MATEMÁTICA A - 11o Ano Geometria -Trigonometria Propostas de resolução

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1 MTEMÁTI - o no Geometria -Trigonometria ropostas de resolução Eercícios de eames e testes intermédios. bservando que os ângulos e RQ têm a mesma amplitude porque são ângulos de lados paralelos), relativamente ao triângulo [ QR, vem que: QR cos R sen a altura do triângulo, relativa ao lado [QR é h R sen esta forma, a área do triângulo é: [ QR QR h cos sen sen cos sen cos Q cos sen R sen Resposta: pção. Identificando as medidas relevantes para o cálculo da área do trapézio, temos que: Eame 06, a Fase adaptado) a base menor é a ordenada o ponto, ou seja, como R é um ponto do quarto quadrante, então temos que cos > 0, pelo que a altura do trapézio [ QR é: Q cos como R é um ponto do quarto quadrante, então temos que sen < 0, pelo que a base maior do trapézio [ QR é: QR + sen ) sen esta forma, a área do trapézio é: + QR [ QR Q + sen cos sen cos cos sen cos sen cos cos Resposta: pção. omo na figura está representado o círculo trigonométrico, temos que:, sen, cos e tg Eame 06, a Fase Temos que a área do quadrilátero [ pode ser obtida pela diferença das áreas dos triângulos [ e [, [ [ [ ssim, vem que: Resposta: pção [ tg cos sen tg sen cos Eame 0, a Fase adaptado) ágina de 0

2 . triângulo [ é retângulo em,, e [ é o cateto oposto ao ângulo, temos que: Logo, tg [ tg tg tg tg área do setor circular de centro, raio e amplitude delimitado pelo arco ) é r omo a área da zona sombreada S ) pode ser calculada como a diferença entre as áreas do triângulo [ e o setor circular de centro e delimitado pelo arco, temos que Resposta: pção S [ tg tg Eame 0, Ép. especial ágina de 0

3 ... omo o lado [ R do triângulo [ QR é um diâmetro da circunferência e o vértice Q pertence à mesma circunferência, podemos garantir que o triângulo [ QR é retângulo, sendo [ R a hipotenusa. omo a circunferência tem raio, vem que R, e assim, recorrendo à definição de seno e cosseno temos: sen QR R sen QR cos Q R cos Q omo os lados [QR e [ Q são perpendiculares, temos que: [ QR QR Q sen cos QR sen Q cos 8 sen cos omo o triângulo [ SR é congruente com o triângulo [ QR ambos têm ângulo reto e dois lados iguais), vem que: [ QRS [ QR + [ SR [ QR 8 sen cos 6 sen cos.. omo tg θ e tg θ + cos, temos que: θ ) + cos θ + cos θ 9 cos θ cos θ 9 cos θ ± 9 cos θ ± E, pela fórmula fundamental da trigonometria, vem: θ 0, π [ cos θ sen θ+ 9 sen θ 9 sen θ 8 9 sen θ ± 8 9 sen θ ± Finalmente, recorrendo epressão da área do quadrilátero [ QRS, deduzida antes, temos que: 6 9 θ 0, π [ sen θ Eame 0, a Fase adaptado) 6. omo sen cos Temos que cos π [ omo,π, logo cos < 0, pelo que cos cos ssim, cos cos ) +cos esta forma, temos que: Resposta: pção [ sen + cos ) + cos ) sen Eame 0, a Fase ágina de 0

4 7. omo π, π [, temos que é a amplitude de um ângulo do o quadrante. ssim, temos que: sen < 0 cos < 0 tg > 0 ssim, analisando cada uma das hipóteses, vem que: sen + cos < 0 porque é a soma de valores negativos) cos < 0 porque é o quociente de um valor negativo por um positivo) tg tg sen > 0 porque é a diferença entre um valor positivo e um negativo, ou de forma equivalente, a soma de dois valores positivos) sen tg porque é o produto de um valor negativo por um positivo) Resposta: pção Teste Intermédio o ano omo no intervalo [0,π[ a equação sen 0, tem soluções, então: no intervalo [0,π 0[ [0,0π[ a equação sen 0, tem 0 soluções, correspondentes a 0 repetições das duas soluções iniciais por cada uma das 0 voltas completas no círculo trigonométrico, no sentido positivo). nalogamente, no intervalo [ π 0,0[ [ 0π,0[ a equação sen 0, tem 0 soluções, correspondentes a 0 repetições das duas soluções iniciais por cada uma das 0 voltas completas no círculo trigonométrico, no sentido negativo). 0, 0, ssim, temos que, no intervalo [ 0π,0π[, a equação trigonométrica sen 0, tem soluções. Resposta: pção Teste Intermédio o ano omo os ângulos e são ângulos verticalmente opostos, também é a amplitude do ângulo. omo [ e [Q são raios da semicircunferência,, e assim, recorrendo à definição de seno e tangente temos: sen QR Q QR sen tg tg QR sen tg R Q E assim, temos que a área do polígono [Q pode ser calculada como a soma das áreas do triângulo [Q com a do retângulo [ subtraindo a área do triângulo [ : [Q [Q + [ [ sen + tg sen QR + + tg tg + sen ágina de 0

5 ) π 9.. omo cos sen como se pretende ilustrar na figura ao lado), então temos que: ) π cos sen ) sen ssim, recorrendo à fórmula fundamental da trigonometria, vem: ) + cos cos 9 cos 6 cos ± omo 0, π, então cos > 0, e assim, temos que: cos alculando o valor da tangente de, vem: tg sen cos π E assim, substituindo os valores de tg e sen na epressão da área do polígono [Q, obtemos a área para a posição do ponto : Teste Intermédio o ano Vamos considerar a medida da altura do triângulo e E a medida da base. Sabemos que, porque é a medida do raio da circunferência. omo [ é a hipotenusa do triângulo e [ o cateto oposto ao ângulo, usando o seno do ângulo temos que: sen sen sen or outro lado, como [ é o cateto adjacente, usando a definição de cosseno, temos: cos cos cos omo E 6 temos que: Logo, calculando a área do triângulo, obtemos: [E E E E + E 6 + cos 6 + cos )sen ) 6 sen + sen cos sen 6 + cos ) Eame 0, Ép. especial adaptado) ágina de 0

6 . omeçamos por definir o ponto,0) e o ângulo, cuja amplitude é π. ssim, como sabemos que que, podemos usar a definição de cosseno podemos calcular : cosπ ) omo cosπ ) cos, temos que: cosπ ) cosπ ) r cosπ ) cos cos epois, calculamos recorrendo à definição de tangente: tg π ) tg π ) tg π ) π omo tg π ) tg, temos que: tg π ) tg omo e, calculado a epressão do perímetro vem: [ tg ) + ) cos 6 tg 6 cos Eame 0, a Fase adaptado). [ Representando as amplitudes dos ângulos do intervalo π 6,π no círculo trigonométrico, podemos verificar que, neste intervalo: sen cos omo 0,87, temos que 0,9 <, pelo que a equação sen 0,9 não tem soluções no intervalo considerado. π π 6 Resposta: pção Teste Intermédio o ano ágina 6 de 0

7 ... omo o círculo representado é o círculo trigonométrico, então, temos que, e que as coordenadas do ponto são cos, sen ) omo o ponto Q é simétrico do ponto relativamente ao eio então os dois pontos têm ordenadas iguais e abcissas simétricas, pelo que as coordenadas do ponto Q são cos, sen ) π [ e assim, como,π, ou seja, no segundo quadrante, temos sen cos cos Q que cos < 0, pelo que Q cos omo o ponto R tem a mesma abcissa que o ponto Q, e como é um ângulo do segundo quadrante, sen > 0, pelo que RQ sen e como o ponto R pertence ao semieio positivo, vem que R cos cos R esta forma, considerando a base maior do trapézio o lado [ Q, a base menor o lado [R e a altura o lado [RQ, temos que a área ) do trapézio é dada por: Q + R RQ cos + cos ) sen cos sen sen cos.. omo a reta intersecta a reta de equação no ponto de ordenada 7, temos que tg 7 omo tg + cos, temos que: 7 ) + cos cos 6 76 cos cos 6 76 cos cos ± 6 cos cos<0 7 Logo, recorrendo à fórmula fundamental da trigonometria, vem: sen sen 76 6 sen 9 6 sen ± 7 sen 7 sen >0 Logo, de acordo com a epressão da área do trapézio [ QR, ) sen cos, para a posição do ponto definida, a área, na forma de fração irredutível, é: 7 ) Teste Intermédio o ano ágina 7 de 0

8 . efinindo o ponto, como o ponto médio do lado [, a área da região sombreada pode ser calculada como a diferença entre a área do quadrado e a soma das áreas de 8 triângulos retângulos o triângulo [E e os restantes 7 semelhantes a este): [EF GH [ 8 [E omo é o ponto médio de [, temos que, podemos determinar E, recorrendo à definição de tangente de um ângulo: H G E F tg E tg E ssim, calculando a área da região sombreada, vem: [EF GH [ 8 [E 8 E tg E 6 8 tg 6 6 tg 6 tg ) 8 tg Eame 0, a Fase. onsiderando um ponto, sobre o lado [ do trapézio, tal que o segmento [ seja perpendicular ao lado [, consideramos o ângulo com amplitude π omo, recorrendo à definição de cosseno, temos: cos π ) cos ) π π e como cos ) π sen, temos que: sen a definição de tangente de um ângulo, e como tg ) π tg temos: tg Logo, o perímetro do trapézio é: π ) tg π ) tg [ sen + ) tg + sen sen cos + sen cos sen + cos sen Eame 0, a Fase ágina 8 de 0

9 6. Usando a definição de seno, temos: sen Q sen Q e usando a definição de cosseno, vem: Q sen cos Q cos Q Q cos Q alculando a área do triângulo vem: [ Q + Q) Q + cos ) sen ) sen + sen cos sen + sen cos ) sen + cos ) sen + sen cos Teste Intermédio o ano.0.0 adaptado) 7. Representando no círculo trigonométrico um ângulo de amplitude θ, tal que, sen θ como na figura ao lado), podemos verificar que, a representação do ângulo com amplitude π + θ verifica a condição sen π + θ), ou seja: sen π + θ) sen θ E assim, de entre as opções apresentadas π + θ é a única solução da θ π + θ equação sen Resposta: pção Teste Intermédio o ano onsiderando que o altura assinalas na figura divide o triângulo [ em dois triângulos retângulos cujas hipotenusas são os lados [ e [ e usando a definição de seno, temos que: sen h E como sen 0, vem que: sen 0 sen h h sen h h h sen sen h 0 Resposta: pção Teste Intermédio o ano ágina 9 de 0

10 e acordo com a sugestão apresentada, como o ponto se move sobre a circunferência que delimita o círculo trigonométrico, temos que as coordenadas do ponto, são cos, sen ) ssim como as coordenadas do ponto são,0), a distância é: 9.. E assim, vem que: d cos ) + sen 0) cos 6 cos sen sen + cos 6 cos cos cos d 0 6 cos d 0 6 cos ) 9... Resolvendo a equação no intervalo [0,π[, temos que: d 0 6 cos d cos 7 6 cos cos cos 6 cos cos cos π π + kπ π + kπ, k Z omo [0,π[, as soluções da equação correspondem aos valores de k 0 e k : k 0: π π, e π [0,π[ k : π + π π + π, π + π π e π [0,π[ ssim, as soluções da equação d 7 que pertencem ao intervalo [0,π[ são π e π 9... omo tg + cos e tg, vem que: ) + cos + cos cos 6 cos ± omo [0,π e tg < 0, então é um ângulo do segundo quadrante cos < 0, e assim temos que: cos 6 alculando o valor de d, correspondente, vem: d 0 6 cos d 0 6 omo d > 0, vem que d ) 6 d 0 + d ± 6 cos ± 6 π [),π, pelo que Teste Intermédio o ano omo se trata de um círculo trigonométrico, o ponto tem coordenadas cos π, sen π ), porque o segmento [, define com o semieio postivo um ângulo de π + π π odemos considerar como a medida da base do triângulo e o valor absoluto da ordenada de como a medida da altura: sen π π sen radianos. ssim, calculando a área do triângulo vem: [ Resposta: pção π + π altura Eame 0, Ép. especial ágina 0 de 0

11 . omo, usando as definições de seno e cosseno temos: sen θ E sen θ E E sen θ E cos θ E E cos θ E cos θ E assim, o perímetro da região sombreada é: θ [E E + E omo ; E e E, temos: [E + E + E + cos θ + sen θ + cos θ + sen θ) Resposta: pção Eame 0, a Fase. omo Q medida do cateto oposto ao ângulo ) e +d medida da hipotenusa do triângulo retângulo), usando a definição de seno de um ângulo, temos que: sen Q sen + d + d sen Q d d sen d sen sen sen d sen sen Teste Intermédio o ano Representando ) no círculo trigonométrico um ângulo de amplitude, tal que, π cos como na figura ao lado), podemos ilustrar que: ) π cos sen E assim, sen ), pelo que, podemos calcular o valor de cos, recorrendo à fórmula fundamental da trigonometria: omo ) + cos cos 6 cos 9 9 cos ± cos ± 0, π [, então cos > 0, e assim, cos, pelo que o valor de tg, é: esta forma, temos que: tg sen cos tg 9 Teste Intermédio o ano.0.0 ágina de 0

12 [ π. Representando as amplitudes dos ângulos do intervalo,π no círculo trigonométrico, podemos verificar que, neste intervalo: cos u seja, a equação cos 0,9 não tem soluções no intervalo considerado. π π 0,9 Resposta: pção Teste Intermédio o ano omo a ordenada do ponto de interseção do prolongamento da reta Q com a reta tangente ao círculo trigonométrico no ponto de coordenadas,0) é, temos que tg ssim, o valor de um ângulo cuja tangente é, pode ser calculado por: tg ),07 s omo este valor corresponde a um ângulo do o quadrante, podemos obter um ângulo do o quadrante, cuja tangente também é, somando π à solução anterior: tg ) + π, Resposta: pção Q,07 r Teste Intermédio o ano bservando que: omo + β π então π π ) β, e assim, cos cos β sen β omo + θ π então π θ, e assim, sen sen π θ) sen θ) sen θ odemos concluir que: Resposta: pção sen + sen β + }{{}} sen {{ θ } sen + cos sen cos cos sen Teste Intermédio o ano omo, usando as definições de seno e cosseno temos: sen R cos R sen R R cos R sen R cos E assim, como Q, também R RQ, pelo que Q R + RQ R; e a área do triângulo [ Q é dada por: R r Q [ R Q R cos sen sen cos f) ágina de 0

13 7.. Resolvendo a equação no intervalo 0, π [, temos que: f) cos sen cos cos sen cos cos 0 cos cos sen cos tg tg tg π π + kπ, k Z ssim, no intervalo indicado, a única solução da equação é π, k 0) 7.. omo fθ), temos que; fθ) sen θ cos θ sen θ cos θ sen θ cos θ E assim, vem que: 8. sen θ+cos θ) sen θ+ sen θ cos θ+cos θ sen θ+cos θ+ sen θ cos θ nalisando as figuras podemos dividir o cálculo da altura em dois casos: No primeiro caso, θ 0, π ), h Teste Intermédio o ano omo, recorrendo à definição de cosseno de um ângulo, temos: cos θ cos θ e assim, h cos θ No segundo caso, π [ ) θ,π, h + θ omo, recorrendo à definição de cosseno de um ângulo, temos: cosπ θ) cosπ θ) cos θ) π θ θ e assim, cos θ h + + cos θ) cos θ u seja em ambos os casos, isto é, para qualquer θ 0,π[, a altura h pode ser calculada como que hθ) cosθ) 8.. omo hθ) cosθ), temos que: hθ) cosθ) cosθ) 0 cosθ) 0 cosθ) cos π θ π + kπ, k Z omo θ 0,π[, θ π é a única solução da equação. alcular θ tal que hθ), significa determinar o ângulo associado a uma quantidade de combustível no depósito com metros de altura. ssim a solução calculada significa que, quando o combustível no depósito tiver uma altura de π ) metros, o ângulo θ será um ângulo reto rad.. Eame 00, a Fase ágina de 0

14 9. omo o triângulo está inscrito numa semicircunferência é um triângulo retângulo. Sabemos que a hipotenusa coincide com o diâmetro e tem comprimento ). ssim, recorrendo à definição de seno temos: sen sen nalogamente, pela definição de cosseno, vem: cos cos Logo, para cada valor de sen cos 0, π [, o perímetro do triângulo [ é dado, em função de, por: [ sen + cos + cos + sen ) Eame 00, a Fase 0. Relativamente ao triângulo retângulo [, do qual conhecemos a medida do cateto adjacente ao ângulo, usando a definição de cosseno e de tangente do ângulo, temos: cos cos cos tg Temos ainda que tg tg + tg Recorrendo ao teorema de itágoras, podemos calcular a medida do segmento [: ssim, para cada valor de 0, π [, o perímetro do triângulo [ é dado por: [ + + cos + tg + 0 cos tg Teste Intermédio o ano omo o ponto pertence à superfície esférica, as suas coordenadas verificam a equação que define a superfície esférica, pelo que: tg ) + sen ) + + cos ) tg + sen + cos tg + tg tg ± omo 0, π [, então tg, pelo que tg ) π esta forma, os valores numéricos das coordenadas do ponto são: tg π, sen π, + cos π ) ),, + ),, Teste Intermédio o ano omo um ângulo raso tem π radianos de amplitude, e π < < π, então um ângulo com amplitude de radianos é um ângulo obtuso, ou um ângulo do o quadrante. Resposta: pção ágina de 0

15 [ π. Representando as amplitudes dos ângulos do intervalo 6,π círculo trigonométrico, podemos verificar que, neste intervalo: no Teste Intermédio o ano u seja, como 0, < intervalo considerado. sen a equação sen 0, não tem soluções no 0, π π 6 Resposta: pção Teste Intermédio o ano onsiderando um ponto Q, sobre o lado [ do trapézio, tal que o segmento [ Q seja perpendicular ao lado [, e recorrendo à definição de tangente, temos: tg Q Q tg Q Q tg omo Q Q Q, vem que: tg Q [Q + + tg tg.. Resolvendo a equação, temos que: tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg π π + kπ, k Z π [ omo,π, o valor de de para o qual a área da região sombreada é, é π ágina de 0

16 .. omo cos + π ) sen, vem que: sen 7 ela fórmula fundamental da trigonometria, temos que: ) + cos 7 omo Temos ainda que: sen 7 ) + cos cos 7 89 cos cos cos ± 89 cos ± 8 7 π [,π, então cos > 0 e assim cos 8 7 esta forma, se cos + π ) 7 8 tg sen cos então a área da região sombreada correspondente é: Teste Intermédio o ano omo a medida da hipotenusa do triângulo é porque é um diâmetro de uma circunferência de raio ), podemos recorrer à definição de seno e cosseno, para determinar a medida da base b) e da altura a): sen b b sen e cos a a cos Logo a área sombreada é a diferença da área do círculo e da área do triângulo: πr b a π) sen cos π sen cos a b Resposta: pção Eame 009, a Fase adaptado) 6. omo o ponto pertence ao circunferência que delimita o círculo trigonométrico, as suas coordenadas são cos, sen ) onsiderando um ponto, sobre o lado [ Q do triângulo, tal que o ângulo seja reto, como a reta Q é paralela ao eio e a circunferência está centrada na origem, temos que Q e como [ e [Q são raios de um círculo trigonométrico, então Q, e assim perímetro do triângulo [ Q, arredondado às décimas, é: [ Q +Q+ +Q + cos +, Q R Resposta: pção Teste Intermédio o ano ágina 6 de 0

17 7. omo uma rotação de π radianos corresponde a uma volta completa e mais meia volta π π + π)), no sentido dos ponteiros do relógio porque o sentido positivo é contrário ao sentido dos ponteiros do relógio), então a Inês voltou a ver as horas hora e meia depois da primeira vez. ssim, uma hora e meia depois das 0 h e min, corresponde a h e min. Resposta: pção [ π 8. Representando as amplitudes dos ângulos do intervalo,π no círculo trigonométrico, podemos verificar que, neste intervalo a equação cos 0, tem duas soluções. [ odemos ainda verificar que nos intervalos 0, π [ π e,π a equação não tem qualquer solução, porque cos > 0 nos o e o quadrantes; e que no intervalo [0,π, a equação só tem uma solução no segundo quadrante). Teste Intermédio o ano , π π Resposta: pção Teste Intermédio o ano omo [ é um raio do círculo trigonométrico e é a origem do referencial, então as coordenadas de são cos θ, sen θ), ou seja, cos θ e sen θ omo o arco de circunferência tem centro no ponto, temos que, e assim a abcissa do ponto é: θ + cos θ + sen θ Resposta: pção Teste Intermédio o ano Recorrendo à definição de tangente temos que: tg tg tg omo a área do triângulo [ pode ser calculada como a diferença das áreas dos triângulos [ e [, temos que a área do triângulo [ é dada, em função de, por: [ [ [ tg tg 0.. Equacionado o problema e resolvendo a equação, temos: E assim, como a se π tg tg tg tg tg π π + kπ, k Z 0, π [ a única solução da equação é π, ou seja, a área do triângulo [ é igual ágina 7 de 0

18 π ) 0.. omo sen + a cos a, temos que cos a omo tg + cos, temos que: tg a + omo a ) tg a 69 tg a 69 tg a ± tg a ± 0, π [, então tg a > 0 e assim, tg a, pelo que o valor de tg a, é: 9 Teste Intermédio o ano omo a circunferência tem lado, é a circunferência que delimita o círculo trigonométrico, e por isso, o ponto tem coordenadas cos, sen); em particular a ordenada é sen r omo a reta r é paralela ao eio e a distância entre a reta e o eio é, temos que: Resposta: pção d + d + sen d sen d sen Teste Intermédio o ano omo 0, π [, então é um ângulo do o quadrante, pelo que sen > 0 e cos > 0 ssim, temos que: cosπ ) cos, ou seja, cosπ ) < 0 sen π ) sen, ou seja, sen π ) > 0 ) ) π π cos cos, ou seja, cos < 0 ) ) π π sen sen, ou seja, sen < 0 Resposta: pção Teste Intermédio o ano omo o ponto Q está sobre um círculo trigonométrico, temos as coordenadas do ponto Q são cos π 7, sen π ) 7 onsiderando o lado [R como a base, a medida da altura é Q a ordenada do ponto Q). E assim a área do triângulo pode ser calculada como: Q π 7 [QR R Q sen π 7 0,9 R Resposta: pção Teste Intermédio o ano ágina 8 de 0

19 . omo a soma dos ângulos internos de um triângulo é π radianos, vem que: + + β π β π E assim, como cosπ ) cos, vem que: β π cos β cosπ ) cos β cos) Resposta: pção π [. omo θ,π então θ é um ângulo do o quadrante, pelo que: Teste Intermédio o ano sen θ > 0 cos θ < 0 tg θ < 0 E desta forma, temos que: cos θ sen θ < 0 subtração de um valor negativo por um positivo, ou soma de dois negativos) sen θ cos θ < 0 produto de um número positivo por um negativo) sen θ tg θ < 0 produto de um número positivo por um negativo) sen θ tg θ > 0 subtração de um valor positivo por um negativo, ou soma de dois positivos) Resposta: pção Teste Intermédio o ano Resolvendo a equação, temos: + tg ) tg ) tg ) tg ) tg ) tg π esta forma, se k uma solução da equação é: π + kπ, k Z π 8 + kπ, k Z Resposta: pção π 8 + π π 8 + π 8 π 8 Teste Intermédio o ano onsiderando o ponto, como a projeção ortogonal do ponto sobre o eio, e usando a definição de seno e cosseno temos que: sen cos sen cos sen cos d omo o triângulo [ é retângulo em, recorrendo ao teorema de itágoras, vem que: d ) sen ) + + cos ) sen cos + cos sen + cos cos sen + cos ) cos cos cos ágina 9 de 0

20 7.. omo tg e como tg + cos, temos que: ) + cos + cos cos cos ± cos ± omo o ponto se desloca ao longo da circunferência, no primeiro quadrante, então é um ângulo do o quadrante, cos > 0, e assim, temos que cos ssim, temos que: d d d 60 d>0 d 60 Teste Intermédio o ano Resolvendo a equação, temos: + cos 6 cos 6 cos cos π π + kπ π + kπ, k Z esta forma, as soluções da equação que pertencem ao intervalo 0,π[, são: π k 0) e π + π π k ) Resposta: pção Teste Intermédio o ano omo a ordenada do ponto de intersecção do prolongamento da semirreta é 8, temos que tg 8 Ȯ com a reta de equação omo tg + cos, temos que: 8 ) + cos 8 + cos cos 9 cos ± 9 cos ± omo é um ângulo do o quadrante, cos < 0, e assim, temos que cos ssim, podemos observar que: π ) sen + cos cosπ ) cosπ ) cos ) E, desta forma, vem que: π ) sen + + cosπ ) ) + + Teste Intermédio o ano ágina 0 de 0

21 0. onsiderando o ponto Q como o pé da altura do triângulo relativa à base [R e usando a definição de seno e cosseno temos que: sen Q sen Q cos Q Q cos Q sen Q cos Q R ssim, como o triângulo [ R é isósceles, R e também Q QR, pelo que a área do triângulo, em função de, é: [ R R Q ) Q + QR Q cos + cos ) sen cos sen cos sen Resposta: pção. ela fórmula fundamental da trigonometria, temos que: sen + cos sen cos sen ± cos Teste Intermédio o ano omo cos < 0 e tg > 0, então é um ângulo do o quadrante, e assim sen < 0, pelo que: Resposta: pção sen cos Teste Intermédio o ano Representando no círculo trigonométrico um ângulo de amplitude β, tal que, sen β como na figura ao lado), podemos verificar que, a representação do ângulo com amplitude π + β verifica a condição π ) cos + β, ou seja: π ) cos + β sen β β E assim, de entre as opções apresentadas π + β é a única solução da equação cos Resposta: pção Teste Intermédio o ano ágina de 0

22 . onsiderando o lado [ como a base do triângulo ), a altura será o segmento que contém o ponto e a sua projeção ortogonal ) sobre a reta. omo, recorrendo à definição de cosseno, vem: altura cos cos cos ssim a área do triângulo [ é: base [ cos cos Resposta: pção Eame 006, Ép. especial. omo o arco é um arco de uma circunferência de raio, e com amplitude, tem de comprimento. omo, e recorrendo às definições de seno e cosseno, vem: sen sen cos cos sen cos Logo, + cos + cos ssim, o perímetro da região sombreada é: sen + cos + + sen cos Resposta: pção Eame 006, a Fase. omo a reta R é tangente à circunferência no ponto R, é perpendicular ao raio [R, ou seja o ângulo R é reto, e por isso o triângulo [R é retângulo. omo o ângulo R tem amplitude radianos e R, recorrendo à definição de tangente, temos: tg R R tg R R tg Logo, considerando [R como a base do triângulo [R e [R como a altura, vem: R [R R R tg tg omo os pontos R e S são simétricos relativamente à reta, temos que, para cada valor de 0,π[, a área do quadrilátero [R S é dada por: S [R S [R + [ S [R tg tg Eame 00, Ép. especial cód. ) ágina de 0

23 6. omo, recorrendo à definição de seno e cosseno temos: G sen I sen I I sen cos I I cos I cos Recorrendo à decomposição sugerida na figura temos que a área da zona sombreada pode ser obtida através da soma das áreas de triângulos congruentes e de setores circulares de raio e amplitude, ou seja, para cada valor de [ 0, π [I + setorf, a área da região sombreada é dada por: I I + 9 sen. cos sen. cos 8 + sen. cos ) E sen cos I J H + F Eame 00, a Fase cód. ) 7. omo R, recorrendo à definição de seno e cosseno, e notando que R e ainda que R, temos: sen cos R R R sen R cos R sen sen cos R cos M d) 8 R Temos ainda que: + M 8 M 8 M 8 M 8 sen Logo, usando o Teorema de itágoras, vem: RM M + R RM 8 sen ) + cos ) RM 6 80 sen + sen + cos RM 6 80 sen + sen + cos ) RM 6 80 sen + ) RM sen RM sen Logo, para cada valor de, a distância da Rita à mãe, é: RM sen Eame 00, rova para militares cód. ) 8. alculando a área do trapézio, temos: [ Logo, dividir o trapézio em duas figuras com a mesma área, significa que o triângulo [ terá área 00. Usando a definição de tangente vem: tg tg 0 Logo a área do triângulo [, é: [ u seja, [ 00 0 tg 00 0 tg 0 0 tg 0 tg Resposta: pção Eame 00, a Fase cód. ) ágina de 0

24 9. omo tg + cos e tg θ, vem: ) + cos θ + cos θ cos θ cos θ cos θ omo sen + cos e cos θ, vem: Logo, sen θ sen θ + sen θ sen θ sen θ ) Eame 00, a fase - a chamada cód. ) adaptado) onsiderando o triângulo [E,e recorrendo à definição de seno e cosseno, temos: G F sen cos E E sen E E cos E sen cos E Logo, considerando a área da zona sombreada [ como a diferença das áreas do o trapézio [EG e do triângulo [E, para cada valor de 0, π, a área do polígono [EG é dada por: [EG [EG [E G + E E + sen + ) cos sen sen cos + sen ) + cos ) + cos + sen + sen cos sen cos + sen + cos + sen + cos ) 60.. Se 0, então [EG + sen 0) + cos0) ) ) que também pode ser observado na figura, porque se 0, o ponto E coincide com o ponto, e por isso a área sombreada também pode ser calculada como a área do triângulo [G: G [G Se π, então [EG π ) π )) + sen + cos + + 0) que também pode ser observado na figura, porque se π, o ponto E coincide com o ponto F, e por isso a área sombreada também pode ser calculada como a área do quadrado [F G: [F G G Eame 00, a fase - a chamada cód. ) ágina de 0

25 6. onsiderando o ponto I como a posição inicial do ponto, e o ponto Q como a projeção ortogonal do ponto sobre a reta I, pela definição de cosseno vem: cos Q cos Q Q cos omo Q + QI QI Q QI cos, temos que: d) QI d) cos ) d) I Q Resposta: pção d) + cos d) + cos r Eame 00, a fase cód. ) 6. onsiderando o ponto como intersecção da reta com o eio e usando a definição de seno e cosseno temos que: sen cos sen cos sen cos ssim, considerando [ como a base e [ como a altura, a área do triângulo [ é: Resposta: pção [ sen. cos Eame 00, a fase - a chamada cód. ) 6. Usando as definições de seno e tangente, vem: sen E sen E E sen Sabemos ainda que tg E tg E E tg E + E E E E tg F E ssim, como F E e F E, para cada valor de π, π [, o perímetro do quadrilátero é: [EF E + E ) + tg sen tg + sen Eame 00, a fase - a chamada cód. ) 6. ágina de 0

26 6.. onsiderando e as projeções ortogonais do ponto sobre as retas e, respetivamente, temos que o ângulo também tem amplitude, pelo que recorrendo às definições de seno e cosseno temos: 6 sen sen sen cos cos 6 6 cos alculando o comprimento da ponte, em função de, vem: + 6 cos + sen 6 sen cos. sen + cos 6 sen + cos sen. cos sen. cos 6.. Se, o triângulo [ é um triângulo retângulo isósceles, ou seja os ângulos agudos são iguais, e por isso, têm amplitude π radianos. ssim, calculando o comprimento da ponte, para π, vem: π ) 6 sen sen π ) + cos π ) π ). cos ,6 u, seja, se o vértice a ponte for construída entre dois pontos equidistantes do vértice, terá um comprimento aproimado de 9,6 metros. Eame 00, Ép. especial cód. ) 6. esignando o ponto,0) por e recorrendo à definição de tangente, temos que: tg tg tg Logo, podemos calcular a área da região sombreada, como a soma do quarto de círculo de raio, com a área do triângulo [ : + [ π + π + tg π + tg Resposta: pção Eame 00, a fase - a chamada cód. ) ágina 6 de 0

27 66. ara determinar a área de uma das faces laterais, começamos determinar a altura do triângulo EG). Recorrendo à definição de cosseno, como F G, vem: E cos F G EG cos EG EG cos ssim, calculando a área do triângulo [E, temos: EG [E Logo, para cada valor de cos cos 0, π [, a área da pirâmide é dada por: F G T [E + [ cos + cos + cos + cos cos cos + cos Eame 00, a fase - a chamada cód. ) 67. Recorrendo às definições de seno e cosseno temos: sen sen sen cos cos cos m E assim, considerando o lado [ como a base e o lado [ como a altura, a área do triângulo [ é: Resposta: pção [ cos sen sen. cos sen. cos Eame 000, rova para militares cód. ) onsiderando as projeções ortogonais dos vértices e sobre o lado [, respetivamente os pontos e Q, e recorrendo às definições de seno e cosseno, vem: sen cos sen cos sen cos Q π Logo, como Q cos, para cada valor de,π a área do trapézio é: [ + + cos sen cos sen cos ) sen cos ) sen sen ) cos ) ágina 7 de 0

28 68.. Se π, então a área do trapézio é: sen π ) cos π ) 0) Se π, o ângulo é reto, tal como o ângulo, e como os lados [, [ e [ são congruentes, o quadrilátero é um quadrado de lado, pelo que a sua área também é, de acordo com o cálculo anterior. Eame 999, rova modelo cód. ) adaptado) Usando as definições de cosseno e de tangente, temos: cos cos cos tg Logo, para cada valor de tg tg 0, π [, o perímetro do triângulo é: [ tg + cos cos cos + sen cos + cos ) π ) 69.. omo cos + sen, temos que: sen E, pela fórmula fundamental sen + cos ), temos que: + sen + cos cos ) + cos cos 9 cos 9 cos 6 6 cos ± cos ± omo 0, π [ sabemos que cos > 0, logo cos esta forma, o valor do perímetro do triângulo [ para este valor de é: + sen + cos cos Eame 998, rova para militares cód. ) ágina 8 de 0

29 70. omo E e EH G, e recorrendo à definição de tangente, vem: tg E tg tg tg H EH tg H ssim, temos que: + G + G + Logo, para cada valor de I H + HI tg + I [ H tg ) + tg tg + 0, π [, a área do triângulo [ é: tg tg + tg + tg + ) tg + tg + ) ) E H F tg tg + tg + tg tg + + tg + tg tg I G Eame 998, a fase cód. ) 7. onsiderando o ponto como a projeção ortogonal do vértice sobre a reta HF, e recorrendo às definições de seno e cosseno, vem: E sen sen sen cos Sabemos ainda que cos cos 0 cos cos sen 0 sen Logo, para cada valor de 0, π [ a área da zona relvada, em m, é dada pela diferença da área da circunferência e do retângulo [: H G F [ π ) π) 0 cos 0 sen π 00 sen. cos π sen. cos ) Eame 998, a fase - a chamada cód. ) ágina 9 de 0

30 omo M, e recorrendo à definição de cosseno e tangente, vem: cos tg M cos cos M M tg M M tg omo F M F + M e F M, temos que: F + M F M F tg km km ssim, como, temos que, para cada 8 km [ 0, π, o comprimento total é dado por: ) + + F + F + tg 8 cos cos + sen cos F M 7.. ara 0, o comprimento da canalização é: + 8 cos sen cos + 8 sen cos + 8 sen 0 cos u seja, se o ângulo tiver amplitude de 0 zero) radianos, o comprimento da canalização é Km, o que pode ser observado na figura, porque com este valor do ângulo, o comprimento é dado por + F M 8 +, tendo a canalização a forma de um T invertido ). Eame 988, a fase - a chamada cód. ) 7. Recorrendo às definições de seno e cosseno vem: sen H sen H H sen cos H cos H omo H e H + H, temos que: H cos H Logo a área do triângulo [ é: H + H + H + cos [ H + cos ) sen sen + cos ) sen + sen cos sen + sen cos Eame 998, rova modelo cód. ) adaptado) ágina 0 de 0

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