FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano de escolaridade Versão 2

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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A º Teste º Ano de escolaridade Versão Nome: Nº Turma: Professor: José Tinoco 08//07 Apresente o seu raciocínio de forma clara indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias Quando para um resultado não é pedida uma aproximação pretende-se sempre o valor exato na sua forma mais simples Nota: Evite alterar a ordem das questões Nota: O teste é constituído por duas partes Caderno : 50 minutos (é permitido o uso de calculadora) Caderno : 0 minutos (não é permitido o uso de calculadora) Ficha de avaliação da Matemática A º Ano Página /7 Versão

2 Caderno : 50 minutos (é permitido o uso de calculadora) O relógio da figura do lado marca 0:0 (0 horas e 0 minutos) (0) Determine em graus e em radianos a amplitude do ângulo convexo (menor ângulo) formado pelos ponteiros do relógio A amplitude do ângulo entre dois números (horas) consecutivos é 0 0º º entre o 0 e o temos um ângulo de 0º 0º ou de Contudo das 0:00 até às 0:0 o ponteiro da horas avançou um ângulo que correspontende aos 0 minutos isso é 0 0 0º 5º ou 0 0 Portanto o ângulo dos dois ponteiros é 0º 5º 5º ou radianos (5) Após as 0:0 o ponteiro dos minutos descreveu um ângulo de amplitude 70º e parou (o relógio avariou) Que horas marca o relógio quando avariou? (A) :5 (B) :0 (C) :0 (D) 0:5 Do algoritmo da divisão inteira sabemos que 70º 0º 0º o ângulo generalizado 70º 0º tem os mesmos lados do ângulo de 0º Portanto o ponteiro dos minutos deu três voltas completas mais 0º ou um quarto de hora isto é o relógio avançou horas e 5 minutos Logo avariou nas :5 Na figura seguinte estão representados os triângulos [ABC] e [ADE] Os segmentos BD e CE intersetam-se no ponto A (5) Traçando uma altura adequada do triângulo Seja h [ADE] mostre que a d e decos A EF a altura do triângulo [ADE] em relação ao vértice E FA cos A d pelo que FA d cos A e DF e FA e d cos A Aplicando o Terorema de Pitágoras a cada um dos triângulos retângulos obtemos: a h DF d h FA h a e d cos A h a DF h d d cos A h d FA Destas duas igualdades resulta a e d cos A d d cos A Simplificando vem a e decos A d cos A d d cos A a e decos A d cos A d d cos A a e decos A d a d e decos A cqm OPÇÃO A Ficha de avaliação da Matemática A º Ano Página /7 Versão

3 (0) Sabendo que a d 5 e e determine a amplitude do ângulo EAD com aproximação à décima do grau Da questão anterior sabemos que a d e decos A (lei dos cossenos) Portanto 5 5 cos A 5 0cos A A cos º º ( cd) 5 cos A 0 cos A 5 (5) De acordo com os dados anteriores qual das opções seguintes representa o valor exato da medida do lado [BC]? (A) Da lei dos cossenos sabemos que (B) (C) (D) BC 5 5 cos A Como os ângulos BAC e EAD são verticalmente opostos têm a mesma amplitude pelo que cos A Portanto 5 BC BC BC 8 BC 8 OPÇÃO C (5) Determine Sendo De senarc tan apresentando todos os cálculos ou raciocínios efetuados senarc tan sen x com arc tan x tan x resulta: arc tan x temos de calcular sen x tan x x logo x º Quadrante (tangente positiva) sen x cos x cos x sen x Outro processo: Usar a fórmula secundária tan x cos x Portanto sen x cos x sen x 5 sen x 5 Como x º Quadrante temos sen x sen x sen x logo 5 senarc tan 5 sen x sen x 5 sen x Ficha de avaliação da Matemática A º Ano Página /7 Versão

4 No referencial ortonormado Oxy da figura do lado estão representados: a circunferência trigonométrica; o triângulo [ABC] inscrito na circunferência; o ângulo orientado DOA Sabe-se ainda que: o ponto A desloca-se sobre a circunferência no primeiro quadrante; o ponto B é simétrico do ponto A relativamente ao eixo Oy (0) Indique as coordenadas dos pontos A e B quando Como estamos no círculo trigonométrico quando cos sen as coordenadas do ponto A são Como o ponto B é simétrico do ponto A relativamente ao eixo Oy as suas coordenadas são cos sen (5) Qual é o valor do perímetro do triângulo [ABC] para (A) (B) (C)? Quando 0º temos C O A 0º 0º 0º pelo que o triângulo [ABC] é equilátero Perímetro ABC AB cos OPÇÃO B (D) (5) Mostre que a área do triângulo [ABC] em função de é dada por: cos cos sen Temos Área ABC AB h em que AB cos e h OC sen sen cossen Área ABC cos sen cos cos sen cqm Ficha de avaliação da Matemática A º Ano Página /7 Versão

5 5 No triângulo [ABC] da figura seguinte os ângulos internos têm amplitudes e Conhecem-se também as medidas de dois lados: AB 7 e BC 5 (5) 5 Qual das igualdades seguintes é verdadeira? (A) cos cos (B) sen sen (C) sen sen (D) cos sen Sabemos que portanto sen sen sen e cos cos cos (0) 5 Determine a amplitude de com duas casas decimais para 0º Pela lei dos seno temos: Pelo que sen sen 7 sen sen 0º sen º (cd) OPÇÃO C Caderno : 0 minutos (não é permitido o uso de calculadora) Considere a expressão A (5) Calcule cos sen para k k sen cos A apresentando o resultado com denominador racional Precisamos de calcular cos e sen 5 Temos: cos cos cos cos Portanto sen sen cos sen A sen cos Ficha de avaliação da Matemática A º Ano Página 5/7 Versão

6 (5) Mostre que A Temos A cos cos sen cos sen sen cos sen cos cos sen sen sen sen cos sen cos sen cos sen cos sen sen cos sen c q m sen cos cos cos sen sen cos sen sen cos (5) Determine A sabendo que cos Para calcular A temos de conhecer cos e Sabemos que cos s en s en pelo que º Q cos cos 8 cos cos 8 Como º Q temos Portanto 8 cos A cos 7 Considere a função f real de variável real definida por: f x tan cos x sen x (5) 7 Mostre que f x cos x f x tan cos x sen x Simplifiquemos a expressão dada: tan cos x cos x tan cos x cos x tan cos x cos x cqm Ficha de avaliação da Matemática A º Ano Página /7 Versão

7 (5) 7 Determine o contradomínio de f e escreva uma expressão geral dos maximizantes de f Usemos a expressão simplificada: f x cos x Sabemos que x cos x tal como cos x Portanto cos x e cos x Ou seja f x logo D' f Máximo assim f x cos x cos x cos x k k (5) 7 Qual das afirmações seguintes é falsa? x x k k expressão geral dos maximizantes de f (A) x x f x f x (B) x x f x f x (C) x x f x f x (D) x : f x x x f x f x é VERDADEIRA pois a função f é par; Portanto C é FALSA pois f não é pode ser ímpar; x x f x f x é VERDADEIRA pois f tem período ; f x é possível pois D' f D é VERDADEIRA (5) 7 Considere a função g definida em por g x sen x Sabendo que os gráficos de f e g intersetam-se três vezes em abcissas dos três pontos de interseção Temos de resolver a equação f x g x em determine as cos x sen x cos x cos x cos x cos x cos x cos x 0 cos x cos x 0 cos x 0 cos x 0 x k k cos x x k k eqimpossível Para k 0 temos x Para k temos x Para k temos x Para k temos x x k k As duas funções intersetam-se para x x e x Ficha de avaliação da Matemática A º Ano Página 7/7 Versão

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