FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano Versão 2

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Cássio Orlando Branco Figueira
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FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Ano Versão Nome: N.º Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.

1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Ano Versão Nome: N.º Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exato.. Sabe-se que,0 é uma solução da equação x. (0).. Relativamente ao ângulo, diga, justificando, qual das afirmações seguintes é verdadeira. (A) sen (B) sen (C) sen (D) sen e tan Como.º Q (seno positivo), o seu seno é negativo. Portanto, sen opção (A) (0).. Indique, justificando, qual das expressões seguintes representa uma solução da equação x (A) (B) (C) (D) Como é uma solução da equação x, sabemos que. Agora só temos de verificar qual das expressões dadas é equivalente a. (A) Falsa Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página /6 Versão

2 (B) sen Falsa (C) sen sen Falsa (D) Verdadeira (0).. Escreva a expressão geral das soluções da equação Efetue os arredondamentos para casas decimais. Para descobrir um ângulo com seno recorremos à função inversa do seno (calculadora). x, 9 (c.d.) é o menor ângulo (positivo) que é solução da equação (ver figura ao lado). Portanto, a expressão de todas as soluções da equação x é: x 9, k, k x, em radianos.. Na figura seguinte está representado o círculo trigonométrico e um triângulo [OAB]. O ponto B desloca-se sobre a circunferência, no primeiro quadrante. O ponto A desloca-se ao longo do eixo Ox, de tal modo que [OAB] é sempre isósceles. ().. Sendo a amplitude, em radianos, do ângulo AOB, mostre que o perímetro do triângulo é dado por P. O perímetro do triângulo é dado por P OA OB AB. Como o triângulo é isósceles sabemos que AB OB raio. Também sabemos que OA OC, sendo C o pé da altura (em AO). Portanto, P c.q.m. Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página /6 Versão

3 (0).. Sabendo que tan, determine o perímetro do triângulo. Como P, para calcular o perímetro do triângulo temos de conhecer. Efetuando a redução de tan, obtemos, ou seja, tan. Para descobrir o seno (ou o seno) temos de recorrer a uma fórmula secundária. tan Dividindo sen por obtemos sen, Portanto, Como.º Q, temos Assim, P 8 = = = 8 unidades de medida. (0).. Determine a área do triângulo [OAB] para Como o triângulo é isósceles, a sua área é. OA h A Já sabemos que OA OC. Portanto, OA. Como h CB sen, temos h sen., sendo h a altura em relação à base [AO]. Assim, unidades de área. A (). Partindo de um triângulo retângulo isósceles de lado x, mostre que sen. Nota: Explique detalhadamente todos os raciocínios efetuados até chegar à conclusão pretendida. Sendo ABC um triângulo retângulo isósceles, os seus ângulos agudos são iguais. Neste caso, cada ângulo agudo tem 90 º º ou radianos. Como já temos um triângulo retângulo podemos usar as definições de razões trigonométricas. Estamos interessados em conhecer sen. Para isso necessitamos das medidas do cateto oposto e da hipotenusa. Pelo teorema de Pitágoras temos h x x h x h x h x h x Como h é um comprimento, só nos interessa a solução positiva, portanto h x. Assim, sen c.q.m. x x Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página /6 Versão

4 . Na figura seguinte está representado um paralelogramo [ABCD], cujos ângulos internos têm amplitudes e, com. ().. Partindo da relação entre os ângulos internos do paralelogramo, prove que: sen sen Como os ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares, sabemos que Portanto, Assim, sen sen Simplificando, sen sen c.q.m. ().. Mostre que, qualquer que seja o ângulo k, k, é válida a igualdade: tan tan Este exercício pode ser resolvido, pelo menos, por dois processos:.º processo: Partir do primeiro membro para o segundo (ou vice-versa). tan tan tan tan tan.º processo: Trabalhar ambos os membros tan sen sen tan tan tan c.q.m. tan tan tan tan tan sen P.V. sen Portanto a igualdade dada é verdadeira (0).. Indique, justificando, a afirmação verdadeira para todo o número real. (A) (C) sen sen sen (B) sen (D) sen Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página /6 Versão

Simplifiquemos cada uma das expressões (até obter a verdadeira): (A) sen sen sen sen sen sen Falsa (B) sen sen sen Falsa sen sen sen sen Falsa (C) (D) sen sen sen Verdadeira Nota: (B) e (C) nunca

5 Simplifiquemos cada uma das expressões (até obter a verdadeira): (A) sen sen sen sen sen sen Falsa (B) sen sen sen Falsa sen sen sen sen Falsa (C) (D) sen sen sen Verdadeira Nota: (B) e (C) nunca seriam verdadeiras porque o sinal entre as parcelas não está ao quadrado.. A seguir encontra-se uma representação gráfica da função f, de domínio, definida por f x sen x. (0).. Determine, analiticamente, a expressão geral dos maximizantes de f. Para escrever a expressão geral dos maximizantes (ou minimizantes) precisamos de conhecer o máximo (o mínimo). Determinemos o contradomínio da função. Como senx, temos sen x Multiplicando por -: sen x Somando : sen x Portanto, f x, sendo o máximo de f Agora já podemos descobrir os objetos que têm imagem, resolvendo a equação f x f x senx sen x sen x k, k x k, k 6 x A expressão geral dos maximizantes de f é x k, k 6 ().. Estude, usando a definição, f quanto à paridade. Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página /6 Versão

6 Por observação do gráfico, podemos ver que f não é par nem ímpar. f é par f x f x, x Df (Definição) Ora, f x = sen x = sen x = sen x = sen x f x Portanto, f não é par f é ímpar f x f x, x Df (Definição) Ora, f x = sen x = sen x f x Portanto, f não é ímpar Conclusão: f não é par nem ímpar. ().. Determine, analiticamente, as soluções da equação f x f que pertencem ao intervalo,. Graficamente, vemos que esta equação tem apenas soluções no intervalo dado. Analiticamente, a equação pode ser resolvida por dois processos:.º processo: simplificar a expressão f x f.º processo: Começar por calcular f f sen x sen f x sen x sen senx sen x k x k, k f sen sen 0 f x sen x sen x 0 senx 0 0 x k x k, k x 0 k, k x k, k Para determinar as soluções que estão em, neste intervalo. A expressão do.º processo é mais simples. k 0 x 0 k x, k x k x, k x damos valores a k, até obtermos soluções,, As soluções da equação no intervalo, são, 0 e. BOM TRABALHO! Prof. José Tinoco Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página 6/6 Versão

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