MATEMÁTICA - 3o ciclo Trigonometria (9 o ano)

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1 MTMÁTI - 3o ciclo Trigonometria (9 o ano) xercícios de provas nacionais e testes intermédios 1. No Porto de Leixões, existe uma das maiores pontes basculantes do mundo. No esquema da figura seguinte (à direita), está representada a posição, em relação à horizontal, que as duas secções móveis da ponte tinham num certo instante. Nesse esquema, as secções móveis estão representadas pelos segmentos de reta [] e []. 46 m 46 m Ponte do Porto de Leixões F Relativamente ao esquema, sabe-se que: o triângulo [] é isósceles, com = ; M é o ponto médio do segmento de reta []; = 4,62 m e = 4,35 m. Relativamente ao esquema, sabe-se que: os triângulos [] e [F ] são retângulos nos vértices e F, respetivamente; = = 46 m; Â = ÊF = 35 ; = +. etermina a distância entre os pontos e, na posição representada no esquema da figura da direita. presenta o resultado em metros, arredondado às unidades. Se procederes a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserva, pelo menos, duas casas decimais. presenta todos os cálculos que efetuares. Sugestão: omeça por determinar ou F. Prova Final 3 o iclo 2018, Época especial Página 1 de 18

2 2. s casas típicas de Santana, localidade da costa norte da ilha da Madeira, parecem prismas triangulares. Na figura seguinte, à direita, representa-se, em esquema, a fachada principal de uma dessas casas. No esquema, os segmentos de reta [] e [] representam o telhado da casa. Relativamente ao esquema, sabe-se que: o triângulo [] é isósceles, com = ; M é o ponto médio do segmento de reta []; = 4,62 m e = 4,35 m. etermina, em graus, Ĉ. presenta o resultado arredondado às unidades. Se procederes a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserva, pelo menos, três casas decimais. presenta todos os cálculos que efetuares. Sugestão: omeça por determinar ĈM. Prova Final 3 o iclo 2018, 2 a fase Página 2 de 18

3 3. lgumas camas são articuladas, ou seja, têm uma secção que pode ser inclinada. No esquema da figura seguinte, está representada a vista lateral de uma cama articulada, com o topo encostado a uma das paredes de um quarto. Nesse esquema, o trapézio [] representa a secção inclinada da cama e o retângulo [F GHI] representa a base da cama. P R F G 0,90 m 32 1,05 m I H Relativamente ao esquema, que não está à escala, sabe-se que: os pontos e pertencem ao segmento de reta [F I]; o triângulo [] é retângulo no vértice ; = 0,9 m e F = 1,05 m; Â = 32 etermina a distância do vértice à parede do quarto, na posição representada no esquema da figura. presenta o resultado em metros, arredondado às centésimas. cálculos intermédios, conserva, pelo menos, três casas decimais. presenta todos os cálculos que efetuares. Se procederes a arredondamentos nos Sugestão: omeça por determinar. Prova Final 3 o iclo 2018, 1 a fase 4. Na figura seguinte, está representado um esquema de um baloiço num instante em que a cadeira do baloiço se encontra na posição assinalada com o ponto M. No esquema, o segmento de reta [OM] representa o cabo do baloiço e a reta s representa o solo. o ponto P é o pé da perpendicular traçada do ponto O para a reta s; o ponto N é o pé da perpendicular traçada do ponto M para a reta OP ; MÔN = 56 ; OM = 2 m; OP = 2,5 m. figura não está desenhada à escala. M 2m 56 O etermina N P, ou seja, determina a distância da cadeira ao solo quando esta se encontra no ponto M. presenta o valor pedido em metros, arredondado às centésimas. Se procederes a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserva pelo menos três casas decimais. presenta todos os cálculos que efetuares. Sugestão : começa por determinar ON. P Prova Final 3 o iclo 2017, Época especial s Página 3 de 18

4 5. Na figura seguinte, apresenta-se o esquema de uma estrutura de três pisos onde serão montadas duas escadas rolantes, uma entre o rés do chão e o 1. o andar e outra entre o 1. o andar e o 2. o andar. Superfície do r/c Superfície F do 1. o andar 30 H G 30 Superfície do 2. o andar = 23 m = 12 m = ÂH = ĜF = 30 figura não está desenhada à escala. etermina F, ou seja, determina a distância da superfície do rés do chão à superfície do 2. o andar. presenta o valor pedido em metros, arredondado às centésimas. Se procederes a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserva pelo menos três casas decimais. presenta todos os cálculos que efetuares. Prova Final 3 o iclo 2017, 2 a fase Página 4 de 18

5 6. m algumas pontes, os candeeiros de iluminação pública estão inclinados em relação ao plano do tabuleiro da ponte, para reduzir a luz projetada sobre os rios. Na ponte Vasco da Gama, os candeeiros foram instalados desse modo, conforme se pode observar na figura seguinte, à direita. Na figura ao lado, à esquerda, apresentase, em esquema, um candeeiro desse tipo, instalado numa outra ponte. ste candeeiro é constituído por duas peças, representadas na figura pelos segmentos de reta [] e [] Relativamente ao esquema da direita, sabe-se que: t cm a reta t representa o tabuleiro da ponte; o ponto representa a lâmpada, e o ponto é o pé da perpendicular traçada do ponto para a reta t; o segmento de reta [] é perpendicular ao segmento de reta []; o poste do candeeiro é representado pelo segmento de reta [] e tem 4,1 m de comprimento; Ĉ = 10, sendo a reta perpendicular à reta t; a distância do ponto à reta t é igual a 20 cm. figura não está desenhada à escala. etermina, ou seja, determina a distância da lâmpada do candeeiro ao tabuleiro da ponte. presenta o valor pedido em metros, arredondado às décimas. Se procederes a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserva pelo menos três casas decimais. presenta todos os cálculos que efetuares. Prova Final 3 o iclo 2017, 1 a fase Página 5 de 18

6 7. m São Torpes, no concelho de Sines, encontra-se uma central termoelétrica com duas chaminés. figura da esquerda é uma fotografia dessa central termoelétrica e a figura da direita é uma representação das duas chaminés. 55 figura da direita não está desenhada à escala. Na figura da direita, os segmentos de reta [P ] e [R] correspondem às duas chaminés. O ponto O corresponde a uma posição a partir da qual se observa o topo da chaminé representada por [P ] segundo um ângulo com 55 de amplitude. mbas as chaminés têm 225 metros de altura e a distância entre elas é igual a 132 metros. ssim, relativamente à figura da direita, sabe-se que: o ponto P pertence ao segmento de reta [OR] ÔP = 55 P = R = 225 m P R = 132 m etermina a amplitude do ângulo OR. Sugestão: omeça por determinar OP. presenta o resultado em graus, arredondado às unidades. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. presenta todos os cálculos que efetuares. O Prova Final 3 o iclo 2016, Época especial P R Página 6 de 18

7 8. Na figura seguinte, está representado um esquema do modelo de avião 380, um dos maiores aviões de transporte de passageiros do mundo. Na figura ao lado, estão também representados o triângulo isósceles [] e o segmento de reta [], que é a altura do triângulo relativa à base []. O esquema não está desenhado à escala. = = 51 m  = 76 etermina, ou seja, determina a envergadura do 380. presenta o resultado em metros, arredondado às unidades. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. Mostra como chegaste à tua resposta. Prova Final 3 o iclo 2016, 2 a fase 9. figura ao lado é uma fotografia do farol do abo de Santa Maria, situado na Ria Formosa, na Ilha da ulatra. Marta e o Rui estão a fazer um trabalho de trigonometria. Marta colocou-se num ponto a partir do qual podia observar o topo do farol segundo um ângulo de amplitude 60. Fez algumas medições e esboçou um esquema idêntico ao que se apresenta na figura seguinte. Nesse esquema, o ponto T corresponde ao topo do farol, o ponto M corresponde ao ponto de observação da Marta, e o ponto R corresponde ao ponto de observação do Rui. O esquema não está desenhado à escala. Relativamente ao esquema da figura ao lado, sabe-se que: [MT ] é um triângulo retângulo; o ponto R pertence à semirreta Ṁ; T ˆM = 60 e T ˆR = 45 ; M = 25,6 m etermina M R, ou seja, determina a distância entre a Marta e o Rui. presenta o resultado em metros, arredondado às unidades. M Solo T ,6 m R Sugestão: omeça por determinar T. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. presenta todos os cálculos que efetuares. Prova Final 3 o iclo 2016, 1 a fase Página 7 de 18

8 10. Na figura ao lado, estão representados uma circunferência de centro no ponto e os pontos T, P,, M e figura não está desenhada à escala. os pontos T, e pertencem à circunferência; M é o ponto médio da corda [] a reta tangente à circunferência no ponto T intersecta a reta no ponto P P = 8 P = 2 P T = 4 T = 9,2 T P M etermina a amplitude do ângulo M Na tua resposta, deves: obter M indicar o valor de apresentar a amplitude do ângulo M em graus, arredondada às unidades. presenta todos os cálculos que efetuares. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais. Prova Final 3 o iclo 2015, Época especial 11. Na figura seguinte, está representada uma semicircunferência de centro no ponto O e diâmetro [] ponto pertence à semicircunferência; o ponto pertence à corda [] o triângulo [O] é retângulo em O = 1 cm ÂO = 25 O figura não está desenhada à escala. etermina a área do semicírculo de diâmetro [] presenta o resultado em centímetros quadrados, arredondado às décimas. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais. presenta todos os cálculos que efetuares. Prova Final 3 o iclo 2015, 2 a fase Página 8 de 18

9 12. Na figura seguinte, estão representados uma circunferência de centro no ponto O e um triângulo isósceles [] os pontos, e pertencem à circunferência = [] é a altura do triângulo [] relativa à base [] a amplitude do arco é igual a 100 figura não está desenhada à escala. O Seja α a amplitude de um dos ângulos internos do triângulo [] Sabe-se que tg α = Identifica esse ângulo, usando letras da figura. Prova Final 3 o iclo 2015, 1 a fase 13. Na figura seguinte, estão representadas as retas e e a circunferência de diâmetro [] O ponto pertence à circunferência e à reta a reta é tangente à circunferência no ponto = 50 = 8 cm etermina 50 presenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. presenta todos os cálculos que efetuares. 14. Na figura ao lado, está representada uma circunferência com centro no ponto O Prova Final 3 o iclo , 2 a chamada Os pontos, e pertencem à circunferência. O ponto P pertence à corda [] os segmentos de reta [] e [P ] são perpendiculares  = 65 P = 1,6 cm figura não está desenhada à escala. etermina P presenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas. O P Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. presenta todos os cálculos que efetuares. Prova Final 3 o iclo , 1 a chamada Página 9 de 18

10 15. Na figura seguinte, está representada uma circunferência de centro no ponto O os pontos, e pertencem à circunferência = o segmento de reta [] é a altura do triângulo [] relativa à base [] Ô = 72 O = 2 cm O etermina a área do triângulo [] presenta o resultado em cm 2, arredondado às décimas. Mostra como chegaste à tua resposta. Nota Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais. 16. Na figura seguinte, está representado o prisma triangular reto [F ] Prova Final 3 o iclo , 2 a chamada o triângulo [] é retângulo em =2 cm =6 cm o volume do prisma é 42 cm 3 etermina a amplitude do ângulo presenta o resultado em graus, arredondado às unidades. Mostra como chegaste à tua resposta. F Nota Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais. Prova Final 3 o iclo , 1 a chamada Página 10 de 18

11 17. figura seguinte representa um modelo geométrico de uma rampa de skate. O modelo não está desenhado à escala. ste modelo é um sólido que pode ser decomposto no cubo [F IJ] e nos prismas triangulares retos [HIF G] e [KJL], geometricamente iguais. s bases dos prismas são triângulos retângulos. Sabe-se ainda que: HI = 5 m IĤ = 32 etermina o volume do sólido representado na figura ao lado. presenta o resultado em metros cúbicos, arredondado às unidades. presenta os cálculos que efetuares. H G I F J K L Nota Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais. Prova Final 3 o iclo , 2 a chamada 18. Relativamente à figura ao lado, sabe-se que: o triângulo [] é escaleno e é retângulo em os pontos e P pertencem ao segmento de reta [] o ponto pertence ao segmento de reta [] o triângulo [] é retângulo em o ponto Q pertence ao segmento de reta [] P Q é um arco de circunferência figura não está desenhada à escala. P Q Qual das afirmações seguintes é verdadeira? () senĉ = () senĉ = () cos Ĉ = () cos Ĉ = Prova Final 3 o iclo , 1 a chamada 19. Na figura ao lado, está representado um modelo geométrico do símbolo da bandeira de uma equipa de futsal. ste modelo não está desenhado à escala.,,, e são pontos da circunferência de centro no ponto O F e G são pontos da corda [] F = G = 16 cm  = 36 F O G etermina F G presenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas. presenta os cálculos que efetuares. Nota Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. xame Nacional 3 o iclo , Ép. special Página 11 de 18

12 20. Na figura ao lado, está representado o prisma triangular [F ] o quadrilátero [] é um quadrado; o triângulo [] é retângulo em ˆ = 30 = 8 cm etermina a área do triângulo. presenta o resultado em cm 2, arredondado às unidades. presenta os cálculos que efetuares. F Nota Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais. xame Nacional 3 o iclo , 2 a chamada 21. Na figura ao lado, estão representados um paralelepípedo [F GH] e uma pirâmide [HP ], sendo P um ponto de [] H G dmite que: P = 5 cm ˆP H = 32 etermina a área do triângulo P H. presenta o resultado em cm 2, arredondado às unidades. presenta os cálculos que efetuares. Nota Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais. 22. Na figura seguinte, está representada uma circunferência de centro no ponto O P xame Nacional 3 o iclo , 1 a chamada F Os pontos,,, P e R pertencem à circunferência. a circunferência tem raio 8 = [P R] é um diâmetro da circunferência; o ponto Q é o ponto de intersecção dos segmentos [] e [P R] o ponto S é o ponto de intersecção dos segmentos [] e [P R] ˆO = 36 etermina a área da região representada a sombreado. presenta o resultado arredondado às unidades. presenta os cálculos que efetuares. Nota Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais. P Q 36 8 O S R Teste Intermédio 9 o ano Página 12 de 18

13 23. Na figura seguinte, à esquerda e ao centro, podes observar um comedouro de um camelo. Imaginou-se um triângulo retângulo [], em que o cateto [] representa o suporte do comedouro e o cateto [] representa a sombra desse suporte. figura da direita é um esquema desse triângulo. O esquema não está desenhado à escala. = 1,26 m e = 0,6 m Qual é a amplitude, em graus, do ângulo? screve o resultado arredondado às unidades. Mostra como chegaste à tua resposta. xame Nacional 3 o iclo , 2 a chamada 24. Na figura ao lado, está representada uma circunferência de centro O, na qual está inscrito um retângulo [] figura não está desenhada à escala. ˆ = 70 = 4,35 cm Qual é o comprimento, em cm, do diâmetro [] da circunferência? presenta os cálculos que efetuaste. screve o resultado arredondado às centésimas. Nota Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais. O xame Nacional 3 o iclo , 1 a chamada Página 13 de 18

14 25. figura ao lado, em cima, mostra um conjunto de painéis solares. Numa das estruturas de apoio de um desses painéis, imaginou-se um triângulo retângulo. m baixo está um esquema desse triângulo. está desenhado à escala. O esquema não Relativamente ao triângulo retângulo [], sabe-se que: = 2,5 m = 1,7 m Qual é a amplitude, em graus, do ângulo? screve o resultado arredondado às unidades. Mostra como chegaste à tua resposta. Nota: Nos cálculos intermédios, conserva duas casas decimais. Teste Intermédio 9 o ano No jardim da família oelho, encontra-se um balancé, com uma trave de 2,8 m de comprimento, como o representado na figura seguinte. Quando uma das cadeiras está em baixo, a trave do balancé forma um ângulo de 40 com o solo, tal como mostra a figura ao lado. figura não está desenhada à escala. etermina, em metros, a altura máxima, a, a que a outra cadeira pode estar. presenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às décimas. 40 2,8 m a Nota: Nos cálculos intermédios, conserva duas casas decimais. xame Nacional 3 o iclo , 2 a chamada 27. figura ao lado, à esquerda, é a imagem de um monumento situado no centro de uma cidade. Todos os blocos desse monumento resultam de um corte de um prisma quadrangular reto. figura da direita representa o modelo geométrico de um dos blocos do mesmo monumento. G F Na figura da direita, sabe-se que = 2 m e que Ê = 35. Qual é, em metros, a medida do comprimento de []? presenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às unidades. xame Nacional 3 o iclo , 1 a chamada Página 14 de 18

15 28. mãe da Marta vai colocar no jardim um escorrega como o representado, na figura seguinte, à esquerda. figura da direita representa um esquema do escorrega da figura da esquerda. Qual é, em graus, a amplitude do ângulo α? presenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às unidades. α 2 m 1,8 m Teste Intermédio 9 o ano Na figura ao lado, em cima, podes observar uma rampa de pedra, cujo modelo geométrico é um prisma em que as faces laterais são retângulos e as bases são triângulos retângulos; esse prisma encontra-se representado na figura de baixo. Sabe-se que, neste prisma de bases triangulares: = 300 cm, = 250 cm e = 42 cm F alcula a amplitude, em graus, do ângulo β. presenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às unidades. β xame Nacional 3 o iclo , 2 a chamada Página 15 de 18

16 30. figura ao lado representa uma sala de cinema. O João sentou-se no último lugar da última fila, assinalado, na figura, pelo ponto. O ângulo de vértice é o seu ângulo de visão para o ecrã. No cinema, as pessoas que se sentam no lugar em que o João está sentado devem ter um ângulo de visão de, pelo menos, 26, sendo o ideal 36, para que possam ter uma visão clara do filme. Tendo em atenção as medidas indicadas na figura, determina a amplitude do ângulo de visão do lugar do João. Na tua resposta, apresenta os cálculos que efetuares e explica se a amplitude obtida permite uma visão clara do filme. xame Nacional 3 o iclo , 1 a chamada 31. Para determinar a altura (h) de uma antena cilíndrica, o Paulo aplicou o que aprendeu nas aulas de Matemática, porque não conseguia chegar ao ponto mais alto dessa antena. No momento em que a amplitude do ângulo que os raios solares faziam com o chão era de 43, parte da sombra da antena estava projetada sobre um terreno irregular e, por isso, não podia ser medida. Nesse instante, o Paulo colocou uma vara perpendicularmente ao chão, de forma que as extremidades das sombras da vara e da antena coincidissem. vara, com 1,8 m de altura, estava a 14 m de distância da antena. Na figura seguinte, que não está desenhada à escala, podes ver um esquema que pretende ilustrar a situação descrita. h 1,8 m m Qual é a altura (h) da antena? Na tua resposta, indica o resultado arredondado às unidades e a unidade de medida. presenta todos os cálculos que efetuares. Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. xame Nacional 3 o iclo , 2 a chamada Página 16 de 18

17 32. Na figura ao lado, está representada uma circunferência, de centro O em que:,, e são pontos da circunferência; o segmento de reta [] é um diâmetro; é o ponto de interseção das retas e ; o triângulo [] é retângulo em ; Â = 30. Sabendo que = 5, determina. presenta todos os cálculos que efetuares. 30 O xame Nacional 3 o iclo , 1 a chamada 33. altura, h, do Sol é a amplitude, medida em graus, do ângulo que os raios solares fazem com o plano do horizonte. O gráfico ao lado dá a altura do Sol às horas do dia 21 de junho de 2006, solstício de Verão, na região de Lisboa, de acordo com os dados do Observatório stronómico de Lisboa. h(graus) :38 8:38 10:38 12:38 14:38 16:38 18:38 t(horas) fotografia ao lado é a do monumento da praça dos Restauradores, em Lisboa. altura desse monumento é de 30 metros. No dia 21 de junho de 2006, às 15 horas e 38 minutos, qual foi, em metros, o comprimento da sombra projetada no chão pelo monumento? omeça por fazer um esboço que ilustre a situação. Indica o resultado arredondado às unidades e apresenta todos os cálculos que efetuares. xame Nacional 3 o iclo , 2 a chamada 34. Na figura ao lado, está representado um triângulo retângulo em que: a, b e c são as medidas de comprimento dos seus lados, em centímetros; x é a medida da amplitude de um dos seus ângulos agudos, em graus. presentam-se a seguir quatro igualdades. penas uma está correta. Qual? b a x c () sen x = b a () sen x = a b () sen x = b c () sen x = c a xame Nacional 3 o iclo , 1 a chamada Página 17 de 18

18 35. Os espigueiros são construções que servem para guardar cereais, ao mesmo tempo que os protegem da humidade e dos roedores. Por isso, são construídos sobre estacas (pés do espigueiro), de forma que não estejam em contacto direto com o solo. Se o terreno for inclinado, os pés do espigueiro assentam num, para que o degrau espigueiro fique na horizontal, como mostra a fotografia (na figura seguinte, à esquerda). figura da direita é um esquema do espigueiro da fotografia. Neste esquema, estão 0,5 também representados os seis pés do espigueiro, bem como spigueiro o degrau no qual eles assentam. O esquema não está 5 0,8 desenhado à escala. s medidas de comprimento indicadas 17 5 estão expressas em egrau metros. questão seguinte refere-se a este esquema. O degrau onde assentam os pés do espigueiro é um prisma triangular reto. s duas bases deste prisma são triângulos retângulos. etermina (em metros) a altura, a, do degrau. presenta todos os cálculos que efetuares e indica o resultado, arredondado às décimas. Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva quatro casas decimais. 3,7 a xame Nacional 3 o iclo , 2 a chamada 36. O acesso a uma das entradas da escola da Rita é feito por uma escada de dois degraus iguais, cada um deles com 10 cm de altura. om o objectivo de facilitar a entrada na escola a pessoas com mobilidade condicionada, foi construída uma rampa. Para respeitar a legislação em vigor, esta rampa foi construída de modo a fazer com o solo um ângulo de 3, como se pode ver no esquema da figura seguinte (o esquema não está à escala). c 10 cm 3 10 cm etermina, em metros, o comprimento, c, da rampa. Indica o resultado arredondado às décimas e apresenta todos os cálculos que efetuares. Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva quatro casas decimais. xame Nacional 3 o iclo , 1 a chamada Página 18 de 18