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1 Escola E.B. 2,3 Eng. Nuno Mergulhão Portimão Ano Letivo 2012/2013 Teste de Avaliação Escrita de Matemática 9.º ano de escolaridade Duração do Teste: 90 minutos 19 de fevereiro de 2013 Nome: N.º Turma: C Classificação: Fraco (0% 19%) Insuficiente (20% 49%) Suficiente (50% 69%) Bom (70% 89%) Muito Bom (90% 100%) O Professor (Nuno Marreiros): O Encarregado de Educação: Atenção: Lê atentamente o enunciado e responde apenas ao que te é pedido; Apresenta todos os cálculos que efetuares e mostra como chegaste à tua resposta; Utiliza apenas caneta ou esferográfica de tinta indelével, azul ou preta. Não é permitido o uso de corretor, não sendo corrigido nenhum item onde este tenha sido usado. 1. No ponto D existe um radar que deteta qualquer barco num raio de 20 Km e no ponto C existe outro radar que deteta barcos num raio de 25 Km. Indica qual a afirmação verdadeira: O barco 1 não é detetado por nenhum dos radares. O barco 2 é detetado pelos dois radares. O barco 3 não é detetado por nenhum dos radares. O barco 4 é detetado pelos dois radares. 2. Na figura está representado um decágono regular ABCDEFGHIJ, inscrito numa circunferência de centro O. Os segmentos de reta ID e HC são diâmetros desta circunferência. a) Após uma rotação de centro em O e de amplitude 144º (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio), o ponto A desloca-se para uma posição que antes da rotação, era ocupada por outro ponto. De que ponto se trata? b) Ao observar a figura, o Alfredo afirmou: A amplitude do ângulo CDI é igual à amplitude do ângulo CHI. Uma vez que o Alfredo não tinha transferidor, como é que ele poderá ter chegado a esta conclusão? Justifica a tua resposta. 3. Na figura está representada uma circunferência de centro O em que: A, B, C e D são pontos da circunferência; Qual é, em graus, a amplitude do arco CB? Mostra como chegaste à tua resposta. 1

2 4. Na figura estão representados um retângulo e uma circunferência de centro no ponto O e raio r. Sabe-se que: o ponto E pertence à circunferência e é exterior ao retângulo e são diâmetros da circunferência o lado do retângulo é tangente à circunferência 20 a) Admite que o perímetro do retângulo é igual a 24 cm. Determina o comprimento da circunferência. Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas. Mostra como chegaste à tua resposta. Nota: Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. b) Determina a amplitude de uma rotação de centro em O que transforme o ponto F no ponto A. Mostra como chegaste à tua resposta. c) Qual das afirmações seguintes é verdadeira? O ponto B pertence à mediatriz do segmento de reta O ponto B pertence à mediatriz do segmento de reta O ponto O pertence à mediatriz do segmento de reta O ponto O pertence à mediatriz do segmento de reta 5. Na figura apresenta-se parte de um polígono regular com n lados, podendo verificar-se que a amplitude do seu ângulo interno é 2380 e a amplitude do seu ângulo externo é +10. Determina n. Mostra como chegaste à tua resposta. 2

3 6. Na figura podes observar uma parte de um cilindro com 8 cm de altura. O ponto C é o centro de uma das bases desse cilindro. Determina o volume do sólido. 7. Na figura ao lado, está representada uma circunferência de centro no ponto O e diâmetro AB. O ponto C pertence à circunferência. Determina, em graus, a amplitude do ângulo α. Apresenta os cálculos que efetuares. 8. Na figura, sabe-se que: O é o centro da circunferência; AB e BC são cordas congruentes; D é o ponto de interseção do diâmetro EB com a corda AC. Nota: A figura não está construída à escala. a) Qual é, em graus, a amplitude do arco AC, supondo que =28? b) Qual é, em centímetros, a medida do comprimento de DE, supondo que =6,8 e =6,4? Apresenta os cálculos que efetuares. 3

4 9. Na figura está representada uma circunferência. A figura não está desenhada à escala. Sabe-se que: os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência o ponto P é o ponto de interseção das cordas AC e BD a amplitude do arco BC é 80º a amplitude do ângulo DPC é 85º a) Determina a amplitude, em graus, do ângulo DBA. Apresenta os cálculos que efetuares. b) Os triângulos ABP e DCP são semelhantes. Admite que: =2 a área do triângulo ABP é 5 cm 2 Qual é a área, em cm 2, do triângulo DCP? Considera um hexágono regular ABCDEF cujo perímetro é igual a 30 cm e OA = 5 cm. a) Calcula a área do polígono. b) O triângulo AOB é: isósceles equilátero retângulo escaleno Agora que terminaste o teste, faz a tua avaliação sobre como te correu, assinalando as opções que melhor se identificam contigo: Nível esperado O teste correu-me Para o teste estudei Mal Razoável Bem Nada Pouco O suficiente Muito 4

5 Escola E.B. 2,3 Eng. Nuno Mergulhão Portimão Ano Letivo 2012/2013 Teste de Avaliação Escrita de Matemática 9.º ano de escolaridade Duração do Teste: 90 minutos 19 de fevereiro de 2013 PROPOSTA DE RESOLUÇÃO 1. Afirmação verdadeira O barco 2 é detetado pelos dois radares. 2. a) Trata-se do ponto G uma vez que: Um polígono regular inscrito numa circunferência divide o seu arco em arcos de igual amplitude. Neste caso, como se trata de um decágono (10 vértices), cada arco da circunferência entre dois pontos consecutivos, tem 36º de amplitude (!"# $# =36 ). Agora como $%%!" =4, o ponto que ocupava previamente essa posição, ponto G. b) Os ângulos CDI e CHI estão inscritos no mesmo arco de circunferência (arco CBI), logo têm a mesma amplitude. ou equivalentemente Os ângulos são ângulos inscritos numa circunferência. A amplitude de um ângulo inscrito é igual a metade da amplitude do arco que ele contém, logo: &'= %!" =72 e )&'= %!" =72 3. A amplitude de um ângulo inscrito é metade da amplitude do arco compreendido entre os seus lados, logo DB = 2 BAD = 100º. A amplitude de um ângulo ao centro é igual à amplitude do arco compreendido entre os seus lados, logo DC = COD = 60º. Assim, CB = DB DC = 100º 60º = 40º. 4. a) Seja r, em centímetros, o comprimento do raio da circunferência. De acordo com os dados, = =2* e = =*. Logo, +,-./0 =2*+2*+*+*=6*. Como o perímetro do retângulo é 24 cm, temos: +,-./0 =6* 24=6* *= % *=4 cm. " Logo, o comprimento da circunferência é =23 4=83 25,1 centímetros. b) Como a amplitude de um ângulo inscrito numa circunferência é metade da amplitude do arco compreendido entre os seus lados, temos FD = 2 DEF = 2 20º = 40º. Assim, FA = DA FD = 180º 40º = 140º. Logo a rotação de centro em O que transforma o ponto F no ponto A tem 140º (ou 220 ) de amplitude. c) A alternativa correta é: O ponto O pertence à mediatriz do segmento de reta, pois o ponto O é equidistante dos extremos do segmento, visto que =, já que são raios da mesma circunferência. 5. Vamos começar por determinar para sabermos a amplitude do ângulo interno e do ângulo externo deste polígono. Sabendo que em qualquer polígono convexo a soma da amplitude de um ângulo interno com o seu ângulo externo adjacente é 180º tem-se: 1± = =0 = 2 1 = 1± = = =50 = O ângulo interno deste polígono regular tem , ou seja, 120º e o ângulo externo deste polígono regular tem 50º + 10º, ou seja, 60º. 5

6 Usando a relação existente entre a amplitude de um ângulo externo de um polígono regular com os seus : lados tem-se:!"# =60, ou seja, :=!"# :=6. ; "# Conclui-se assim que este polígono regular tem 6 lados. 6. Vamos começar por calcular a área do setor circular da base da parte do cilindro representada: Área do setor circular = < = >?!"# Área do setor circular = % = "?!"# onde *=26 e =24. = $"%=!"# = $A 3 141,58 Calculando o volume do sólido representado: B= O sólido tem 1132,6 cm 3 de volume. $A 3 8=A%#C $A ,6 7. Os ângulos e D são suplementares, logo: = =120. O triângulo é isósceles pois os lados e correspondem a raios da circunferência. Como a lados de igual comprimento se opõem ângulos de igual amplitude e como a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º, então: EF= $C# G$# EF= a) Como o arco AC é o correspondente ao ângulo inscrito ABC, a sua amplitude é o dobro da amplitude do ângulo dado, ou seja, AC = 2 28º = 56º. b) Os segmentos de reta AO e OE são ambos raios da mesma circunferência, pelo que têm igual comprimento, isto é, 6,8 cm. Para determinar o comprimento do segmento de reta DE, é preciso calcular o comprimento do segmento de reta DO. Ora DO é um dos catetos de um triângulo retângulo de que se sabe a medida da hipotenusa e em que o comprimento do outro cateto é metade do da corda AC, ou seja, 3,2 cm. Assim, pode aplicar-se o teorema de Pitágoras: = + 6,8 = +3,2 =6,8 3,2 =36 = 36 =6. O comprimento do segmento de reta DE é 0,8 cm, dado que 6,8 6 = 0,8. 9. a) O ângulo BDC tem de amplitude 40º, visto que é um ângulo inscrito no arco BC. O ângulo DCA tem de amplitude 55º (considerando o triângulo DCP, =55). Os ângulos DCA e DBA são ambos ângulos inscritos no arco DA, pelo que têm a mesma amplitude. O ângulo DBA tem 55º de amplitude. b) Pelo enunciado, sabemos que o triângulo DCP é uma ampliação do triângulo ABP (cuja área é 5) de razão de semelhança 2, portanto a razão entre as áreas será 2, ou seja, 4. Então a sua área é 20 (5 4). 10. a) O hexágono regular representado pode ser decomposto em 6 triângulos congruentes. O comprimento de uma aresta do hexágono é 5 cm pois!# =5. " Aplicando o teorema de Pitágoras com o objetivo de determinar OM tem-se: =J + J 5 =2,5 + J J =5 2,5 J =18,75 =K18,75 J. LM<áOP;P =6 Q>Râ;OTUP Vamos calcular a área de um desses triângulos, sabendo que tem 5 cm de base e K18,75 cm de altura: Q>Râ;OTUP = 5 K18,75 2 Como LM<áOP;P =6 Q>Râ;OTUP tem-se LM<áOP;P =6 A =15 K18,75 64,95 cm 2. b) O triângulo AOB é equilátero pois a base (um dos lados do hexágono) tem 5 cm e os outros dois lados são raios da circunferência, também com 5 cm. 6

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