Trigonometria e relações trigonométricas

Transcrição

1 Trigonometria e relações trigonométricas Em trigonometria, os lados dos triângulos retângulos assumem nomes particulares, apresentados na figura ao lado. O lado mais comprido, oposto ao ângulo de 90º (ângulo reto), cama-se ipotenusa e os demais se camam catetos. O cateto que forma o ângulo θ, na figura, com a ipotenusa é o cateto adjacente ao ângulo e o outro o cateto oposto. Teorema de Pitágoras O grego Pitágoras formulou o seguinte teorema para o triângulo retângulo: a soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da ipotenusa. Isto é: x² y² ² Relações trigonométricas de ângulos Os lados do triângulo podem ser relacionados com o ângulo θ, através de relações denominadas trigonométricas: Seno do ângulo θ ou sen(θ) É o quociente entre o cateto oposto ao ângulo θ e a ipotenusa: Cosseno do ângulo θ ou cos(θ) cateto oposto sen y ipotenusa. É o quociente entre o cateto adjacente ao ângulo θ e a ipotenusa; Tangente do ângulo θ ou tan(θ) cateto adjacente cos x ipotenusa É o quociente entre o cateto oposto e o cateto adjacente: Note que a tangente pode ser escrita como: cateto oposto tan y cateto adjacente x. y sen( ) sen( ) tan( ) tan( ) x cos( ) cos( )

2 Funções trigonométricas derivadas Secante do ângulo θ ou sec(θ) sec cos Co-Secante do ângulo θ ou cosec(θ) Co-Tangente do ângulo θ ou cotan(θ) cosec cotan sen tan A equação fundamental da trigonometria A equação fundamental da trigonometria surge como um caso particular do teorema de Pitágoras: x y sen cos x y x y mas sen e cos Desta equação podemos derivar outras. Dividindo ambos os lados por ou, dividindo por sen : sen cos cos cos cos tan cos sen cos cotan sen sen sen sen. cos :

3 Problema da altura da torre Um problema interessante é o cálculo da altura da torre a partir dos ângulos α e β. Fazendo a medição dos ângulos separados pela distância de 0 m mostrado na figura, mediu-se o 0 e o 8. Então, das funções trigonométricas obtemos: tan( ) b tan( ) b b tan( ) a tan( ) tan( ) a tan( ) a mas b a 0 então: a 0 tan( ) a tan( ) a 0 tan( ) tan( ) tan( ) 0 tan( ) a tan( ) tan( ) mas a tan( ) 0 tan( ) 0 tan( ) tan( ) tan( ) tan( ) tan( ) tan( ) tan( ) Substituindo os valores das tangentes dos ângulos: o tan( ) tan(0 ) 0,367 o tan( ) tan(8 ) 0,35 0 tan( ) tan( ) 30,3m tan( ) tan( ) 3

4 Outro problema de medição de altura A medição da altura do prédio pode ser feita utilizando-se a luz solar (e a sombra produzida pelo prédio) e uma estaca de altura conecida colocada ao lado. Note que, neste caso, a H tan( ) para o prédio, e é a mesma relação para a estaca: X tan( ) x, então, Port H H X X x x anto, conecendo-se o comprimento das sombras e a altura da estaca, pode-se determinar o valor da altura do prédio H. Seno, cosseno e tangente como funções reais de variável real Na figura ao lado, a circunferência foi dividida em ângulos na unidade radianos, onde uma volta inteira corresponde a π radianos ou rad. Isto é, π é a razão entre o diâmetro da circunferência e o comprimento dela: comprimento comprimento diâmetro raio. comprimento raio Portanto θ tem unidade rad e, neste caso, pode ser usado como qualquer número nas operações matemáticas, por exemplo: 3,4 se então a operação, 4, O mesmo não poderia ser feito se θ fosse expresso em graus. A origem da medida dos ângulo é no eixo das abscissas (x). O eixo vertical y (ordenadas) corresponde, portanto, a um ângulo de 90º ou θ = π/. 4

5 Considere o triângulo retângulo à direita do eixo y. O ângulo é θ e o valor das funções trigonométricas seno e cosseno é: y x sen( ) cos( ) Agora considere o triângulo retângulo à esquerda do eixo y. O ângulo agora é π θ. Então: y x sen cos sen sen cos cos Portanto, a função ímpar. sen é uma função par e cos uma função Agora analisemos o triângulo inferior. Neste caso, y x sen sen cos cos sen sen cos cos Portanto, isto prova novamente o caráter ímpar para a função cosseno e par para a função seno. Agora analisemos os casos em que θ =0 e θ = π/. Quando θ =0, x será igual ao valor da ipotenusa, isto é, x =, enquanto que y = 0. Portanto: sen 0 y 0 cos 0 x Portanto, podemos construir uma tabela com valores de θ mais comuns: Θ graus x y sen cos tan 0 0º º º 4 70º π 80º y x y x 5

6 Soma e subtração de ângulos. Algumas propriedades trigonométricas interessantes referem-se à soma ou subtração de ângulos. São elas: cos cos cos sen sen sen sen cos cos sen *Prova no anexo Estas equações podem ser usadas para determinar o valor do seno ou cosseno de ângulos desconecidos. Por exemplo, qual o sen 6 ou sen 30 o? sen sen sen cos cos sen sen cos cos sen sen cos sen cos cos sen sen 3sen cos cos sen sen 3sen sen 4sen 3sen sen 3sen A resolução desta equação do terceiro grau fornece3raízes: sen, sen sen como sen está no primeiro quadrante, a soluça o negativa não é valida. 6 Portanto sen 6 Tente fazer cos, sen e sen 6 3 Também podemos obter sen tan cos sen cos cos sen tan cos cos sen sen tan tan tan tan tan cos cos cos cos sen cos cos sen cos cos sen sen 6

7 Soma de ângulos iguais Da primeira equação, fazendo α = θ, obtemos: cos cos cos sen sen cos cos sen mas cos sen sen cos ou cos cos cos sen Da segunda equação, fazendo α = θ, obtemos: sen sen cos cos sen sen sen cos Periodicidade das funções trigonométricas As funções seno e cosseno são funções periódicas, cujo período é π. Note que, ao substituirmos θ nas equações abaixo por n de voltas em torno da circunferência, obtemos:, onde n é um número inteiro, ou o número n n n n n cos cos cos sen sen cos cos cos sen sen mas sen 0 para qualquer e cos n cos n pois n é par para qualquer n e portanto tem-se múliplos de. n portanto cos cos n n n n sen sen cos cos sen n sen sen Portanto as funções seno e cosseno tem o mesmo valor para,, 3,..., n. Observe no gráfico a periodicidade com que a função se repete: 7

8 cos(),0 sen(),0 0,5 0,5 0,0 A 0,0 A -0,5-0,5 -,0 -,0 Embora não sejam contínuas, isto é, possuem valores que tendem a infinito, as demais funções trigonométricas também são periódicas: tan() cotan() 0 0 sec() cossec() 0 0 8

9 Ângulo de fase: As funções trigonométrica, por serem periódicas, costumamos camar uma constante somada ao ângulo de ângulo de fase, por exemplo: cos é o ângulo de fase Uma aplicação é a rede elétrica trifásica. A energia elétrica é uma função co-senoidal e cada fio (ou fase) tem amplitude máxima de 7 Volts, como na figura, sendo cada onda defasada da outra de 0º, ou ângulo de fase de, isto é, a fase começa em θ = 0, a fase em θ = e a fase 3 em θ = ( a escala x = θ, é uma função do tempo, isto é, t, onde é a frequência angular de.60hz : 0 Fase Fase Fase 3 Fase - Fase 3 44 Volts ,5,5,5 3 Múltiplos de Pi Ligando um aparelo na fase e no terra (0 V), tem-se 7 V, mas se ligar o aparelo em duas fases (fase fase ) obtém-se 0 V, representada pela função de maior intensidade. Anexo I - Demonstração da adição e subtração de arcos Considere o círculo trigonométrico de raio = abaixo: 9

10 Observando as construções geométricas no círculo trigonométrico acima, podemos deduzir que os triângulos OMP, OVS e QTS são retângulos e semelantes. Então, podemos construir algumas relações: Os triângulos OVS e OMP são semelantes, logo: Substituindo as relações (), (), (7) na igualdade acima, obtemos: 0

11 Os triângulos QTS e OMP são semelantes, logo: Substituindo as relações (3), (4) e (7) na igualdade acima, obtemos: Agora que já construímos algumas relações principais, vamos às demonstrações: cos(a + b) = cos(a)cos(b) sen(b)sen(a) Observando o círculo trigonométrico da figura, notamos que: Podemos concluir também que: Se substituirmos as relações (5) e (8) na igualdade acima, obteremos: cos(a b) = cos(a)cos(b) + sen(b)sen(a) Da relação (0) temos que: Se quisermos determinar cos(a b), podemos escrever a relação acima como:

12 Mas, se observarmos o círculo trigonométrico da figura, deduzimos que: Então: Em contrapartida, podemos escrever: Então teremos: sen(a + b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a) Sabemos que: Se fizermos θ = (a + b), teremos: Da mesma forma, temos: Temos aqui um cosseno da diferença entre dois arcos e é dado pela relação (), logo: Mas, observando a relação (), vemos algumas similaridades coma relação (3) e podemos escrevê-la assim:

13 sen(a b) = sen(a)cos(b) sen(b)cos(a) Da relação (4) temos que: Se quisermos determinar sen(a b), podemos escrever a relação acima como: No entanto: e Fazemos: 3