DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Matemática 7 MA07A TURMA T51 Prof. Luiz Antonio Kretzschmar

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Giuliana Marroquim Furtado
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1 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Matemática 7 MA07A TURMA T51 Prof. Luiz Antonio Kretzschmar PARTE 2 PONTO, RETA, PLANO Def. : Uma reta é paralela a um plano se, e somente se, eles não têm ponto comum Uma reta e um plano podem apresentar em comum: 1 ) dois pontos distintos : a reta está contida no plano r, r = r 2 ) um único ponto : reta e plano são concorrentes r = { P } 3 ) nenhum ponto em comum : reta e plano são paralelos r = Ângulo entre retas Um ângulo é chamado ângulo de duas retas orientadas quaisquer se, e somente se, ele tem vértice arbitrário e seus lados têm sentidos respectivamente concordantes com os sentidos das retas. Ângulo rôs : Retas paralelas r e s cortadas por uma transversal t - ângulos opostos pelos vértices : a = g ; f = h ; c = e ; b = d - ângulos alternos internos : a = e ; f = b - ângulos alternos externos : d = h ; c = g - ângulos correspondentes : a = c ; b = h ; d = f ; e = g - ângulos colaterais internos : a + b = e + f = 180 (suplementares) - ângulos colaterais externos : d + g = c + h = 180 (suplementares) RETAS ORTOGONAIS : retas quaisquer que formam entre si um ângulo reto (90 ) RETAS PERPENDICULARES : retas concorrentes que formam um ângulo reto (90 ) r s Se uma reta é perpendicular a um plano, então ela forma ângulo reto com qq reta do plano TEOREMA: Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular ao plano Por um ponto P pode-se conduzir um único plano perpendicular a uma reta r. Por um ponto P pode-se conduzir uma única reta perpendicular a um plano.

2 PLANOS PERPENDICULARES : quando contém uma reta perpendicular a TEOREMA: Se dois planos (,) são perpendiculares entre si e uma reta de é perpendicular à interseção dos planos, então essa reta é perpendicular à Por uma reta r não perpendicular a um plano, existe um único plano perpendicular a. PROJEÇÕES ORTOGONAIS : 1 ) De ponto sobre reta 2 ) De reta sobre plano Ângulo entre reta e plano : Se uma reta r é oblíqua a um plano e o ponto de interseção é A, então o ângulo agudo de r com sua projeção ortogonal r sobre é o ângulo entre r e de vértice A EXERCÍCIO Considere o cubo ABCDEFGH ( ) As retas AB e CG são perpendiculares ( ) As retas AB e CG formam 90 ( ) As retas AB e CH formam 90 ( ) As retas AC e FH são ortogonais ( ) As retas HB e DF são perpendiculares ( ) A reta HF é paralela ao plano ABCD ( ) O triângulo CFH é equilátero ( ) Os planos ACGE e ABFE formam 45 ( ) O triângulo ACG é isósceles ( ) O triângulo BDH é do tipo retângulo ( ) O ângulo entre as retas AB e AH é 45 ( ) A projeção ortogonal da reta AB sobre o plano BCGF é a reta BC ( ) A projeção ortogonal da reta AF sobre o plano BCGF é a reta BF ( ) A projeção ortogonal da reta AG sobre o plano BCGF é a reta CG ( ) A projeção ortogonal da reta BH sobre o plano BCGF é a reta BG ( ) Os planos ABCD e BFHD são perpendiculares DIEDRO Ângulo diedro (diédrico) é a reunião de dois semiplanos de mesma origem (reta interseção) A origem comum dos semiplanos é a aresta do diedro e os dois semiplanos são suas faces No diedro nulo as faces são coincidentes

No diedro raso as faces são semiplanos opostos Secção

secante à aresta Secção reta ou secção normal de um

aresta do diedro Diedro reto : sua secção normal é um

ângulo agudo Diedro obtuso : sua secção normal é um

3 No diedro raso as faces são semiplanos opostos Secção de um diedro é a interseção do diedro com um plano secante à aresta Secção reta ou secção normal de um diedro é uma secção cujo plano é perpendicular à aresta do diedro Diedro reto : sua secção normal é um ângulo reto Diedro agudo : sua secção normal é um ângulo agudo Diedro obtuso : sua secção normal é um ângulo obtuso Diedros adjacentes : as secções normais são ângulos adjacentes

4 Bissetor de Diedro : é o semiplano que possui origem na aresta do diedro e o divide em dois diedros adjacentes e congruentes Medida de Diedro : é a medida de sua secção reta Diedros complementares : a soma de suas secções retas é 90º Diedros suplementares : a soma de suas secções retas é 180º EXERCÍCIOS 1) Dois semiplanos são bissetores de dois diedros adjacentes e complementares. Quanto mede o diedro por eles formado? 2) Prove que dois diedros opostos pela aresta são congruentes 3) Um ponto P dista 12 cm de uma face de um diedro reto, e 16 cm de outra face. Calcule a distância desse ponto à aresta do diedro. 4) Um diedro mede 120 e a distância de um ponto P às suas faces é 10 cm. Calcule a distância entre os pés das perpendiculares às faces conduzidas por P. 5) Verdadeiro ou falso? ( ) Dois planos perpendiculares determinam quatro diedros retos ( ) Duas seccções paralelas de um mesmo diedro são congruentes ( ) Duas seccções congruentes de um mesmo diedro são paralelas ( ) Toda seccção de um diedro reto é um ângulo reto ( ) Seja um tetraedro regular. Na região interna são formados 6 diedros ( ) Seja um tetraedro regular. Na região interna duas faces formam um diedro de 60 TRIEDRO Considere um tetraedro ABCD As semiretas Ab, Ac, Ad de mesma origem A ( vértice ) formam um triedro ou ângulo sólido de 3 arestas O triedro A(b,c,d) é o semiespaço formado por três diedros de arestas b,c,d O triângulo BCD com um único vértice em cada aresta é uma secção do triedro.

5 O triedro notável é aquele cujas faces são perpendiculares e cujos diedros são retos Em todo triedro, qualquer face (ângulo de face) é menor que a soma das outras faces b ^d c ^d b ^c A soma das medidas em graus das faces de um triedro qualquer é menor que 360 f 1 + f 2 + f 3 < 360 Se f 1 ; f 2 ; f 3 são as medidas das faces de um triedro : f 1 < f 2 + f 3 f 2 < f 1 + f 3 f 2 f 3 < f 1 f 3 < f 1 + f 2 f 3 f 2 < f 1 Então f 2 f 3 < f 1 < f 2 + f 3 EXERCÍCIOS 1) Verdadeiro ou falso? Existem triedros cujas faces medem respectivamente : ( ) 40 ; 50 ; 90 ( ) 90º ; 90º ; 90º ( ) 1 ; 1 ; 1 ( ) 185 ; 115 ; 60 ( ) 150 ; 140 ; 130 2) Num triedro, duas faces medem 110 e 140. Determine o intervalo de variação da medida da terceira face. 3) No tetraedro ABCD de vértive A o triedro A(b,c,d) possui faces b ^d 35 ; c ^d 42 a) as possíveis medidas de b ^c b) a medida do ângulo entre AM e AN sendo M o ponto médio de BD e N o ponto médio de CD, supondo que BÂC = 25

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