Prova final de MATEMÁTICA - 3o ciclo a Chamada

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1 Prova final de MTEMÁTI - 3o ciclo 01 - a hamada Proposta de resolução omo a soma das frequências relativas é sempre 1, temos que Resposta: Opção 0, 3 0, 3 + a + 0, 4 = 1 a = 1 0, 3 0, 4 a = 1 0, 7 a = 0, Não. Quando se repete muitas vezes uma experiência aleatória, a frequência relativa de uma observação tende a aproximar-se da probabilidade de acontecer essa observação. ssim, se repetirmos o procedimento da Maria um milhão de vezes, e metade das bolas no saco tem o número 1, é expectável que a frequência relativa do número 1 se aproxime muito de 0,5. omo a probabilidade de selecionar uma carta vermelha é de 75%, significa, que no conjunto de todas as cartas, as 1 cartas vermelhas são 75% do total, pelo que podemos calcular quantas cartas correspondem a 100% 1 75% t 100% t = = ssim, temos que existem 1 cartas vermelhas num total de 16 cartas, e como só existem cartas vermelhas e pretas, o número de cartas pretas é 16 1 = 4 Resposta: Opção 4 3. omo os lados consecutivos de um retângulo são o comprimento, c, e a largura, l, temos que a medida da área,, do retângulo é = c l = 1 r 10 0 r = 1 r r = r r = Resposta: Opção = = 0, = = = omo π 3, 1416, o número é maior que 3, 14 e menor que π 3, 141 Página 1 de 5

2 4 o termo 5. onsiderando os termos da sequência do número de quadrados em cada figura numa tabela, temos: Ordem Termos O que nos permite conjeturar a sequência é a sequência dos quadrados perfeitos... com efeito é possível fazer um arranjo dos quadrados de cada termo da sequência no sentido de verificar que no termo de ordem n, temos exatamente n quadrados (como na figura ao lado). ssim, como 14 4 = 196 e 15 = 5, verificamos que 00 não é um quadrado perfeito, ou seja não existe nenhum termo na sequência constituído por 00 quadrados omo d é a distância, em milhões de quilómetros, percorrida pela luz em t segundos, temos que no contexto da situação descrita, a afirmação Tem-se d = 0, 6 quando t = significa que em segundos a luz precorre uma distância de 0,6 milhões de quilómetros. 6.. omo a distância do Sol à Terra é 150 milhões de quilómetros, temos que d = 150, pelo o tempo t, em segundos, que a luz demora a precorrer esta distância é 150 = 0, 3t 150 0, 3 = t 500 = t ssim, escrevendo o resultado em minutos e segundos, temos que 500 segundos corresponde , 33 minutos. omo 8 minutos correspondem a 8 60 = 480 segundos e = 0 temos que 500 segundos correspondem a 8 minutos e 0 segundos, ou seja, a luz emitida pelo Sol demora 8 minutos e 0 segundos a chegar à Terra. 7. Resolvendo a inequação, temos x 1 10 (x 6) 5x + 3 x x x + 3 x x + 6 5x (6) (3) (3) 1 (6) 3 () 6x 6 3x x [.S.= [ 7, + 6x 3x x + 0 3x 30x x 30x 7x 7x x 7 Página de 5

3 8. Escrevendo a equação na fórmula canónica, e usando a fórmula resolvente, vem: x(x ) + 3(x ) = 0 x x + 3x 6 = 0 x x 6 = 0 x + 3x = 0 (a = 1, b = 1 e c = 6) x = ( 1) ± ( 1) 4(1)( 6) (1) x = 1 ± x = 1 ± 5 x = x = 1 5.S.={, 3} x = 6 x = 4 x = 3 x = 9. omo o grupo era constituído por 6 adultos, o preço a pagar pelos bilhetes de adulto é de 6x e para comprar os bilhetes das 10 crianças, o valor a pagar é de 10y. ssim, como no total foram pagos 108,70 euros pelos bilhetes, temos que 6x + 10y = 108, 70 omo o Pedro verificou que a diferença total, no caso de ele pagar bilhete de adulto era de 3,45 euros, significa que a diferença entre o preço do bilhete de adulto (x) e de criança (y) é de 3,45 euros, o que nos permite escrever que x y = 3, 45 ssim, um sistema de equações que permite determinar o preço do bilhete de adulto (valor de x) e o preço do bilhete de criança (valor de y) é 6x + 10y = 108, 70 x y = 3, Fazendo o desenvolvimento do caso notável, e simplificando, vem Resposta: Opção x + a (x a) + ax = x a x + a + ax = x ax + a + ax = x + a omo o plano HI contém toda a face anterior do sólido, e o plano JD contém toda a face mais à direita do cubo (como podemos observar na figura ao lado), temos que a interseção dos planos HI e JD é a reta J H G I F J D E K L Página 3 de 5

4 O triângulo [IH] é retângulo em H, porque é uma base de um dos prismas, e o lado [H] é a hipotenusa. Temos que, relativamente ao ângulo IH, [I] é o cateto oposto, e o lado [HI] é o cateto adjacente, pelo que, usando a definição de tangente, e substituindo as medidas conhecidas, temos: (IĤ ) tg = I HI tg 3 = I 5 tg 3 = I 5 omo tg 3 0, 65, vem que: I 5 0, 65 3, 15 omo [DDEF IJ] é um cubo, então o seu volume, V, é V = I 3 3, , 518 m 3 Temos ainda que = I, e como [HIF G] é um prisma triangular reto, em que o triângulo [IH] é a base e [HI] é a altura, então o volume do prisma, V P, é V P = [IH] = HI I 5 3, 15 3, 15 4, 414 m 3 omo os prismas [HIF G] e [KJEDL] são geometricamente iguais, têm o mesmo volume, pelo que calculando o volume do sólido, V S, como a soma dos três volumes, e arredondando o resultado às unidades temos: V S = V P + V + V P = V P + V 4, , m omo o ângulo O é um ângulo ao centro, e o ângulo é um ângulo inscrito com o mesmo arco correspondente, temos que: ˆ = Ô = 140 = 70 Resposta: Opção omo as retas D e D são tangentes à circunferência nos pontos e, respetivamente temos que os ângulos OD e OD são retos. omo a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360, considerando o quadrilátero [OD] temos que ˆD + OĈD + Ô + OÂD = 360 ˆD = 360 ˆD + 30 = 360 ˆD = ˆD = 40 omo os ângulos DE e D são suplementares, vem que ˆDE + ˆD = 180 ˆDE + 40 = 180 ˆDE = ˆDE = omo os triângulos [] e [DE] são semelhantes (porque têm dois ângulos em comum), podemos afirmar que a razão entre lados correspondentes é igual, e também é igual à razão dos perímetros, ou seja, DE = P [DE] P [] Logo, temos que Resposta: Opção 4 DE 1 = DE = DE = 4 Página 4 de 5

5 13.. omo o triângulo [F ] é retângulo em, então o lado [F ] é um diâmetro da circunferência que passa nos pontos, F e Temos ainda que = 1 cm e que o triângulo [F ] é isósceles, pelo que também F = 1 cm, e recorrendo ao Teorema de Pitágoras podemos determinar a medida do segmento [F ]: F = + F F = E F = F = 88 F = 88 >0 F D ssim, temos que o raio circunferência é r = centímetros, arredondado às unidades, é 88, pelo que o comprimento da circunferência em 88 P = πr = π = π cm y 14. onsiderando a rotação de cada ponto, podemos construir o triângulo o transformado do triângulo [] por meio da rotação de centro no ponto O e amplitude 180 e verificar que é o triângulo representado na opção () Resposta: Opção O x Página 5 de 5