Roteiro da aula. MA091 Matemática básica. Exemplo 1. Exemplo 1. Aula 30 Função inversa. Francisco A. M. Gomes. Maio de 2016.

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1 Roteiro da aula MA091 Matemática básica Aula Francisco A. M. Gomes UNICAMP - IMECC 2 Maio de 2016 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Maio de / 26 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Maio de / 26 Exemplo 1 Exemplo 1 A população de uma cidade ao longo do tempo é dada pela função p(t) = t, em que t é o número de anos transcorridos desde janeiro de Quando a população atingirá e habitantes? A população de uma cidade ao longo do tempo é dada pela função p(t) = t, em que t é o número de anos transcorridos desde janeiro de Quando a população atingirá p habitantes? t = t = 3000 t = 3000/ = 12, 5 anos = t = t = 8000 t = 8000/ 33, 333 anos = 2043 t(p) = p p = t p = t p = t t = p é a função inversa de p(t) = t Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Maio de / 26 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Maio de / 26

2 Exemplo 1 Como obter a inversa A população de uma cidade ao longo do tempo é dada pela função p(t) = t, em que t é o número de anos transcorridos desde janeiro de Quando a população atingirá e habitantes? : t(p) = p t(15000) = t(20000) = = 3000 = 8000 = 12, 5 anos Em , 3 anos Em 2043 Roteiro Para encontrar a inversa de uma função f definida na forma f(x) = expressão que depende de x 1. Troque o termo f(x) por y, de forma que a equação se torne y = expressão que depende de x 2. Resolva essa equação com relação a x, de modo a obter 3. Escreva a nova função na forma x = expressão que depende de y g(y) = expressão que depende de y Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Maio de / 26 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Maio de / 26 Exemplo 2 Determine a função inversa de f(x) = x 3 1. Substituindo f(x) por y, obtemos y = x 3 1 Resolvendo a equação: O gráfico da inversa de f(x) é obtido trocando-se as posições dos eixos x e y. y + 1 = x 3 Somando 1 a ambos os lados. (y + 1) 1/3 = (x 3 ) 1/3 Elevando ambos os lados a 1/3. 3 y + 1 = x x = 3 y + 1 Simplificando o resultado. A função inversa é g(y) = 3 y + 1 f(x) = x 3 1 g(y) = 3 y + 1 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Maio de / 26 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Maio de / 26

3 Exemplo 3 Para obter o gráfico da inversa, refletimos o gráfico de f em torno da reta y = x. Será que f(x) = x 2 tem inversa? y = x 2 Equação na forma y = f(x). ± y = x Eliminando o expoente 2. x = ± y Reflexão de f(x) y = f(x) e x = g(y) Para y = 2, temos x = 2 ou x = 2 Mas a equação x = ± y não define uma função Logo, f não tem inversa Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Maio de / 26 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Maio de / 26 Exemplo 3 Teste da reta horizontal Teste da reta horizontal Uma função tem inversa em um domínio D se nenhuma reta horizontal corta seu gráfico mais de uma vez. A equação x = ± y não define uma função A função f(x) = x 2 não possui inversa f(x) = x 2 não é inversível Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Maio de / 26 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Maio de / 26

4 Exemplo 4 Função injetora A função cujo gráfico é mostrado ao lado é inversível? Função injetora Uma função f, definida em um domínio D, é injetora quando, dados quaisquer valores reais x 1, x 2 D, se x 1 x 2 então f(x 1 ) f(x 2 ). Uma função é injetora se seu gráfico satisfaz o teste da reta horizontal f não passa no teste Não é o gráfico de uma função Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Maio de / 26 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Maio de / 26 Exemplo 5 Definição formal de inversa Será que f(x) = 3 5x 2 tem inversa? y = 3 5x 2 y(5x 2) = 3 5x 2 = 3 y 5x = 3 y + 2 x = 3 5y Equação na forma y = f(x). Multiplicando os dois lados por (5x 2). Dividindo os dois lados por y. Somando 2 a ambos os lados. Dividindo os dois lados por 5. Seja f uma função injetora em um domínio A, com conjunto imagem B. A inversa de f, representada por f 1, é a função com domínio B e conjunto imagem A definida por f 1 (y) = x se e somente se y = f(x). Inversa: g(y) = 3 5y Domínio de g: D g = {y R y 0} Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Maio de / 26 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Maio de / 26

5 Exemplo 6 - Restrição do domínio para que f tenha inversa Exemplo 6 - Restrição do domínio para que f tenha inversa Será que f(x) = x 2 tem inversa no domínio D = {x R x 0}? y = x 2 Equação na forma y = f(x). ± y = x Eliminando a raiz quadrada. x = ± y x = y Inversa: f 1 (y) = y Desprezando os valores de x que estão fora do domínio. f(x) em {x R x 0} f 1 (y) em {y R y 0} Domínio de f 1 : D f 1 = {y R y 0} Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Maio de / 26 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Maio de / 26 Exemplo 7 Inversa da inversa Sabemos que a inversa de p(t) = t é t(p) = p Determine a inversa de t(p). t = p Equação associada à função t(p). t = p Multiplicando ambos os lados por. Propriedade da função inversa Seja f uma função injetora em um domínio A, com conjunto imagem B. Nesse caso, f 1 (f(x)) = x, para todo x em A; f(f 1 (y)) = y, para todo y em B. t = p p = t Inversa: p(t) = t Somando aos dois lados. Em outras palavras, f 1 (y) é a inversa de f(x). f(x) é a inversa de f 1 (y). Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Maio de / 26 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Maio de / 26

6 Exercício 1 Exercício 2 Determine quais funções abaixo são injetoras. 1 f(x) = 1 x 2. 2 g(x) = 1/x. A) Nenhuma B) Somente f C) Somente g D) f e g Determine a função inversa de f(x) = x + 1 x 2, bem como o domínio e a imagem da inversa. A) f 1 (y) = (y + 1)/(y 2) B) f 1 (y) = (1 + 2y)/(y 1) D = {y y 1} Im = {x x 2} C) f 1 (y) = (y 2)/(y + 1) D) f 1 (y) = 3/(y 1) E) f 1 (y) = (xy x 1)/2 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Maio de / 26 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Maio de / 26 Exercício 3 Exercício 4 O gráfico de f(x) é dado abaixo. Qual é o gráfico de f 1 (y)? (A) (B) (C) (D) Dada a função f(x) = (x 2) 2, em qual dos domínios abaixo ela é injetora e qual é a inversa da função no domínio escolhido? A) D(f) = {x x 2}; f 1 (y) = y + 2 B) D(f) = {y y 0}; f 1 (y) = y + 2 C) D(f) = {x x 4}; f 1 (y) = y + 4 D) D(f) = {y y 0}; f 1 (y) = y + 4 E) D(f) = {x x 0}; f 1 (y) = y Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Maio de / 26 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Maio de / 26

7 Exercício 5 Comprei uma árvore frutífera com 1,5 m de altura. Sabendo que a árvore cresce 60 cm por ano, 1 Escreva uma função A(t) que forneça a altura da árvore em relação ao número de anos (t) decorridos desde sua compra. 2 Determine a inversa de A(t) e indique o que essa inversa representa. 3 Usando a inversa, determine o tempo necessário para que a árvore alcance 12 m. 1 A(t) = 1, 5 + 0, 6t 2 A 1 (y) = 1, 667y 2, 5. A inversa fornece o tempo necessário para que a árvore atinja um altura y, em metros. 3 17,5 anos Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Maio de / 26 Exercício 6 Todos os carros de uma loja estão com 10% de desconto sobre o preço de tabela. Além disso, depois de calculado o desconto, o cliente tem uma redução de R$ 900,00 sobre o preço. 1 Escreva uma função P (x) que forneça o valor que o cliente pagará pelo carro, em relação ao preço de tabela, x. 2 Determine a função inversa de P e indique o que essa função representa. 3 Se você tem exatamente R$ ,00, determine o preço de tabela do carro mais caro que você consegue comprar à vista. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Maio de / 26