MATEMÁTICA - 3o ciclo Figuras semelhantes (7 o ano)

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1 MTMÁTI - 3o ciclo Figuras semelhantes (7 o ano) xercícios de provas nacionais e testes intermédios 1. Na figura seguinte, está representado o triângulo [], inscrito numa circunferência de centro no ponto O. os pontos e pertencem aos segmentos de reta [] e [], respetivamente; as retas e são paralelas; a amplitude do arco é 110 ; ˆ = 85. Qual das seguintes igualdades é verdadeira? () = () = () = O 110 () 85 = Prova Final 3 o iclo 2018, Época especial 2. Na figura ao lado, estão representadas duas retas paralelas, a e b, e três retas concorrentes num ponto, r, s e t. a reta r intersecta as retas a e b, respetivamente, nos pontos U e V ; a reta s intersecta as retas a e b, respetivamente, nos pontos X e Y ; a reta t intersecta as retas a e b, respetivamente, nos pontos W e Z; UX = 9 e V Y = 4. Qual das seguintes afirmações é verdadeira? r s t 9 U X W 4 V Y Z a b () XW Y Z = 4 9 () XW Y Z = 2 () XW Y Z = 9 4 () XW Y Z = 3 Prova Final 3 o iclo 2018, 2 a fase Página 1 de 14

2 3. Na figura seguinte, estão representadas as retas concorrentes e e as retas paralelas e. as retas e se intersectam no ponto I; os triângulos [I] e [I] são escalenos e não são geometricamente iguais. Qual das seguintes afirmações é verdadeira? I () = I I () = I I () = I I () = I I Prova Final 3 o iclo 2018, 1 a fase 4. Na figura ao lado, está representado o triângulo [], retângulo em. Os triângulos [] e [] são semelhantes, = 6 e = 10. Qual dos seguintes valores é igual ao quociente 6 10 Área do triângulo [] Área do triângulo []? () 9 25 () 8 15 () 3 5 () 1 3 Prova de ferição 8 o ano Na figura ao lado, estão representadas duas retas concorrentes, r e s, e três retas paralelas entre si, a, b e c. a reta a intersecta as retas r e s, respetivamente, nos pontos X e Y ; a reta b intersecta as retas r e s, respetivamente, nos pontos Z e W ; a reta c intersecta as retas r e s, respetivamente, nos pontos U e V ; XZ = 3 cm, ZU = 4 cm e Y W = 3,6 cm. r s a b c X Z 3 cm Y 4 cm 3,6 cm W U V etermina W V. presenta o resultado em centímetros. Prova de ferição 8 o ano Página 2 de 14

3 6. Na figura seguinte, está representado o triângulo [], retângulo em. [] é a altura do triângulo [] relativa ao lado []; = 1 cm; = 8 cm. figura não está desenhada à escala. 1 cm etermina a área do triângulo []. 8 cm presenta o valor pedido em cm 2, arredondado às centésimas. Se procederes a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserva pelo menos três casas decimais. presenta todos os cálculos que efetuares. Prova Final 3 o iclo 2017, Época especial 7. Na figura seguinte, estão representadas duas semirretas, Ȯ e Ȯ, e duas retas paralelas, r e s. a reta r intersecta as semirretas Ȯ e Ȯ nos pontos e, respetivamente; a reta s intersecta as semirretas Ȯ e Ȯ nos pontos e, respetivamente; o ponto pertence ao segmento de reta [O]; O = 9,8 cm, = 5,6 cm e = 8,4 cm. figura não está desenhada à escala. etermina. presenta o resultado em centímetros. presenta todos os cálculos que efetuares. s r O Prova Final 3 o iclo 2016, Época especial Página 3 de 14

4 8. Na figura seguinte, estão representadas duas circunferências, c 1 e c 2, tangentes no ponto P. as circunferências c 1 e c 2 têm centro, respetivamente, no ponto O 1 e no ponto O 2 ; P os pontos e pertencem à circunferência c 1 ; os pontos e pertencem à circunferência c 2 ; os pontos, e P pertencem à reta O 1 O 2 ; as retas e são paralelas. figura não está desenhada à escala. c 2 c 1 O 1 O 2 dmite que: = 2 cm = 6 cm P = 3,5 cm Qual é a medida, em centímetros, do diâmetro da circunferência c 2? () 9,5 () 10 () 10,5 () 11 Prova Final 3 o iclo 2016, 2 a fase 9. Na figura seguinte, estão representadas duas retas paralelas, r e s, e duas semirretas, Ȯ e Ȯ. a reta r intersecta as semirretas Ȯ e Ȯ nos pontos e, respetivamente; a reta s intersecta as semirretas Ȯ e Ȯ nos pontos e, respetivamente; o ponto pertence ao segmento de reta [O] ; O = 8,0cm, = 4,5cm e O = 9,6cm. figura não está desenhada à escala. etermina. O r s presenta o resultado em centímetros. presenta todos os cálculos que efetuares. Prova Final 3 o iclo 2016, 1 a fase Página 4 de 14

5 10. Na figura ao lado, está representado um triângulo [], retângulo em F 3 cm o ponto pertence ao segmento de reta [], o ponto pertence ao segmento de reta [] e o ponto F pertence ao segmento de reta [] os segmentos de reta [] e [] são paralelos; = 6,3 cm = 7,8 cm F = 3 cm ˆF = 90 6,3 cm 7,8 cm etermina o valor exato de presenta o resultado em centímetros. Prova de ferição 8 o ano onsidera dois triângulos semelhantes, [P QR] e [ST U] a razão de semelhança que transforma o triângulo [P QR] no triângulo [ST U] é 4 o triângulo [P QR] tem 25,98 cm 2 de área. etermina a área do triângulo [ST U] presenta o resultado em cm 2, arredondado às unidades. Prova de ferição 8 o ano Na figura ao lado, está representado o triângulo [], retângulo em figura não está desenhada à escala. o ponto F pertence ao segmento de reta [] o ponto pertence ao segmento de reta [] o quadrilátero [F ] é um retângulo; = 6 cm = 9 cm F = 4 cm 9 cm 4 cm F 6 cm Os triângulos [] e [F ] são semelhantes. Justifica esta afirmação etermina o perímetro do retângulo [F ] presenta o resultado em centímetros. Prova Final 3 o iclo 2015, 2 a fase Página 5 de 14

6 13. Na figura ao lado, está representada uma semicircunferência de diâmetro o ponto pertence à semicircunferência e o ponto pertence a [] os segmentos de reta [] e [] são perpendiculares o raio da semicircunferência é igual a 5 cm = 4 cm Os triângulos [] e [] são semelhantes. onsidera a semelhança que transforma o triângulo [] no triângulo [] Qual é, nessa semelhança, o lado do triângulo [] que corresponde ao lado [] do triângulo []? Prova Final 3 o iclo , 1 a fase 14. Na figura seguinte, estão representadas duas circunferências com centro no ponto O, uma de raio O e outra de raio O o ponto pertence ao segmento de reta [O] o segmento de reta [] é um diâmetro da circunferência de raio O o segmento de reta [] é perpendicular ao segmento de reta [O] O = 2 cm O = 3 cm O figura não está desenhada à escala. Indica a razão de uma semelhança que transforme o segmento de reta [O] no segmento de reta [O] Prova Final 3 o iclo , 2 a chamada 15. Relativamente à figura ao lado, sabe-se que: o triângulo [] é isósceles, com = os pontos e pertencem aos segmentos de reta [] e [], respetivamente o triângulo [] é semelhante ao triângulo [] = 4 cm = 6 cm l é a altura do triângulo [] relativa à base [] figura não está desenhada à escala. l 4 cm Qual é o valor do quociente área do triângulo [] área do triângulo []? 6 cm () 1 2 () 2 3 () 3 4 () 4 9 Prova Final 3 o iclo 2014, 1 a chamada Página 6 de 14

7 16. Na figura seguinte, estão representados os triângulos retângulos [] e [] o ponto pertence ao segmento de reta [] o ponto pertence ao segmento de reta [] = 11cm = 4cm = 5cm Os triângulos [] e [] são semelhantes. Justifica esta afirmação etermina presenta o resultado em centímetros. Teste Intermédio 9 o ano O quadrilátero [], representado na figura seguinte, é um trapézio retângulo. = 3 = 4 = 5 O ponto P desloca-se ao longo do segmento de reta [] Para cada posição do ponto P, tem-se P = x Para um certo valor de x, os triângulos [P ] e [P ] são semelhantes, sendo [] e [] lados correspondentes. etermina esse valor de x 4 P x 3 5 Prova Final 3 o iclo , 2 a chamada 18. Na figura seguinte, estão representados uma circunferência de centro no ponto O e os triângulos [] e [] os pontos, e pertencem à circunferência [] é um diâmetro da circunferência o triângulo [] é retângulo em os triângulos [] e [] são semelhantes figura não está desenhada à escala. dmite que = 0,5 Qual é o valor do quociente área do triângulo [] área do triângulo []? O () 0,125 () 0,25 () 0,5 () 1 Prova Final 3 o iclo 2013, 1 a chamada Página 7 de 14

8 19. Na figura seguinte, em cima, está representado um dos envelopes que a eatriz desenhou para os convites da sua festa de aniversário. Na figura seguinte, em baixo, está um modelo geométrico do mesmo envelope. [] é um trapézio isósceles o ponto F é o ponto de interseção das diagonais do trapézio os pontos e G são os pontos médios das bases do trapézio o ponto H pertence ao segmento de reta [F ] e o ponto I pertence ao segmento de reta [F ] HF I é um arco de circunferência F = 3,75 cm F G = 2,5 cm = 8 cm etermina a área, em cm 2, do trapézio [] H F G I Teste Intermédio 9 o ano Relativamente à figura ao lado, sabe-se que: os triângulos [] e [F ] são retângulos em o triângulo [F ] é isósceles o ponto pertence ao segmento de reta [] o ponto pertence ao segmento de reta [] os segmentos de reta [] e [] são paralelos = 12 cm o perímetro do triângulo [] é 48 cm o perímetro do triângulo [] é 16 cm Nota figura não está desenhada à escala. F Qual dos valores seguintes é a medida, em centímetros, do comprimento do segmento de reta []? () 3 () 3,5 () 4 () 4,5 Prova Final 3 o iclo 2012, 2 a chamada Página 8 de 14

9 21. Relativamente à figura ao lado, sabe-se que: o triângulo [] é retângulo em o ponto pertence ao segmento de reta [] o ponto pertence ao segmento de reta [] o triângulo [] é retângulo em Sabe-se ainda que: = 2 cm = 1 2 a área do triângulo [] é 20 cm 2 etermina presenta a tua resposta em centímetros. Teste Intermédio 9 o ano onsidera os triângulos [] e [P QR] representados na figura ao lado. Os dois triângulos são semelhantes. Ĉ = 59 ˆ = 48 [RQ] é o lado maior do triângulo [P QR] a ampliação que transforma o triângulo [P QR] no triângulo [] tem razão igual a R P Q etermina, sem efetuar medições, a amplitude do ângulo QP R dmite que o triângulo [] tem área igual a 18 cm 2 Qual é a área, em cm 2, do triângulo [P QR]? () 3,5 () 7 () 4,5 () 9 Teste Intermédio 8 o ano Na figura ao lado, está representada uma circunferência. figura não está desenhada à escala. os pontos,, e pertencem à circunferência; o ponto P é o ponto de interseção das cordas [] e [] Os triângulos [P ] e [P ] são semelhantes. dmite que: P = 2P a área do triângulo [P ] é 6 cm P Qual é a área, em cm 2 do triângulo [P ]? () 12 () 18 () 24 () 30 xame Nacional 3 o iclo 2011, 2 a chamada Página 9 de 14

10 24. Na figura seguinte, estão representados dois triângulos semelhantes. O triângulo [] é uma ampliação do triângulo [F ] figura não está desenhada à escala. Sabe-se ainda que: Ĉ = ˆF = 2 = 5 Qual é a razão de semelhança dessa ampliação? F () 2 5 () 5 2 () 12 5 () 5 12 Teste Intermédio 9 o ano Na figura seguinte, está representado um retângulo []. figura não está desenhada à escala. os pontos e G pertencem aos lados [] e [], respetivamente; o segmento [G] é paralelo ao segmento [] o segmento [] interseta o segmento [G] no ponto F F = 5 F G = 3 = 3,5 3,5 F 5 3 G dmite que ˆF = 35 Qual é a amplitude, em graus, do ângulo F G? Os triângulos [F ] e [GF ] são semelhantes. etermina G Teste Intermédio 8 o ano F 26. Na figura ao lado, sabe-se que: [F ] é um quadrado [G] é um quadrado = 9 dmite que = 12 G O quadrado [G] é uma redução do quadrado [F ] Indica a razão de semelhança dessa redução. Teste Intermédio 9 o ano Página 10 de 14

11 27. Para assegurar a atividade de prevenção, vigilância e deteção de incêndios florestais, existem torres de vigia. Na figura seguinte, à esquerda, está uma fotografia de uma dessas torres. Para determinar a altura da plataforma da torre, imaginaram-se dois triângulos retângulos, semelhantes, representados na figura da direita. figura ao lado representa um esquema desses dois triângulos. O esquema não está desenhado à escala. = 2,5 m = 1,6 m = 4,8 m Qual é o comprimento, em metros, de []? presenta os cálculos que efetuaste. 4,8 1,6 2,5 Teste Intermédio 9 o ano Teste Intermédio 8 o ano (adaptado) 28. Na figura ao lado, estão representados dois hexágonos regulares. o comprimento do lado do hexágono exterior é cinco vezes maior do que o comprimento do lado do hexágono interior; a área do hexágono interior é 23 cm 2 etermina a área, em cm 2, da parte sombreada a cinzento na figura ao lado. Teste Intermédio 8 o ano Página 11 de 14

12 29. onsidera os triângulos [] e [F ] da figura ao lado e as medidas neles inscritas. Nota: Os triângulos não estão desenhados à escala F Justifica que os dois triângulos são semelhantes dmite que o triângulo [F ] é uma redução do triângulo [] de razão 0,8. Qual é o perímetro do triângulo [], sabendo que o perímetro do triângulo [F ] é 40? () 50 () 40,8 () 39,2 () 32 Teste Intermédio 8 o ano onsidera um segmento de reta [] com 4cm de comprimento. fetuou-se uma redução do segmento de reta []. O segmento de reta obtido tem 0,8 cm de comprimento. Qual dos seguintes valores é igual à razão de semelhança desta redução? () 0,2 () 0,3 () 0,4 () 0,5 xame Nacional 3 o iclo 2007, 2 a chamada 31. Na figura abaixo, está desenhado um triângulo equilátero que tem 6 cm de lado. Recorrendo a material de desenho e de medição, constrói a ampliação, de razão 1,5 deste triângulo. fectua a construção a lápis. (Não apagues as linhas auxiliares que traçares para construíres o triângulo.) xame Nacional 3 o iclo , 2 a chamada Página 12 de 14

13 32. Na figura ao lado, estão representados três retângulos,, e, cujas dimensões estão indicadas em centímetros (cm). 3 3 penas dois dos retângulos representados na figura são semelhantes. Indica a razão dessa semelhança, considerando-a uma redução xame Nacional 3 o iclo 2006, 1 a chamada 33. O triângulo [P QR] é uma redução do triângulo equilátero [], de razão 0,5 Q Sabendo que QR = 5, calcula o perímetro do triângulo [] presenta todos os cálculos que efetuares. P R Prova de ferição 2003 Página 13 de 14

14 34. Neste ano comemoram-se os 500 anos do nascimento de Pedro Nunes. Há alguns anos, os correios editaram o selo reproduzido na figura ao lado, alusivo a este matemático português. Qual das figuras seguintes é uma redução da figura ao lado? () () () () Prova de ferição 2002 Página 14 de 14