Matemática GEOMETRIA PLANA. Professor Dudan

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1 Matemática GEOMETRIA PLANA Professor Dudan

2 Ângulos Geometria Plana Ângulo é a região de um plano concebida pelo encontro de duas semirretas que possuem uma origem em comum, chamada vértice do ângulo. A unidade usual de medida de ângulo, de acordo com o sistema internacional de medidas, é o grau, representado pelo símbolo, e seus submúltiplos são o minuto e o segundo. Temos que 1º (grau) equivale a 60 (minutos) e 1 equivale a 60 (segundos).

3 Tipos de Ângulo Geometria Plana Ângulos Complementares: dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas é igual a 90. Neste caso, cada um é o complemento do outro. Na ilustração temos que: α + β = 90

4 Ângulos Suplementares: dois ângulos são Suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180. Neste caso, cada um é o suplemento do outro. Na ilustração temos que: Geometria Plana α + β = 180

5 Ângulos Replementares: dois ângulos são replementares quando a soma de suas medidas é igual a 360. Neste caso, cada um é o replemento do outro. Na ilustração temos que: Geometria Plana α + β = 360º

6 Exemplo: Assinale V para verdadeiro e F para falso nas sentenças abaixo ( ) 80º e 10º são suplementares. Geometria Plana ( ) 30º e 70º são complementares. ( ) 120º e 60º são suplementares. ( ) 20º e 160º são complementares. ( ) 140º e 40º são complementares. ( ) 140º e 40º são suplementares.

7 Ângulos de um Polígono Geometria Plana A soma dos ângulos internos de qualquer polígono depende do número de lados (n), sendo usada a seguinte expressão para o cálculo:

8 Diagonais de um polígono Geometria Plana Diagonal de um polígono é o segmento de reta que liga um vértice ao outro, passando pelo interior da figura. O número de diagonais de um polígono depende do número de lados (n) e pode ser calculado pela expressão:

9 Exemplo: Dada a figura abaixo, analise as sentenças I. O triângulo CDE é isósceles. II. O triângulo ABE é equilátero. III. AE é bissetriz do ângulo BÂD. é verdade que (A) somente a I é falsa. (B) somente a II é falsa. (C) somente a III é falsa. (D) são todas falsas. (E) são todas verdadeiras. Geometria Plana

10 Teorema de Pitágoras Geometria Plana O teorema de Pitágoras é uma relação matemática entre os comprimentos dos lados de qualquer triângulo retângulo. Na geometria euclidiana, o teorema afirma que: Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos. Por definição, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e os catetos são os dois lados que o formam. Assim podemos equacionar

11 Geometria Plana Exemplo Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.

12 Geometria Plana Triângulos Retângulos PITAGÓRICOS Existem alguns tipos especiais de triângulos retângulos cujos lados são proporcionais a:

13 Geometria Plana Exemplo Roberto irá cercar uma parte de seu terreno para fazer um canil. Como ele tem um alambrado de 10 metros, decidiu aproveitar o canto murado de seu terreno (em ângulo reto) e fechar essa área triangular esticando todo o alambrado, sem sobra. Se ele utilizou 6 metros de um muro, do outro muro ele irá utilizar, em metros. (A) 7. (B) 5. (C) 8. (D) 6. (E) 9.

14 Geometria Plana Triângulo é uma figura geométrica formada por três retas que se encontram duas a duas e não passam pelo mesmo ponto, formando três lados e três ângulos. Para fazer o cálculo do perímetro de um triângulo basta fazer a soma da medida de todos os lados. A soma dos ângulos internos é sempre 180.

15 Geometria Plana Observando o triângulo podemos identificar alguns de seus elementos: A, B e C são os vértices. Os lados dos triângulos são simbolizados pelas letras a, b e c. Os triângulos ele tem 3 lados, consequentemente, 3 ângulos.

16 Geometria Plana Quanto à medida do seu lado Triângulo Equilátero: apresenta os três lados com a mesma medida. Triângulo Isósceles: apresenta dois lados com a mesma medida. Triângulo Escaleno: apresenta os três lados com medidas diferentes, ou seja, três lados de tamanhos diferentes.

17 Geometria Plana Quanto à medida dos ângulos Triângulo Acutângulo: apresenta os três ângulos internos menores agudos. Triângulo Obtusângulo: apresenta ângulo interno maior que 90 º ou obtuso. Triângulo Retângulo: apresenta um ângulo interno reto ou de 90 o.

18 Geometria Plana TRIÂNGULO RETÂNGULO

19 Área de Triângulos Geometria Plana A área de um triângulo é a metade do produto da medida da sua altura pela medida da sua base. Assim, a área do triângulo pode ser calculada pela fórmula: onde h é a altura do triângulo, b a medida da base.

20 Geometria Plana Exemplo Determinar a área do triângulo a seguir considerando que a sua base mede 23 metros e a altura 12 metros.

21 Geometria Plana Exemplo A área do triângulo sombreado da figura abaixo é

22 Geometria Plana TRIGONOMETRIA no TRIÂNGULO RETÂNGULO

23 Geometria Plana Composição do Triângulo Retângulo Catetos: correspondem aos lados que compõem o ângulo reto, formada por dois catetos: adjacente e oposto. Hipotenusa: lado oposto ao ângulo reto considerado o maior lado do triângulo retângulo.

24 Geometria Plana Relações Trigonométricas

25 PRINCIPAIS ÂNGULOS Geometria Plana

26 Geometria Plana Casos Especiais Caso : Coisa, 2Coisa e Coisa

27 Casos Especiais Geometria Plana Caso : Triangulo Retângulo Isósceles

28 Geometria Plana Exemplo Considerando o triângulo retângulo ABC da figura, determine as medidas a e b indicadas.

29 Geometria Plana Exemplo Encontre os valores de x e y nos triângulos retângulos abaixo.

30 Geometria Plana Exemplo No triângulo retângulo da figura abaixo, determine as medidas de x e y indicadas. (Use: sen 65 = 0,91; cos 65 = 0,42 ; tg 65 = 2,14)

31 Geometria Plana Exemplo Uma escada de 2m de comprimento está apoiada no chão e em uma parede vertical. Se a escada faz 30 com a horizontal, a distância do topo da escada ao chão é de: (A) 0,5 m (B) 1 m (C) 1,5 m (D) 1,7 m (E) 2 m

32 Geometria Plana QUADRILÁTEROS

33 Quadriláteros Geometria Plana Um quadrilátero é um polígono de quatro lados. Em geral, um quadrilátero será uma figura geométrica limitada por quatro lados, todos diferentes e que formam entre si quatro ângulos internos também diferentes. Em qualquer caso, a soma dos valores dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre 360.

34 Geometria Plana Algumas Propriedades dos quadriláteros: 1. A soma dos seus ângulos internos é A soma dos seus ângulos externos é Todos os quadriláteros apresentam 2 diagonais.

35 Geometria Plana Exemplo Determine a medida dos ângulos indicados:

36 Classificação Geometria Plana Os quadriláteros classificam-se em paralelogramos e trapézios. Paralelogramos : são quadrilátero de lados opostos paralelos. Exemplos: Retângulo - Paralelogramo em que todos os ângulos são retos. O retângulo cujos lados são congruentes chama-se quadrado. Quadrado- Retângulo cujos lados tem medidas iguais. Losango, paralelogramo.

37 Exemplo Observe os paralelogramos e, considerando as propriedades estudadas, determine: a) MN e NP b) x e y

38 Trapézios: são quadrilátero que tem dois e só dois lados opostos paralelos. Exemplos: Trapézio Escaleno: tem todos os lados de medidas distintas. Trapézio Retângulo: tem dois ângulos retos. Trapézio Isósceles: tem os lados não paralelos com a mesma medida.

39 Principais Quadriláteros Trapézio Geometria Plana Características: Apresenta 2 lados paralelos apenas.

40 Geometria Plana Paralelogramo Características: Lados paralelos congruentes, ângulos opostos congruentes.

41 Geometria Plana Losango Características: Lados paralelos congruentes, todos os lados de mesma medida, ângulos opostos congruentes, diagonais cortam-se nos seus pontos médios e são perpendiculares entre si.

42 Retângulo Geometria Plana Características: Todos os ângulos internos são retos, lados paralelos congruentes, diagonais de mesma medida e que se cortam nos seus pontos médios.

43 Quadrado Geometria Plana Características: Todos os ângulos internos são retos, lados paralelos congruentes, todos os lados de mesma medida, diagonais de mesma medida, perpendiculares entre si e que se cortam nos seus pontos médios.

44 Geometria Plana Exemplo O perímetro e a área da sala representada na figura valem: (A) 20m e 15 m 2 (B) 18m e 17 m 2 (C) 20 m e 19 m 2 (D) 20m e 20 m 2

45 FIGURAS CIRCULARES

46 DEFINIÇÃO Geometria Plana De acordo com a Geometria Euclidiana, circunferência é o espaço geométrico de uma região circular que compreende todos os pontos de um plano, localizados a uma determinada distância, denominada raio, de um ponto chamado centro. Podemos definir o círculo como a região interna da circunferência. A circunferência limita o círculo, observe a ilustração a seguir:

47 Geometria Plana A circunferência e o círculo possuem um elemento denominado diâmetro, que constitui em um segmento que passa pelo centro da figura. Outro segmento importante pertencente às duas figuras é o raio, que corresponde à metade do diâmetro. Observe a figura:

48 E o famoso valor E O FAMOSO π? Há duas interpretações distintas quanto ao valor do π: Como constante matemática,costumamos definir PI como sendo a razão entre a circunferência e o diâmetro de um circulo, ou seja vale aproximadamente 3,14. Agora quando trabalhamos com ângulos, temos a seguinte relação: π rad = 180 Geometria Plana

49 1 CÍRCULO / CIRCUNFERÊNCIA Geometria Plana

50 Geometria Plana Exemplo Calcule o valor da área e do perímetro dos círculos abaixo:

51 2 SETOR CIRCULAR Geometria Plana

52 3 COROA CIRCULAR Geometria Plana

53 Geometria Plana Exemplo Determine a área da coroa circular da figura a seguir, considerando o raio da circunferência maior igual a 10 metros e raio da circunferência menor igual a 8 metros.

54 Comprimento ou Perímetro

55 Definição Geometria Plana O perímetro é a medida do contorno de um objeto bidimensional, ou seja, a soma de todos os lados de uma figura geométrica. Imagine a seguinte situação: Um fazendeiro quer descobrir quantos metros de arame serão gastos para cercar um terreno de pastagem com formato retangular. Como ele deveria proceder para chegar a uma conclusão? De maneira bem intuitiva, concluímos que ele precisa determinar as medidas de cada lado do terreno e então, somá-las, obtendo o quanto seria gasto. A esse procedimento damos o nome de perímetro.

56 Geometria Plana 1 TRIÂNGULO RETÂNGULO

57 2 TRIÂNGULO EQUILÁTERO Geometria Plana

58 3 QUADRADO Geometria Plana

59 4 - RETÂNGULO Geometria Plana

60 5 - LOSANGO Geometria Plana

61 6 - CÍRCULO Geometria Plana

62 Geometria Plana ÀREA Área é um conceito matemático que pode ser definida como quantidade de espaço bidimensional, ou seja, de superfície. Existem várias unidades de medida de área, sendo a mais utilizada o metro quadrado (m²) e os seus múltiplos e submúltiplos. Para não haver erro, lembre-se: Área é o que eu posso pintar

63 Geometria Plana

64 Exemplo Geometria Plana

65 Geometria Plana

66 Exemplo Geometria Plana

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73 Geometria Plana

74 Cuidado! Primeiro, faremos um exemplo conhecendo as medidas do retângulo, depois faremos a generalização. Considere o retângulo Sua área será de: A 1 = 10 x 3 = 30 cm 2 Agora, vamos duplicar as medidas dos lados. A área desse novo retângulo será de A 2 = 20 x 6 = 120 cm 2 Observe que ao dobrar as medidas dos lados do retângulo sua área mais que dobrou, na verdade quadruplicou.

75 Geometria Plana Exemplo No desenho abaixo, uma cruz é formada por cinco quadrados de lado 1 justapostos. A área do quadrado ABCD é: (A) 4. (B) 5. (C) 6. (D) 7. (E) 8.

76 Geometria Plana Exemplo Seja o octógono EFGHIJKL inscrito num quadrado de 12cm de lado, conforme mostra a figura a seguir. Se cada lado do quadrado está dividido pelos pontos assinalados em segmentos congruentes entre si, então a área do octógono, em centímetros quadrados, é: (A) 98. (B) 102. (C) 108. (D) 112. (E) 120.

77 GEOMETRIA PLANA

78 COMO A FUNDATEC COBRA ISSO?

79 POLÍCIA MILITAR/RS O desnível entre a calçada e a garagem da residência de Pablo é de 1,5m. Sabe-se que a rampa de acesso da calçada para a garagem possui inclinação de 30 com a horizontal. O comprimento dessa rampa mede: (Dados: sem 30 = 0,5, cós 30/ = 0,86, tg 30 = 0,58) A)1,75 m aproximadamente. B)2m. C) 3m. D) 3,45 m aproximadamente. E)4m.

80 PREF DE LIBERATO SALZANO/RS Um jardim em formato circular medindo 4m de diâmetro foi construído no centro de uma praça. Qual é a área, em m², esse jardim? Utilize o valor de π=3,14. A) 12,56. B) 24,12. C) 32,48. D) 40,82. E) 50,24.

81 PREF DE FOZ OD IGUAÇU/PR O perímetro de um retângulo é de 2.040m. A medida de um lado desse retângulo é um quarto da medida do outro lado. As dimensões desse retângulo é: A) 51m e 102m. B)50m e 200m. C) 153m e 612m. D)102m e 408m. E)204m e 816m.

82 Questões FUNDATECE : C-A-E GABARITOS