Matemática GEOMETRIA PLANA. Professor Dudan

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1 Matemática GEOMETRIA PLANA Professor Dudan

2 Ângulos Geometria Plana Ângulo é a região de um plano concebida pelo encontro de duas semirretas que possuem uma origem em comum, chamada vértice do ângulo. A unidade usual de medida de ângulo, de acordo com o sistema internacional de medidas, é o grau, representado pelo símbolo, e seus submúltiplos são o minuto e o segundo. Temos que 1º (grau) equivale a 60 (minutos) e 1 equivale a 60 (segundos).

3 Tipos de Ângulo Geometria Plana Ângulos Complementares: dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas é igual a 90. Neste caso, cada um é o complemento do outro. Na ilustração temos que: α + β = 90

4 Ângulos Suplementares: dois ângulos são Suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180. Neste caso, cada um é o suplemento do outro. Na ilustração temos que: Geometria Plana α + β = 180

5 Ângulos Replementares: dois ângulos são replementares quando a soma de suas medidas é igual a 360. Neste caso, cada um é o replemento do outro. Na ilustração temos que: Geometria Plana α + β = 360º

6 Exemplo: Assinale V para verdadeiro e F para falso nas sentenças abaixo ( ) 80º e 10º são suplementares. Geometria Plana ( ) 30º e 70º são complementares. ( ) 120º e 60º são suplementares. ( ) 20º e 160º são complementares. ( ) 140º e 40º são complementares. ( ) 140º e 40º são suplementares.

7 Ângulos de um Polígono Geometria Plana A soma dos ângulos internos de qualquer polígono depende do número de lados (n), sendo usada a seguinte expressão para o cálculo:

8 Diagonais de um polígono Geometria Plana Diagonal de um polígono é o segmento de reta que liga um vértice ao outro, passando pelo interior da figura. O número de diagonais de um polígono depende do número de lados (n) e pode ser calculado pela expressão:

9 Exemplo: Dada a figura abaixo, analise as sentenças I. O triângulo CDE é isósceles. II. O triângulo ABE é equilátero. III. AE é bissetriz do ângulo BÂD. é verdade que (A) somente a I é falsa. (B) somente a II é falsa. (C) somente a III é falsa. (D) são todas falsas. (E) são todas verdadeiras. Geometria Plana

10 Teorema de Pitágoras Geometria Plana O teorema de Pitágoras é uma relação matemática entre os comprimentos dos lados de qualquer triângulo retângulo. Na geometria euclidiana, o teorema afirma que: Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos. Por definição, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e os catetos são os dois lados que o formam. Assim podemos equacionar

11 Geometria Plana Exemplo Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.

12 Geometria Plana Triângulos Retângulos PITAGÓRICOS Existem alguns tipos especiais de triângulos retângulos cujos lados são proporcionais a:

13 Geometria Plana Exemplo Roberto irá cercar uma parte de seu terreno para fazer um canil. Como ele tem um alambrado de 10 metros, decidiu aproveitar o canto murado de seu terreno (em ângulo reto) e fechar essa área triangular esticando todo o alambrado, sem sobra. Se ele utilizou 6 metros de um muro, do outro muro ele irá utilizar, em metros. (A) 7. (B) 5. (C) 8. (D) 6. (E) 9.

14 Geometria Plana Triângulo é uma figura geométrica formada por três retas que se encontram duas a duas e não passam pelo mesmo ponto, formando três lados e três ângulos. Para fazer o cálculo do perímetro de um triângulo basta fazer a soma da medida de todos os lados. A soma dos ângulos internos é sempre 180.

15 Geometria Plana Observando o triângulo podemos identificar alguns de seus elementos: A, B e C são os vértices. Os lados dos triângulos são simbolizados pelas letras a, b e c. Os triângulos ele tem 3 lados, consequentemente, 3 ângulos.

16 Geometria Plana Quanto à medida do seu lado Triângulo Equilátero: apresenta os três lados com a mesma medida. Triângulo Isósceles: apresenta dois lados com a mesma medida. Triângulo Escaleno: apresenta os três lados com medidas diferentes, ou seja, três lados de tamanhos diferentes.

17 Geometria Plana Quanto à medida dos ângulos Triângulo Acutângulo: apresenta os três ângulos internos menores agudos. Triângulo Obtusângulo: apresenta ângulo interno maior que 90 º ou obtuso. Triângulo Retângulo: apresenta um ângulo interno reto ou de 90 o.

18 Geometria Plana TRIÂNGULO RETÂNGULO

19 Área de Triângulos Geometria Plana A área de um triângulo é a metade do produto da medida da sua altura pela medida da sua base. Assim, a área do triângulo pode ser calculada pela fórmula: onde h é a altura do triângulo, b a medida da base.

20 Geometria Plana Exemplo Determinar a área do triângulo a seguir considerando que a sua base mede 23 metros e a altura 12 metros.

21 Geometria Plana Exemplo A área do triângulo sombreado da figura abaixo é

22 Geometria Plana TRIGONOMETRIA no TRIÂNGULO RETÂNGULO

23 Geometria Plana Composição do Triângulo Retângulo Catetos: correspondem aos lados que compõem o ângulo reto, formada por dois catetos: adjacente e oposto. Hipotenusa: lado oposto ao ângulo reto considerado o maior lado do triângulo retângulo.

24 Geometria Plana Relações Trigonométricas

25 PRINCIPAIS ÂNGULOS Geometria Plana

26 Geometria Plana Casos Especiais Caso : Coisa, 2Coisa e Coisa

27 Casos Especiais Geometria Plana Caso : Triangulo Retângulo Isósceles

28 Geometria Plana Exemplo Considerando o triângulo retângulo ABC da figura, determine as medidas a e b indicadas.

29 Geometria Plana Exemplo Encontre os valores de x e y nos triângulos retângulos abaixo.

30 Geometria Plana Exemplo No triângulo retângulo da figura abaixo, determine as medidas de x e y indicadas. (Use: sen 65 = 0,91; cos 65 = 0,42 ; tg 65 = 2,14)

31 Geometria Plana Exemplo Uma escada de 2m de comprimento está apoiada no chão e em uma parede vertical. Se a escada faz 30 com a horizontal, a distância do topo da escada ao chão é de: (A) 0,5 m (B) 1 m (C) 1,5 m (D) 1,7 m (E) 2 m

32 Geometria Plana QUADRILÁTEROS

33 Quadriláteros Geometria Plana Um quadrilátero é um polígono de quatro lados. Em geral, um quadrilátero será uma figura geométrica limitada por quatro lados, todos diferentes e que formam entre si quatro ângulos internos também diferentes. Em qualquer caso, a soma dos valores dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre 360.

34 Geometria Plana Algumas Propriedades dos quadriláteros: 1. A soma dos seus ângulos internos é A soma dos seus ângulos externos é Todos os quadriláteros apresentam 2 diagonais.

35 Geometria Plana Exemplo Determine a medida dos ângulos indicados:

36 Classificação Geometria Plana Os quadriláteros classificam-se em paralelogramos e trapézios. Paralelogramos : são quadrilátero de lados opostos paralelos. Exemplos: Retângulo - Paralelogramo em que todos os ângulos são retos. O retângulo cujos lados são congruentes chama-se quadrado. Quadrado- Retângulo cujos lados tem medidas iguais. Losango, paralelogramo.

37 Exemplo Observe os paralelogramos e, considerando as propriedades estudadas, determine: a) MN e NP b) x e y

38 Trapézios: são quadrilátero que tem dois e só dois lados opostos paralelos. Exemplos: Trapézio Escaleno: tem todos os lados de medidas distintas. Trapézio Retângulo: tem dois ângulos retos. Trapézio Isósceles: tem os lados não paralelos com a mesma medida.

39 Principais Quadriláteros Trapézio Geometria Plana Características: Apresenta 2 lados paralelos apenas.

40 Geometria Plana Paralelogramo Características: Lados paralelos congruentes, ângulos opostos congruentes.

41 Geometria Plana Losango Características: Lados paralelos congruentes, todos os lados de mesma medida, ângulos opostos congruentes, diagonais cortam-se nos seus pontos médios e são perpendiculares entre si.

42 Retângulo Geometria Plana Características: Todos os ângulos internos são retos, lados paralelos congruentes, diagonais de mesma medida e que se cortam nos seus pontos médios.

43 Quadrado Geometria Plana Características: Todos os ângulos internos são retos, lados paralelos congruentes, todos os lados de mesma medida, diagonais de mesma medida, perpendiculares entre si e que se cortam nos seus pontos médios.

44 Geometria Plana Exemplo O perímetro e a área da sala representada na figura valem: (A) 20m e 15 m 2 (B) 18m e 17 m 2 (C) 20 m e 19 m 2 (D) 20m e 20 m 2

45 FIGURAS CIRCULARES

46 DEFINIÇÃO Geometria Plana De acordo com a Geometria Euclidiana, circunferência é o espaço geométrico de uma região circular que compreende todos os pontos de um plano, localizados a uma determinada distância, denominada raio, de um ponto chamado centro. Podemos definir o círculo como a região interna da circunferência. A circunferência limita o círculo, observe a ilustração a seguir:

47 Geometria Plana A circunferência e o círculo possuem um elemento denominado diâmetro, que constitui em um segmento que passa pelo centro da figura. Outro segmento importante pertencente às duas figuras é o raio, que corresponde à metade do diâmetro. Observe a figura:

48 E o famoso valor E O FAMOSO π? Há duas interpretações distintas quanto ao valor do π: Como constante matemática,costumamos definir PI como sendo a razão entre a circunferência e o diâmetro de um circulo, ou seja vale aproximadamente 3,14. Agora quando trabalhamos com ângulos, temos a seguinte relação: π rad = 180 Geometria Plana

49 1 CÍRCULO / CIRCUNFERÊNCIA Geometria Plana

50 Geometria Plana Exemplo Calcule o valor da área e do perímetro dos círculos abaixo:

51 2 SETOR CIRCULAR Geometria Plana

52 3 COROA CIRCULAR Geometria Plana

53 Geometria Plana Exemplo Determine a área da coroa circular da figura a seguir, considerando o raio da circunferência maior igual a 10 metros e raio da circunferência menor igual a 8 metros.

54 Comprimento ou Perímetro

55 Definição Geometria Plana O perímetro é a medida do contorno de um objeto bidimensional, ou seja, a soma de todos os lados de uma figura geométrica. Imagine a seguinte situação: Um fazendeiro quer descobrir quantos metros de arame serão gastos para cercar um terreno de pastagem com formato retangular. Como ele deveria proceder para chegar a uma conclusão? De maneira bem intuitiva, concluímos que ele precisa determinar as medidas de cada lado do terreno e então, somá-las, obtendo o quanto seria gasto. A esse procedimento damos o nome de perímetro.

56 Geometria Plana 1 TRIÂNGULO RETÂNGULO

57 2 TRIÂNGULO EQUILÁTERO Geometria Plana

58 3 QUADRADO Geometria Plana

59 4 - RETÂNGULO Geometria Plana

60 5 - LOSANGO Geometria Plana

61 6 - CÍRCULO Geometria Plana

62 Geometria Plana ÀREA Área é um conceito matemático que pode ser definida como quantidade de espaço bidimensional, ou seja, de superfície. Existem várias unidades de medida de área, sendo a mais utilizada o metro quadrado (m²) e os seus múltiplos e submúltiplos. Para não haver erro, lembre-se: Área é o que eu posso pintar

63 Geometria Plana

64 Exemplo Geometria Plana

65 Geometria Plana

66 Exemplo Geometria Plana

67 Geometria Plana

68 Geometria Plana

69 Geometria Plana

70 Geometria Plana

71

72 Geometria Plana

73 Geometria Plana

74 Cuidado! Primeiro, faremos um exemplo conhecendo as medidas do retângulo, depois faremos a generalização. Considere o retângulo Sua área será de: A 1 = 10 x 3 = 30 cm 2 Agora, vamos duplicar as medidas dos lados. A área desse novo retângulo será de A 2 = 20 x 6 = 120 cm 2 Observe que ao dobrar as medidas dos lados do retângulo sua área mais que dobrou, na verdade quadruplicou.

75 Geometria Plana Exemplo No desenho abaixo, uma cruz é formada por cinco quadrados de lado 1 justapostos. A área do quadrado ABCD é: (A) 4. (B) 5. (C) 6. (D) 7. (E) 8.

76 Geometria Plana Exemplo Seja o octógono EFGHIJKL inscrito num quadrado de 12cm de lado, conforme mostra a figura a seguir. Se cada lado do quadrado está dividido pelos pontos assinalados em segmentos congruentes entre si, então a área do octógono, em centímetros quadrados, é: (A) 98. (B) 102. (C) 108. (D) 112. (E) 120.

77 GEOMETRIA PLANA

78 COMO A FUNDATEC COBRA ISSO?

79 POLÍCIA MILITAR/RS O desnível entre a calçada e a garagem da residência de Pablo é de 1,5m. Sabe-se que a rampa de acesso da calçada para a garagem possui inclinação de 30 com a horizontal. O comprimento dessa rampa mede: (Dados: sem 30 = 0,5, cós 30/ = 0,86, tg 30 = 0,58) A)1,75 m aproximadamente. B)2m. C) 3m. D) 3,45 m aproximadamente. E)4m.

80 PREF DE LIBERATO SALZANO/RS Um jardim em formato circular medindo 4m de diâmetro foi construído no centro de uma praça. Qual é a área, em m², esse jardim? Utilize o valor de π=3,14. A) 12,56. B) 24,12. C) 32,48. D) 40,82. E) 50,24.

81 PREF DE FOZ OD IGUAÇU/PR O perímetro de um retângulo é de 2.040m. A medida de um lado desse retângulo é um quarto da medida do outro lado. As dimensões desse retângulo é: A) 51m e 102m. B)50m e 200m. C) 153m e 612m. D)102m e 408m. E)204m e 816m.

82 Questões FUNDATECE : C-A-E GABARITOS

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