MATEMÁTICA A - 11o Ano Geometria - Produto escalar

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1 MMÁI - 11o no Geometria - roduto escalar ercícios de eames e testes intermédios 1. onsidere, num referencial o.n., dois pontos distintos, e eja o conjunto dos pontos desse plano que verificam a condição. = 0 (. designa o produto escalar de por ). ual das seguintes afirmações é verdadeira? () conjunto é a mediatri do segmento de reta [] () conjunto é o segmento de reta [] () conjunto é o triângulo [] () conjunto é a circunferência de diâmetro [] ame 2017, Ép. especial 2. Na figura ao lado, está representado, num referencial o.n., um cilindro de revolução de altura 3 o ponto tem coordenadas (1,2,0) e é o centro da base inferior do cilindro, a qual está contida no plano o ponto tem coordenadas (1,3,0) e pertence à circunferência que delimita a base inferior do cilindro; o ponto é o centro da base superior do cilindro. eja α o plano que passa no ponto e que é perpendicular à reta r definida pela condição = = 1. eja o ponto desse plano de abcissa e ordenada iguais a 2 etermine a amplitude do ângulo presente o resultado em graus, arredondado às unidades. e, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais. ame 2017, Ép. especial ágina 1 de 12

2 3. Na figura ao lado, está representado, num referencial o.n., o cubo [F GH] a face [] está contida no plano F G H a aresta [] está contida no eio o ponto tem coordenadas (0,4,0) o plano G é definido pela equação + 6 = 0 eja o vértice de uma pirâmide regular de base [F GH] a cota do ponto é superior a 2 o volume da pirâmide é 4 etermine a amplitude do ângulo G presente o resultado em graus, arredondado às unidades. e, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais. ame 2017, 2 a Fase 4. Na figura ao lado, está representado, num referencial o.n., o prisma quadrangular regular [ U ] U a face [ ] está contida no plano o vértice pertence ao eio e o vértice pertence ao eio o plano U tem equação = 3 etermine o valor do produto escalar U. ame 2017, 1 a Fase 5. Na figura ao lado, está representado, num referencial o.n., o prisma quadrangular regular [F G] os pontos, e pertencem aos eios coordenados, e, respetivamente; o ponto tem coordenadas (0,2,0) F G o plano F é definido pela equação = 0 eja o ponto de cota igual a 1 que pertence à aresta [G] eja o simétrico do ponto relativamente à origem. etermine a amplitude do ângulo presente o resultado em graus, arredondado às unidades. e, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais. ame 2016, Ép. especial ágina 2 de 12

3 6. onsidere, num referencial o.n., o plano α definido pela equação = 0 ejam e os pontos pertencentes ao plano α, tais que pertence ao semieio positivo e pertence ao semieio positivo eja um ponto com cota diferente de ero e que pertence ao eio Justifique, recorrendo ao produto escalar de vetores, que o ângulo é agudo. ame 2016, 2 a Fase 7. Na figura ao lado, está representado um triângulo isósceles [] = = 2 Â = 75 ual é o valor do produto escalar.? () 2 () 2 2 () 3 () ame 2016, 1 a Fase 8. s segmentos de reta [] e [] são lados consecutivos de um heágono regular de perímetro 12 ual é o valor do produto escalar.? () 3 () 2 () 2 () 3 9. onsidere, num referencial o.n., o plano β definido pela condição = 0 onsidere o ponto (1,2,3) eja o ponto de intersecção do plano β com o eio eja o simétrico do ponto relativamente ao plano etermine a amplitude do ângulo presente o resultado em graus, arredondado às unidades. ame 2015, Ép. especial ame 2015, Ép. especial ágina 3 de 12

4 10. Na figura seguinte, está representado, num referencial o.n., o poliedro [N U ] que se pode decompor num cubo e numa pirâmide quadrangular regular. o vértice pertence ao eio o vértice N pertence ao eio o vértice pertence ao eio o vértice tem coordenadas (2,2,2) o plano é definido pela equação = 0 eja um ponto pertencente ao plano o ponto tem cota igual ao cubo da abcissa; os vetores e são perpendiculares. etermine a abcissa do ponto, recorrendo à calculadora gráfica. Na sua resposta: equacione o problema; reprodua, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) que visualiar na calculadora e que lhe permite(m) resolver a equação, devidamente identificado(s) (sugere-se a utiliação da janela de visualiação em que [ 4,4] e [ 2,7]); apresente a abcissa do ponto arredondada às centésimas. U N ame 2015, 2 a Fase 11. onsidere, num referencial o.n., os pontos (0,0,2) e (4,0,0) eja o ponto pertencente ao plano tal que: a sua abcissa é igual à abcissa do ponto a sua ordenada é positiva; Â = π 3 etermine a ordenada do ponto ame 2015, 1 a Fase 12. Na figura ao lado, está representado um pentágono regular [] abe-se que = 1. ( π ) Mostre que = 1 2 sen 2 5 Nota:. designa o produto escalar do vetor pelo vetor ame 2014, 2 a Fase ágina 4 de 12

5 13. Na figura ao lado, está representado, num referencial o.n., o cubo [F G], de aresta 3 o ponto pertence ao semieio positivo o ponto pertence ao semieio negativo o ponto pertence ao semieio positivo o ponto H tem coordenadas (3, 2,3) eja α a amplitude, em radianos, do ângulo H etermine o valor eato de sen 2 α, sem utiliar a calculadora. F G H ame 2014, 1 a Fase 14. Na figura ao lado, está representado um triângulo equilátero [] eja a o comprimento de cada um dos lados do triângulo. eja M o ponto médio do lado [] M Mostre que. M = 3a 2 4 Nota:. M designa o produto escalar do vetor pelo vetor M a este Intermédio 11 o ano Num referencial o.n., considere um ponto que tem ordenada igual a 4 e cota igual a 1 onsidere também o vetor u de coordenadas (2, 3, 6) abe-se que os vetores e u são perpendiculares. ual é a abcissa do ponto? () 1 () 2 () 3 () 4 este Intermédio 11 o ano Na figura ao lado, está representado um quadrado [] de lado igual a 4 dmita que o ponto pertence ao segmento [] e que o triângulo [] tem área igual a 6 etermine o valor eato de., sem recorrer à calculadora. este Intermédio 11 o ano ágina 5 de 12

6 17. No referencial o.n. da figura ao lado, estão representados o quadrado [] e o retângulo [ ] s pontos e pertencem ao semieio positivo e os pontos e pertencem ao semieio positivo ponto pertence ao interior do quadrado [] = a = b = b rove que as retas e são perpendiculares. este Intermédio 11 o ano e um triângulo isósceles [] sabe-se que: os lados iguais são [] e [], tendo cada um deles 8 unidades de comprimento; cada um dos dois ângulos iguais tem 30 de amplitude. ual é o valor do produto escalar.? () 32 3 () 32 () 64 () 64 3 este Intermédio 11 o ano Na figura ao lado, está representado, em referencial o.n., o poliedro [ N U ], que se pode decompor num cubo e numa pirâmide quadrangular regular. a base da pirâmide coincide com a face superior do cubo e está contida no plano N o ponto pertence ao eio o ponto U tem coordenadas (4, 4, 4) onsidere um ponto, com a mesma abcissa e com a mesma ordenada do ponto U abe-se que. = 8 etermine a cota do ponto U este Intermédio 11 o ano Na figura ao lado, está representado o quadrado [] o ponto I é o ponto médio do lado [] o ponto J é o ponto médio do lado [] rove que I. J = 2 ugestão: comece por eprimir cada um dos vectores I e J como soma de dois vectores. I J este Intermédio 11 o ano ágina 6 de 12

7 21. eja [] um diâmetro de uma esfera de centro e raio 4 ual é o valor do produto escalar.? () 16 () 16 () 4 2 () 4 2 este Intermédio 11 o ano este Intermédio 11 o ano (adaptado) 22. Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n., a circunferência de equação ( 4) 2 + ( 1) 2 = 25 ponto é o centro da circunferência. e são dois pontos da circunferência. área da região sombreada é 25π 6 etermine o valor do produto escalar. 23. Na figura seguinte, está representada uma circunferência de centro e raio r este Intermédio 11 o ano [] é um diâmetro da circunferência o ponto pertence à circunferência α é a amplitude do ângulo [] é perpendicular a [] rove que ( α ). = 4r 2 cos 2 2 r α ugestão: ercorra as seguintes etapas: Justifique que o triângulo [] é isósceles Justifique que = 2 Justifique que a amplitude do ângulo é α 2 screva, em função de α 2 e de r onclua que ( α ). = 4r 2 cos 2 2 este Intermédio 11 o ano ágina 7 de 12

8 24. Na figura ao lado estão representadas, em referencial o.n., uma reta e uma circunferência com centro na origem e raio igual a 5 s pontos e pertencem à circunferência. ponto também pertence ao eio das abcissas. ponto tem coordenadas (3,4) 5 eja o ponto de coordenadas ( 3,16) erifique que o triângulo [] é retângulo em este Intermédio 11 o ano Na figura ao lado está representado, em referencial o.n., um cubo [ U ] de aresta 5 vértice do cubo coincide com a origem do referencial. s vértices, e do cubo pertencem aos semieios positivos, e, respetivamente. M U N triângulo escaleno [M N ] é a secção produida no cubo pelo plano α de equação = 125 eja β a amplitude, em graus, do ângulo MN. etermine β presente o resultado arredondado às unidades. e, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. ugestão: comece por determinar as coordenadas dos pontos M e N este Intermédio 11 o ano Na figura ao lado estão representados dois vetores, e, de normas 12 e 15, respetivamente. No segmento de reta [] está assinalado um ponto No segmento de reta [] está assinalado um ponto triângulo é retângulo [] e os seus lados têm 3, 4 e 5 unidades de comprimento. Indique o valor do produto escalar () 108 () 128 () 134 () 144 este Intermédio 11 o ano Na figura ao lado está representado um retângulo [] Mostre que o produto escalar. é igual a 2 este Intermédio 11 o ano ágina 8 de 12

9 28. Na figura ao lado estão representados, em referencial o. n., um prisma e uma pirâmide quadrangulares regulares, com a mesma altura. base do prisma, que coincide com a base da pirâmide, está contida no plano. vértice pertence ao eio. W U vértice pertence ao eio. vértice pertence ao eio. vértice U tem coordenadas (2,2,4). alcule a amplitude do ângulo W. presente o resultado em graus, arredondado às unidades. Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. 29. Na figura seguinte está representada uma circunferência de centro e raio 1 s pontos e são etremos de um diâmetro da circunferência. ame 2001, Ép. especial (cód. 135) onsidere que um ponto, partindo de, se desloca sobre o arco, terminando o seu percurso em ara cada posição do ponto, seja a amplitude, em radianos, do ângulo. eja f a função que, a cada valor de [0,π], fa corresponder o valor do produto escalar. ual dos gráficos seguintes pode ser o da função f? () () 1 1 π π 1 1 () () 1 1 π 2 π π ame 2001, rova para militares (cód. 435) ágina 9 de 12

10 30. onsidere, num referencial o.n., duas retas, r e s, de equações, respetivamente. 1 2 = = e (,,) = (1, 1,0) + k(2,1, 1), k etermine a amplitude do ângulo formado pelas retas r e s. presente o resultado em graus, aproimado às unidades. Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais. 31. onsidere um vetor tal que = 1 ual é o valor do produto escalar.? () 1 () 1 () 0 () 2 ame 2001, 1 a fase - 1 a chamada (cód. 135) ame 2001, rova Modelo (cód. 135) ame 2000, 2 a Fase (cód. 135) 32. Na figura ao lado está representada, em referencial o.n., uma pirâmide quadrangular regular. base da pirâmide é paralela ao plano ponto tem coordenadas (8,8,7) ponto pertence ao plano ponto pertence ao eio ponto pertence ao plano ponto é o centro da base da pirâmide vértice da pirâmide pertence ao plano etermine a amplitude do ângulo presente o resultado em graus, com aproimação à décima de grau. ame 2000, Ép. special (setembro) (cód. 135) ame 1999, rova de reserva (cód. 135) 33. Na figura ao lado está representada, em referencial o.n., um prisma triangular regular. vértice coincide com a origem do referencial vértice pertence ao semieio positivo vértice pertence ao semieio positivo segmento [] tem comprimento 6 Indique, justificando, o valor do produto escalar. ame 2000, 1 a fase - 2 a chamada (cód. 135) ágina 10 de 12

11 34. Na figura seguinte estão representados três pontos, em referencial o.n. o ponto tem coordenadas (0,5,2) o ponto pertence ao plano (3,0,1) o ponto pertence ao plano (4,2,0) Mostre que o triângulo [] é retângulo em ame 1999, 2 a fase (cód. 135) 35. Na figura ao lado está representado um paralelepípedo retângulo [ U X] ual das afirmações seguintes é verdadeira? X U (). U = 0 () U. X = 0 (). U = 0 (). = 0 ame 1999, 1 a Fase - 2 a hamada (cód. 135) 36. e dois vetores p e q sabe-se que têm ambos norma igual a 3 e que p q = 9 ( p q designa o produto escalar de p por q). Indique qual das afirmações seguintes é verdadeira. () p + q = 0 () p q = 0 () p q () ângulo dos vetores p e q é agudo 37. onsidere, num referencial o.n.,uma pirâmide triangular não regular [ ] ame 1998, rova para militares (cód. 135) em-se que: vértice da pirâmide é a origem do referencial vértice tem coordenadas (0,4,2) ponto tem coordenadas (2,2,2) ponto tem coordenadas (3,3,0) Uma equação do plano é = 0 Uma equação do plano é + + = 6 Uma equação do plano é + 2 = 0 Mostre que o ângulo é reto. ame 1998, rova de reserva (cód. 135) ágina 11 de 12

12 38. onsidere, num referencial o.n., os pontos (5,0,0) e (0,3,1) 1 etermine as coordenadas de um ponto, pertencente ao eio e de cota positiva, de tal modo que o triângulo [] seja retângulo em 5 3 ame 1998, 2 a fase (cód. 135) 39. Na figura ao lado está representado um tetraedro regular (sólido geométrico com quatro faces, que são todas triângulos equiláteros).,, e e são os vértices do tetraedro = 6 valor do produto escalar. é () 18 () 18 2 () 36 () 36 2 ame 1998, 1 a fase - 1 a chamada (cód. 135) 40. onsidere, num referencial o.n., um cilindro de revolução como o representado na figura ao lado. base inferior do cilindro tem centro na origem do referencial e está contida no plano [] é um diâmetro da base inferior, contido no eio. ponto tem coordenadas (0, 5,0) ponto pertence à circunferência que limita a base inferior do cilindro e tem coordenadas (4,3,0) reta r passa no ponto e é paralela ao eio ponto pertence à reta r e à circunferência que limita a base superior do cilindro. Justifique que a reta é perpendicular à reta ame 1997, 1 a fase - 1 a chamada (cód. 135) ágina 12 de 12