo, a imagem geométrica de pertence ao segundo quadrante, determine na forma algébrica. matemática A º ano, exame 5, ª fase, ª chamada, 00 /

34 mata 86. Qual das seguintes condições define, no plano complexo, o eixo imaginário? 0 (B) Im (C) 0 (D) 0 matemática A º ano, exame 5, ª fase, ª chamada, Em, conjunto dos números : i e cis 87.. Verifique que e são raíes quartas de um mesmo número complexo. Determine esse número, apresentando-o na forma algébrica Considere, no plano complexo, os pontos A, B e O em que: A é a imagem geométrica de ; B é a imagem geométrica de ; O é a origem do referencial. Determine o perímetro do triângulo [AOB]. matemática A º ano, exame 5, ª fase, ª chamada, Qual das seguintes regiões do plano complexo (indicadas a sombreado) contém as imagens geométricas das raíes quadradas de i? (B) (C) (D) matemática A º ano, exame 5, ª fase, 00 /

35 mata 89. Em, conjunto dos números, considere w i (i designa a unidade imaginária) Determine w i na forma algébrica Averigue se o inverso de w é, ou não, cis. matemática A º ano, exame 5, ª fase, Na figura está representado, no plano complexo, um heptágono regulas inscrito numa circunferência de centro na origem e raio. Um dos vértices do heptágono pertence ao eixo imaginário. Os vértices do heptágono são, para um certo número natural n, as imagens geométricas das raíes de índice n de um número complexo. Qual é o valor de? i (B) i (C) i (D) i matemática A º ano, exame 5, ª fase, ª chamada, Em, conjunto dos números, seja i (i designa a unidade imaginária). 9.. No plano complexo, a imagem geométrica de é um dos quatro vértices de um losango de perímetro 0, centrado na origem do referencial. Determine os números cujas imagens geométricas são os restantes vértices do losango. 9.. Sem recorrer à calculadora, resolva a equação cis. Apresente o resultado na forma algébrica. matemática A º ano, exame 5, ª fase, ª chamada, 00 5 /

36 mata 9. Seja w um número complexo diferente de 0, cuja imagem geométrica, no plano complexo, está no primeiro quadrante e pertence à bissetri dos quadrantes +impares. Seja w o conjugado de w. Na figura estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de quatro números :,, e. Qual deles pode ser igual a w w? (B) (C) (D) matemática A º ano, exame 5, ª fase, ª chamada, Em, conjunto dos números, seja cis. 9.. Sem recorrer à calculadora, verifique que i é um imaginário puro. 9.. No plano complexo, a imagem geométrica de é um dos cinco vértices do pentágono regular representado na figura. Este pentágono está inscrito numa circunferência centrada na origem do referencial. Defina, por meio de uma condição em, a região sombreada, excluindo a fronteira. matemática A º ano, exame 5, ª fase, ª chamada, 00 6 /

37 mata 9. Seja yi, com y \ 0, um número complexo (i designa a unidade imaginária). Qual dos quatro pontos representados na figura junta (A, B, C ou D) pode ser a imagem geométrica de? O ponto A (B) O ponto B (C) O ponto C (D) O ponto D matemática A º ano, exame 5, prova modelo, Em, conjunto dos números, considere 7 i (i designa a unidade imaginária) Um certo ponto P é a imagem geométrica, no plano complexo, de uma das raíes quadradas de. Sabendo que o ponto P tem abcissa, determine a sua ordenada Seja cis com,. Indique, justificando, em que quadrante se situa a imagem geométrica de. matemática A º ano, exame 5, prova modelo, Qual das seguintes condições define uma reta no plano complexo? (B) arg (C) i 0 (D) i matemática A º ano, exame 5, ª fase, /

38 mata 97. Seja o conjunto dos números, e sejam e dois elementos de. Sabe-se que: tem argumento ; 6 ; A e A são as imagens geométricas de e, respetivamente Justifique que o ângulo AOA é reto (O designa a origem do referencial) Considere, no plano complexo, a circunferência C definida pela condição. Sabendo que o perímetro de C é, represente, na forma algébrica, o número complexo. matemática A º ano, exame 5, ª fase, Seja um número complexo de argumento 5. Qual poderá ser um argumento do simétrico de? (B) 5 (C) 5 (D) 5 5 matemática A º ano, exame 5, ª fase, ª chamada, Considere, no plano complexo, o quadrado [ABCD]. Os pontos A e C pertencem ao eixo imaginário, e os pontos B e D pertencem ao eixo real. Estes quatro pontos encontram-se à distância de uma unidade da origem do referencial Seja w i e cis. Sem recorrer à calculadora, mostre que as raíes quartas do w complexo têm por imagens geométricas os pontos A, B, C e D Defina, por meio de uma condição em, a circunferência inscrita no quadrado [ABCD]. matemática A º ano, exame 5, ª fase, ª chamada, /

39 mata 00. Na figura está representado um hexágono cujos vértices são as imagens geométricas, no plano complexo, das raíes de índice 6 de um certo número complexo. O vértice C é a imagem geométrica do número complexo cis. Qual dos seguintes números tem por imagem geométrica o vértice D? 7 cis 6 (B) cis (C) cis (D) 6 cis matemática A º ano, exame 5, ª fase, ª chamada, Seja A o conjunto dos números cuja imagem, no plano complexo, é o interior do círculo de centro na origem do referencial e raio. 0.. Define, por meio de uma condição em, a parte de A contida no segundo quadrante (excluindo os eixos do referencial). 0.. Sem recorrer à calculadora, mostre que o número complexo i cis pertence ao conjunto 6 A. matemática A º ano, exame 5, ª fase, ª chamada, 000 Bom trabalho!! 9 /

40 mata Principais soluções. (C). 0. (D). cis 6, cis, cis 56, cis 5. (C) 6. 7 e 7. (D) Pertence à bissetri dos quadrantes ímpares. 8.. w cos. cis 9. (C) A AOB cis cis 0... (D). 5.. e (D). (C) (C) n (C) w... (D). (B)... cis ; cis 5 7 cis ; cis.. 5. (D) 6. (B) cis (C) cis0, cis cis 0... (B). (C) IV. (B) 5. (C) b (B) 8. (B) cis0 ; i cis ; i cis 9.. n 0 0. (B).... w cis.. 5. (D). (B) w cis (C) i 0 /

41 mata 9. A u. a. 50. (C) 5. (C) 5. ABC 5.. cis 5.. n 5. (D) i cis 56. (B) 57. (B) AB Arg i 6. (D) cis i 65. (D) cis 66.. A u. a (C) 70. i (B) cis i 7.. 5cis 7. (C) 5 7. cis (C) cis ; cis ; 9 cis ; cis 77.. i 78. (B) i i (B) b c (B) i P i 89.. Não. 90. (D) i ; ; 9.. i 9. (B) /

42 mata arg Ordenada é Terceiro quadrante. 96. (D) (B) (B) i Re 0 Im /