CDA AD CD. 2cos 2sen 2 2cos sen 2sen 2 2 A A A A

Transcrição

1 Preparar o Eame Matemática A Página O ângulo CDA está inscrito na circunferência, portanto CDA. Assim: AD CD A ABCD A CDA AD CD AD Tem-se que, cos AD cos CD e sen CD sen. Portanto, A ABCD AD CD cos sen cos sen sen sen. Logo, a área da região colorida da figura é dada por: região colorida círculo ABCD 1 sen sen A A A A 88.. A função g é uma função contínua em 0, pois é a diferença entre funções contínuas no seu domínio: uma é uma função contante e a outra é o produto entre uma função constante e uma função trigonométrica. Logo A é contínua 6 4 em, 0, Tem-se que:. 1 A sen 1. Como então 1 e portanto A A sen. 4 4 Como 1,, vem, 1, 1, 1, Como,, vem, 1, 1,,. Portanto A. 4 Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 1

2 Preparar o Eame Matemática A Como a função g é contínua em, 6 4 e A A, pelo teorema de Bolzano: 4 6 ] [ Portanto, conclui-se que a equação A tem pelo menos uma solução em ] [ A cos k, k A 0 cos 0 cos 0 Como 0,, tem-se Fazendo um quadro de variação do sinal da função A, em 0, vem: g 0 g má. mín. má. Logo, o valor da área mínima da região colorida é A sen Assíntotas verticais: A sen sen 0 0 lim h lim lim Assim, a reta de equação 0 é assíntota vertical do gráfico de h. Como a função h é contínua em \ 0, o seu gráfico não tem mais assíntotas verticais. Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página

3 Preparar o Eame Matemática A Assíntotas não verticais: Quando sen h sen 1 lim lim m lim lim sen 0 Limitada Infinitésimo sen 1 b lim h m lim lim sen 0 Limitada Infinitésimo Logo, a reta de equação y 0 é assíntota horizontal do gráfico de h, quando ( ) O declive da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 0 é dado por m f 0. Portanto, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 0 é do tipo y b O ponto de coordenadas 0, 0 0,0 f pertence à reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 0. Assim, substituindo-o na sua equação, tem-se 0 0 b b 0. A equação da reta pedida é y f lncos lncos e sen e sen e sen cos sen 1 cos sen sen cos cos sen i) Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página

4 Preparar o Eame Matemática A sen k k, k k k k k, k Substituindo k por números inteiros e tendo em conta que,, obtém-se 0. Conjunto solução:, sen sen f ln cos 0 tg cos cos f k k, k 0 tg 0 tg 0 0 Como,, tem-se 0 Fazendo um quadro de variação do sinal da função f, em, vem: 0 f n.d. n.d. f n.d. p.i. n.d. O gráfico de tem a concavidade voltada para baio em [ [, tem a concavidade voltada para cima em ] ] e tem ponto de infleão em Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 4

5 Preparar o Eame Matemática A Tem-se que cos , então usando a fórmula 1tg, vem: cos tg 1 tg tg 1 tg 1 tg 7 tg Como 1º Q, vem tg 7. Assim: 5 tg tg f tg tg tg 4 sen Sejam P e Q os pontos do lado AD tais que FP AD e EQ AD DF AE.. Assim, CF EB DP e Tem-se C F E B sen DF DF sen tg tg CF DP DPCF CF tg D P A Logo, como EF CF, vem: 4 4 P AEFD AE EF DF AD DF CF 4 AEDF sen tg sen tg EFCF f Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 5

6 Preparar o Eame Matemática A 90.. Quando a figura que se obtém é um triângulo isósceles ( e coincidem no centro da aresta [ ]). Portanto é o perímetro de um triângulo de dimensões, e, logo.. Quando o trapézio [ ] tende a coincidir com o quadrado [ ] cujo perímetro é Tem-se: cos cos 4cos 4 4cos f sen tg sen tg sen cos tg sen sen cos cos 4cos 4 4 4cos sen sen sen Tem-se que a, com a, 0 cos 1 4 4cos cos 4. Logo, a, 4 4cos f 0 e portanto, a função é estritamente crescente em [ ]., sen 0 À medida que aumenta o perímetro do trapézio [ ] também aumenta Tem-se g sen sen sen cos cos sen 6 6. Se 1 EF então CF. Assim, pelo teorema de Pitágoras, vem: DF DF CD CF DF DF DF Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 6

7 Preparar o Eame Matemática A Portanto, CD 1 sen e DF CF 6 5 cos DF C F D Pelo que, g sen cos cos sen a) A função é ímpar, logo, ] [ { }. B y A h O C D Assim as coordenadas do ponto são da forma ( ) e as do ponto são da forma ( ) ( ). Portanto: [ ] ( ( )) ( ) b) Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se y A 0, 0,16. Obtém-se: 1 e y1 4 na janela de visualização Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 7

8 Preparar o Eame Matemática A y y1 A 4 O a Assim,, com. Página Tem-se que h g a 0 0 sen 0 sen 0 sen 0 sen Assim: 0 sen 0 sen sen sen sen h h g a a a h0 lim lim lim lim lim sen a sen lim alim 41 a1 4 a 0 0 a Se 0 então 0 e a 0 (limites notáveis) Como h0 1, vem h a 1 a a) Seguindo a sugestão, seja OP a altura do triângulo AOB relativamente a base AB. Nota que, para cada posição do ponto B, P é sempre o ponto médio do segmento de reta AB, porque AOB é um triângulo isósceles. Assim: OP AP sen OP sen e cos AP cos Logo, AB AP cos 4cos Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 8

9 Preparar o Eame Matemática A 4cos sen. Portanto, A 4cos sen cos sen sen g OAB b) Tem-se que 1 tg 7 tg 7. Assim, utilizando a fórmula 1tg vem: cos cos 1 cos 8 cos cos Como 1º Q, tem-se cos 4 Por outro lado, sen sen 14 tg 7 sen 7 sen cos A g sen sen cos 4 Portanto, AOB a) Perímetro possível é [ ], onde. Perímetro favorável é Logo a probabilidade pedida é ( ). b) A área favorável é e a área possível é (área do triângulo [ ] em função de ). Logo a probabilidade pedida é. c) f sen Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 9

10 Preparar o Eame Matemática A Quando o triângulo é retângulo, a probabilidade do ponto estar a menos de uma unidade dos vértices ou é igual a.. Quando a probabilidade do ponto estar a menos de uma unidade dos vértices ou é igual a. d) Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se y f 0, 0,1 4. Obtém-se: 1 e y1 0,5 na janela de visualização y 0,5 y1 f O a 4 Portanto,, com. Página Tem-se que cos tg cos tg. g 1 1 sen sen 1 6 Utilizando a fórmula fundamental da trigonometria vem: sen cos 1 cos 1 cos 1 cos cos Como,, vem 6 cos. Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 10

11 Preparar o Eame Matemática A sen tg cos cos tg cos tg Assim, sen sen cos g sen sen sen cos g k sen CondiçãoUniversal em 0, 0 0 cos 0 sen 0 cos 0, k Como 0,, tem-se Fazendo um quadro de variação do sinal da função g, em 0, vem: 0 g n.d. n.d. g n.d. mín. n.d. A função é decrescente em ] ], crescente em [ [ e tem mínimo absoluto em. 9.. Para 0, tem-se, 1 5 g 4 4 sen. sen 6 6 Logo, as coordenadas do ponto são as do ponto são Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 11

12 Preparar o Eame Matemática A Como vimos na alínea anterior, é o único minimizante da função g. Assim, as coordenadas do ponto são. Então, [ ] Assíntotas verticais lim g lim lim 1 sen sen i ) sen sen i) Se lim 1 (limite notável), então lim Logo, a reta de equação 0 não é assíntota vertical do gráfico de g. lim g lim sen sen 0 Logo, a reta de equação não é assíntota vertical do gráfico de g. Como a função g é contínua em 0,, o seu gráfico não tem mais assíntotas verticais. Como o domínio de g é limitado, o seu gráfico não tem assíntotas não verticais Se 0 então sen 0 (limite notável) Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 1

13 Preparar o Eame Matemática A 9.. sen sen sen g e sen cos e cos cos e 1 O declive da reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa é dado por: sen 0 m g cos e 1 0 e Portanto, a equação da reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa é do tipo y b O ponto de coordenadas sen 1, g, e sen, e 1, e 1 pertence à reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa. Logo, be 1. A equação da reta pedida é y e 1 y e sen sen sen 0 cos 1 0 cos cos 0 1 g e e e sen 0 cos 0 e e cos 0 sen 0 k 0 k, k k, k Para, tem-se 0. k k0 k1 k1 Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 1

14 Preparar o Eame Matemática A Fazendo um quadro de variação do sinal da função g, em, vem 0 g n.d. g mín. má. mín. má. n.d. A função é crescente em [ ] e em [ ], é decrescente em [ ] e em [ [, tem mínimo relativo em e em e tem máimo relativo em e em a) Considerando o segmento de reta [ ] a base dos triângulos [ ] e [ ] e e as respetivas alturas, temse que [ ] [ ] [ ], sendo que é a ordenada do ponto. Como as coordenadas do ponto são ( ), tem-se,. Assim, e portanto, [ ]. b) As abcissas dos pontos e são zeros da função, assim resolvendo graficamente a condição no intervalo ] [ determina-se as abcissas de e (também se podia determinar os etremantes da função pertencentes ao intervalo ] [). g cos e 1 sen e 1 cos cos e sen sen e 1 cos e sen sen sen sen sen Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se. Obtémse: 1 na janela de visualização 0,, y g y g O a c Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 14

15 Preparar o Eame Matemática A Assim, para ] [,, com e ( é a abcissa do ponto e é a abcissa do ponto ) Logo, [ ] Assíntotas verticais:. Logo a reta de equação é assíntota vertical do gráfico da função. Com um raciocínio semelhante conclui-se que a reta de equação também é assíntota vertical do gráfico da função (ou então pode-se notar que a função é ímpar e portanto ). Como a função é contínua em ] [ o seu gráfico não tem mais assíntotas verticais. Como o domínio de f é limitado, o seu gráfico não tem assíntotas não verticais Para,, tem-se: sen cos 1 cos sen sen cos cos sen f 1 cos 1cos 1cos cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos cos sen cos cos 1 1 cos Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 15

16 Preparar o Eame Matemática A O declive da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa é dado por: m f 1 0 1cos Portanto, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa é do tipo y b. sen 1 O ponto de coordenadas, f,,, cos tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa. Logo, substituindo-o na sua equação, tem-se: pertence à reta A equação da reta pedida é y. b b Para,, tem-se: sen 0 1 cos sen sen 1 cos f f 1 cos 1 cos 1 cos Para,, tem-se, Como,, tem-se 0 1 cos 1 cos f 0 f 0 sen 0 sen 0 k, k. Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 16

17 Preparar o Eame Matemática A Fazendo um quadro de variação do sinal da função f, em, vem: 0 f n.d. n.d. f n.d. p.i. n.d. O gráfico da função tem a concavidade voltada para baio em ] ], tem a concavidade voltada para cima em [ [ e tem ponto de infleão em Fazendo, tem-se: Tem-se que, assim: ( ) Para ] [ { }, tem-se: ( ) ( ),, Como ] [ { }, vem. Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 17

18 Preparar o Eame Matemática A Página é a área do triângulo quando, essa área é igual a. é a área do triângulo quando, a altura desse triângulo é dada por. Assim a sua área é igual a. Logo,, pelo que e portanto a afirmação I é verdadeira. A área do triângulo [ ] depende apenas da sua altura, uma vez que a medida do comprimento da base é 4. Quando varia de a a altura do triângulo diminui e consequentemente a área do triângulo [ ] também diminui, ou seja, à medida que aumenta, diminui, pelo que a função é estritamente decrescente no intervalo [ [. Logo, não é positiva em [ [e portanto a afirmação II é falsa a) As coordenadas do ponto são dadas por, assim: Portanto, [ ]. b) Como ] [, tem-se. c) A área do triângulo é máima quando a sua altura é máima, isto é, em. Assim o valor pedido é. Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 18

19 Preparar o Eame Matemática A cos sen 4sen 8 4 cos cos cos cos d) Tem-se, f. Como para ] [, então, ] [ e portanto a função é estritamente crescente em ] [. À medida que aumenta o perímetro do triângulo [ ] também aumenta h tg 8 tg 8 lim lim lim lim Se 0 então 0 (limite notável) 96.. Como, tem-se. Assim:. Como ] ], tem-se ; e portanto ( ) Tem-se que ] ], portanto: Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 19

20 Preparar o Eame Matemática A 96.. a) Tem-se, Para tem-se. Assim a reta tangente ao gráfico de no ponto de abcissa tem declive igual a e contém o ponto de coordenadas pelo que uma equação dessa reta pode ser. b) 4 f h tg cos cos Se, 4 4 então, Assim: e portanto cos 0 (claro que também se tem cos 0 ). 4 4 f 0 8 cos cos cos cos cos 8 4 cos0 4 k k, 4 4 k k k, k 8 8 Como, 4 4, tem-se. 8 8 Fazendo um quadro de variação do sinal da função f, em, 4 4 vem: 4 8 f n.d. 0 0 n.d. f n.d. p.i. p.i. n.d. 8 4 Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 0

21 Preparar o Eame Matemática A O gráfico da função tem a concavidade voltada para baio em [ ], tem a concavidade voltada para cima em ] ] e em [ [ e tem ponto de infleão em e em. c) Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se y f h, 5, Obtém-se: 1 na janela de visualização y f a O a Fazendo um quadro de variação do sinal da função f, em, 4 4 vem a 0 a 4 f n.d n.d. f n.d. mín. má. mín. n.d. 4 A função é decrescente em ] ] e em [ ], é crescente em [ ] e em [ [, tem mínimo relativo em e em e tem máimo relativo em, com. Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 1

22 Preparar o Eame Matemática A Página Tem-se que: ( ) ). O declive da reta tangente ao gráfico de no ponto de abcissa é dado por: ( ) (( ) ) Portanto, a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto de abcissa é do tipo. O ponto de coordenadas ( ) ( ( ) ) pertence à reta tangente ao gráfico de no ponto de abcissa. Assim, substituindo-o na sua equação, tem-se: A equação da reta pedida é g 0 sen f sen 0 sen 0 f sen 0 k, k k, k Como,, tem-se. Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página

23 Preparar o Eame Matemática A Fazendo um quadro de variação do sinal da função g, em, vem: f sen 0 0 sen 0 f f má. mín. má. Em [ ] a função é crescente em [ ], é decrescente em [ ], tem máimo relativo em e em e tem mínimo relativo em O declive da reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa a é dado por g a ao gráfico de g no ponto de abcissa b é dado por g b. Assim: e o declive da reta tangente sen sen sen sen sen sen g a a f a b f b b f b iii) Como ga gb no ponto de abcissa b. i) b f sen b gb sen, a reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa a é paralela à reta tangente ao gráfico de g ii) i) a b a b ii) Tem-se que sen b sen b. Logo, sen b sen b sen b. iii) A função seno tem período mínimo positivo igual a. Logo, sen sen sen k sen, e k, em particular, Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página

24 Preparar o Eame Matemática A O triângulo [ ] é equilátero, logo a amplitude do ângulo é e consequentemente a amplitude do ângulo é. Portanto a amplitude do ângulo é. Usando o teorema de Pitágoras no triângulo [ ], tem-se: Logo, Portanto Assim: [ ] ( ) ( ) tg g 0 0. tg 0 0 Quando o triângulo [ ] reduz-se a um segmento de reta cuja área é igual a 0. Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 4

25 Preparar o Eame Matemática A Quando a distância entre os pontos e tende para, como a altura do triângulo [ ] é sempre igual a, a sua área também vai tender para Para 0,, tem-se: 4tg g 4 4 4tg 4 tg 4tg 1 1tg tg 1 6 tg 1 tg tg k, k 6 6 Como 0,, tem-se. 6 Assim, Para tem-se, Logo, para, e portanto o triângulo é isósceles Seja. A função é contínua em [ [, logo também é contínua em [ [ [ [. Tem-se que: (, pelo que ) ( ). Como f é contínua em [ [ e, então pelo teorema de Bolzano (por uma propriedade que decorre do teorema de Bolzano): ] [ Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 5

26 Preparar o Eame Matemática A ou seja, eiste pelo menos um ] [ tal que o comprimento do segmento de reta [ ] é dez vezes a amplitude, em radianos, do ângulo Tem-se que OC cos cos CP. 6 CP 6 CP cos 6 O comprimento do arco é igual a. Assim, pretende-se determinar de modo que: 4 CP 4 cos cos cos 6 Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se y1 cos 6 e y na janela de visualização 0, 0,1. Obtém-se: y y1 cos 6 O a 4 Logo, CP a, com a 0,8. Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 6

27 Preparar o Eame Matemática A A reta de equação y a é assíntota do gráfico de f, quando, se: Tem-se: lim f a 0 lim f a lim a e a y lim y e i) y y lim 0 y e ii) y y lim y y e Logo, a reta de equação y a é assíntota do gráfico de f, quando. Outra resolução: f a e m lim lim lim lim a lim e a y lim ye i) y 0 lim y lim y 0 y y y y e ii) e b lim f m lim a e y a lim e a lim y e i) y lim y lim y a a a 0 a y y ii) y y e e Logo, a reta de equação y a é assíntota do gráfico de f, quando. i) Mudança de variável: Se então Seja y y, y. a ii) Se lim p p (limite notável), então lim 0, com a 1 e p. e 1. a Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 7

28 Preparar o Eame Matemática A 99.. A função f é continua em se lim f lim f f lim f lim a e 0 a 0 e a. Assim: cos sen 1 cos lim lim lim cos 1 cos 1 cos lim 11 sen lim 0 Se 0 então 0 (limite notável) f a e a 1 cos sen sen sen lim 1 1 lim 1 lim lim 0 1 cos 0 1 cos cos sen cos 0 11 Portanto, f é continua em 0 se a a) 1 cos 1 sen g 1 sen 4cos g k g 0 4cos 0 cos 0 k, k 4 Como 0,, tem-se. 4 4 k0 k1 Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 8

29 Preparar o Eame Matemática A Fazendo um quadro de variação do sinal da função g, em 0, vem: g n.d. 0 0 g n.d. p.i. p.i. O gráfico da função g tem a concavidade voltada para cima em 0, 4 e em, 4, tem a concavidade voltada para baio em, 4 4 e tem um ponto de infleão em e em. 4 4 b) Para 0,, tem-se: f g cos 1cos sen 1 cos cos 1 cos 0 sen 1 cos cos sen cos k, k 4 k, k 8 Como 0,, tem-se k0 k1 Página A função T é contínua em 0,11 pois é a soma de funções contínua no seu domínio. Logo T é contínua em 6,8 0,11. Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 9

30 Preparar o Eame Matemática A Tem-se: T sen cos 1 4sen cos , sen cos 1 4sen cos T Como T é contínua em 6,8 e T8 0 T6, pelo teorema de Bolzano eiste pelo menos um c 6,8 tal que Tc 0, ou seja, no conteto do problema, eistiu pelo menos um instante entre as 16 horas e as 18 horas em que a temperatura na biblioteca foi de 0º Celcius cos t sen t T t 0 cos t sen t t t t t t t cos sen cos sen T t 0 cos sen 0 t t t t cos sen cos cos i) 8 4 ii) 8 4 t t t t k k, k t t t t k k, k t t k k, k 8 8 t 4 16k t 4 16k, k 4 t 4 16k t 16k, k Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 0

31 Preparar o Eame Matemática A Substituindo k por números inteiros e tendo em conta que t 0,11 Fazendo um quadro de variação do sinal da função T, em 0,11 vem: 8, obtém-se t 4 t. t 0 4 t T 0 0 Tt mín. má. mín. má Tem-se: sen cos 1 4sen cos T T sen cos 1 18, A temperatura na biblioteca atingiu o máimo absoluto no instante (às 14h) e foi de 7ºC. T 0 4sen 0 cos T 4sen cos 1 4sen cos A temperatura na biblioteca atingiu o mínimo absoluto no instante (às 19h0min) e foi de 18ºC. Nota: 8 9, e 0, t t t t Tt 4sen cos 1 4sen cos 1 t t t 4sen cos sen Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 1

32 Preparar o Eame Matemática A t t t 4sen 1 sen sen t t 4sen 1 sen t t t t 4sen 4sen 1 4sen 4sen t t t t 4sen 4sen 19 4sen 4sen T t t Fazendo y sen 8, vem y y y y y 4 t 1 t t 1 sen sen sen t ysen 8 Eq. Impossível t t k k, k t t 5 k k, k t 16k t 16k, k t 16k t 16k, k Substituindo k por números inteiros e tendo em conta que t 0,11 A temperatura foi de ºC às 11h0min e às 16h40min. 4 0, obtém-se t t. Nota: 4 1, e 0, 60 0 ; 6, 6 e 0 0, Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página

33 Preparar o Eame Matemática A v cos 0, No instante em que a máquina é ligada a velocidade é de 110 dezenas de rotações por minuto, ou seja, 1100 r.p.m t. v. m. 0,40 v 40 v cos 0, cos 0, cos cos cos8 0 4 cos8 8, A taa de variação média entre o instante em que a máquina é ligada e o instante em que atinge a velocidade máima é de, aproimadamente, 81 r.p.m., ou seja, no conteto do problema, significa que a velocidade da máquina aumenta, em média, aproimadamente 81 r.p.m por segundo entre os 0 e os 40 segundos vt 4 400,sen 0,t 4 8sen 0,t v t 0 4 8sen 0,t 0 8sen 0,t 4 sen 0,t 0,t k 0,t k, k 4 0,t k 0,t k, k k 4 k t t, k 0, 6 0, 0, 6 0, 5 0 t 10k t 10k, k Substituindo k por números inteiros e tendo em conta que t 0,40 0 5, obtém-se t t. Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página

34 Preparar o Eame Matemática A Fazendo um quadro de variação do sinal da função T, em 0,40 vem: t v t vt mín. má. mín. má. O intervalo de tempo em que a velocidade da máquina diminui é [ ]. A velocidade mínima que a máquina atinge até esta começar de novo a aumentar é dada por:, isto é, 114 r.p.m Tem-se: gt 8 8 0,08t t 0,08t t 0,08t t 4e sen 8 4e sen 0 4e 0 sen 0 Eq. impossível t 0 k, k k t, k k t, k Substituindo k por números inteiros e tendo em conta que t 0,5, obtém-se: t 0 t 1,5 t t 4,5 A bola preta está a 8 cm do solo nos instantes t 0, t 1,5, t e t 4, Tem-se: g t 8 f t 0,08t 5 t 0,08t t 0,08t 5 t 0,08t t 4e cos 8 4e sen 4e cos 4e sen ,08t 5 t t 0,08t 5 t t 4e cos sen 4e 0 cos sen Eq. impossível Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 4

35 Preparar o Eame Matemática A 5 t t 5 t t cos sen cos cos t t 5 t t k k, k t 4 t 1k 5 t 4 t 1k, k t 1k 9 t 1k, k 1 4k t 1k t, k Substituindo k por números inteiros e tendo em conta que t 0,7, obtém-se: t 1 t t t t 5 t Nos primeiros sete segundos as duas bolas estão a igual distância do solo nos instantes t 1, t 5 e 19 t. 7 t, t, 11 t, 10.. A função f é contínua em 0,, uma vez que resulta da soma, produto e composição entre funções constantes, eponenciais, afins e trigonométricas, todas contínuas no seu domínio. Logo, f também é contínua em 5,6 0,. Tem-se: 0, f e cos 10, 6 0, f e cos 5,5 6 5,6 e f 6 10 f 5, pelo teorema de Bolzano eiste pelo menos um c 5,6 tal que f c 10, ou seja, eiste um instante entre o 5.º e o 6.º segundo em que a bola amarela se encontra a 10 cm do Como f é contínua em solo. Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 5

36 Preparar o Eame Matemática A t 8t 5t lim lim 8 4 cos 8 lim 4 cos ,08t 0,0 f t e e t t t i) 0,08 t i) Tem-se que e lim 4 4 e (infinitésimo) e que a função t O limite do produto de um infinitésimo por uma função limitada é zero. 5 t y cos 6 é limitada, pois 5t 1 cos 1 6, t. t 8t t lim lim 8 4 sen 8 lim 4 sen ,08t 0,0 g t e e t t t ii) 0,08 t ii) Tem-se que e lim 4 4 e (infinitésimo) e que a função t O limite do produto de um infinitésimo por uma função limitada é zero. t y sen é limitada, pois t 1 sen 1, t. Assim, f t g t lim lim 8. À medida que o tempo passa a distância das duas bolas ao solo tende para 8 cm. t t Tem-se que: 0,08t 0,08t 0,4 ht 4e e 0,08t0,40,08t 0,4 e e 0,787 0,08t 0,08t ht 4e e Portanto, entre cada dois instantes consecutivos em que a bola preta atinge a distância máima ao solo, essa distância diminui, aproimadamente, 1,% (100 78,7 1, ). Página Tem-se: f t t f 0 9 sen 9 40 t t sen 0 k, k t 40k, k Substituindo k por números inteiros e tendo em conta que t 0,140, obtém-se: t 0 t 40 t 80 t 10 Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 6

37 Preparar o Eame Matemática A Quando t 0 o ponto P coincide com o ponto A; Quando t 40 o ponto P coincide com o ponto C; Quando t 80 o ponto P coincide novamente com o ponto A. Assim, o ponto P demora 80 segundos a dar uma volta completa à circunferência a) t t t f t 9 sen cos cos t t t f t k, k t 0 40 k, k cos 0 cos 0 Como 0,140 t 0 40k, k t, tem-se t 0 t 60 t 100. Fazendo um quadro de variação do sinal da função f, em 0,140 vem: t t f f t mín. má. mín. má. mín. A função é crescente em [ ] e em [ ], é decrescente em [ ] e em [ ], tem mínimo relativo em que é, tem mínimo absoluto em e em que é e tem máimo absoluto em e em que é. b) O movimento é realizado no sentido positivo pois a distância do ponto à reta r aumenta logo que o movimento se inicia. Como a distância máima do ponto 11 7 cm. à reta r é 11 cm e a distância mínima é 7 cm, então o raio da circunferência é de Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 7

38 Preparar o Eame Matemática A c) O movimento termina ao fim de 140 segundos e o valor de f 140 é igual a 7 cm, que corresponde ao ponto em que a distância de P à reta r é mínima. Logo, o movimento termina no ponto D Tem-se: t t 1 t t f t 10 9 sen 10 sen k k, k t 80k t 80k, k t 80k t 80k, k Substituindo k por números inteiros e tendo em conta que t 0,140, obtém-se: t t t t O ponto P encontra-se à distância de 10 cm da reta r em quatro instantes distintos: segundos. 0, 100, 60 e Para [ ], tem-se: Para vem, Para vem, Para qualquer outro valor inteiro a equação é impossível em [ ]. Os instantes e correspondem, respetivamente, à abertura e ao encerramento da loja para almoço. Portanto não estavam pessoas na loja às 11h. Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 8

39 Preparar o Eame Matemática A Tem-se: sen 0,5 sen 0,5 sen 0,5 N t t t t t t t Para [ ], tem-se: t t t t t t 44sen 0,5 0,5 cos 0,5 t t t t t 44sen 0,5 0,5 cos 0,5 t t t t t 0,5 sen 0,5 cos 0,5 11 t sen 0,5 t t 11 t sen 0,5 t t Para vem, Para vem,. Para qualquer outro valor inteiro a equação é impossível em [ ]. Fazendo um quadro de variação do sinal da função f, em 0,4 vem: t 0 4 t f f t mín. má. mín. má. mín. Os instantes, e correspondem, aos instantes em que o número de pessoas na loja era 0. (9h, 11h e 1h). Os instantes (9h5min), e (1h5min) correspondem aos instantes em que o número de pessoas na loja foi máimo, sendo que esse número é dado por ( ) ( ). Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 9

40 Preparar o Eame Matemática A A função é contínua em, assim: ( ) ( ) ) ( ) Se y 0 então y 0 (limite notável) Logo i) Mudança de variável: Se então. Seja, Após os primeiros dez meses de comercialização, isto é, para t 10, tem-se: 0,0t t t ln 0, 01t ln 0,01 0,01t Pt 0 0 t t 0,0 t 0,01t t ln 0, 01t ln 0, 01 t t ln 0,01t Pt 0 0 ln 0,01t 0 t 0 ln 0,01t t 0 t e 0,01t e t 0 t t 0 t 100e t 0 0,01 t 100e t 0 t 10e t 10e t 0 Como t 10, tem-se t 10e. Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 40

41 Preparar o Eame Matemática A Fazendo um quadro de variação do sinal da função P, em 10, vem: t 10 10e ln 0,01t 0 t P t 0 Pt mín. má. Após os primeiros dez meses de comercialização o preço do CD atinge o valor máimo em, isto é, aproimadamente dois anos e três meses após o seu lançamento. Nota: 10e 7 meses, que corresponde a aproimadamente dois anos e três meses ( ) ( ) Com o passar do tempo o preço do CD tende para os 0 euros a) Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se na janela de visualização 0,10 0,40. Obtém-se: 5 sen t 5sen t y 1 t 5 t 5 t10 t10 e y 0 y 0 O 5 t Assim, o preço do CD foi superior a 0 euros durante os primeiros cinco meses de comercialização. Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 41

42 Preparar o Eame Matemática A b) Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se y Pt 0,0 0,40. Obtém-se: 1 e y 0 na janela de visualização y 5, O 8,66 t Assim, preço mínimo do CD foi de aproimadamente 5,0 euros. Página Tem-se: f a bcosc d a bcos c d a bcos c d c c Logo, é um período da função f. c Assim, 5 1 4c c. c Ambas as funções têm o mesmo contradomínio: 1 sen 1 4 4sen 4 4 4sen 4 g 6 Logo, D,6 g 1 cos c d 1 b bcos c d b a b a bcos c d b a a b f b a Logo, D a b, a b f Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 4

43 Preparar o Eame Matemática A Assim como Dg Df, vem a b a b a 4 a a b 6 b b 6 b 8 b 4 b 4 Como f 0 g0, tem-se 4cos0 d Como d 5, d. Assim, a, b 4 e d é o mínimo absoluto da função g. Assim: 4sen 0 cos d 0 d k, k. 4sen 4sen 4 sen 1 g k, k 6k, k 6 k, k Tem-se: Se então e se então. Portanto a abcissa do ponto só pode ser e a do ponto só pode ser. Assim, a condição que define a região sombreada pode ser: Proposta de Resolução dos Eercícios Globais de Resposta Aberta II - Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 4