TRIÂNGULO RETÂNGULO. Os triângulos AHB e AHC são semelhantes, então podemos estabelecer algumas relações métricas importantes:

Transcrição

1 TRIÂNGULO RETÂNGULO Num triângulo retângulo, os lados perpendiculares, aqueles que formam um ângulo de 90º, são denominados catetos e o lado oposto ao ângulo de 90º recebe o nome de hipotenusa. O teorema de Pitágoras é aplicado ao triângulo retângulo e diz que: hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos, h² = c² + c². RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Observem os triângulos: Os triângulos AHB e AHC são semelhantes, então podemos estabelecer algumas relações métricas importantes: h² = mn b² = ma c² = an bc = ah

2 APLICAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS DIAGONAL DO QUADRADO Dado o quadrado de lado l, a diagonal D do quadrado será a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos l, com base nessa definição usaremos o teorema de Pitágoras para uma expressão que calcula a diagonal do quadrado em função da medida do lado. DIAGONAL DO BLOCO RETANGULAR (PARALELEPÍPEDO) Observe o bloco de arestas a, b e c, iremos calcular a diagonal (d), mas usaremos a diagonal x da base em nossos cálculos. Veja: x² = a² + b² d² = x² + c² substituindo, temos:

3 ALTURA DE UM TRIÂNGULO EQUILÁTERO O triângulo PQR é equilátero, vamos calcular sua altura com base na medida l dos lados. Ao determinarmos a altura (h) do triângulo PQR, podemos observar um triângulo retângulo PHQ catetos: h e l/2 e hipotenusa h. Aplicando o teorema de Pitágoras temos:

4 DIAGONAL DO CUBO (CASO PARTICULAR DO PARALELEPÍPEDO) Considere o cubo um caso particular de um bloco retangular, então: a = b = c = l TRIANGULO RETÂNGULO (seno, cosseno e tangente) Em um triângulo retângulo, seno, cosseno e tangente são definidos por: PS triângulo retângulo em C: Seno (em inglês e na maioria das linguagens de programação e calculadoras, sin): Cosseno (em linguagens de programação e calculadoras, cos): Tangente (na maioria das linguagens de programação e calculadoras, tan, mas também é possível encontrar tang e tg): Observando-se, na figura, que os ângulos A e B somam um ângulo reto. (, em radianos), chega-se a:

5 Elementos de um triângulo retângulo No triângulo retângulo ABC da figura acima, temos:

6 DEMONSTRANDO AS RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO RETÂNGULO VEJAMOS:

7 RELAÇÕES DAS SEMELHANÇAS DOS TRIÂNGULOS: 1) Através da relação de Euclides, podemos dizer que o quadrado da medida de um cateto, é o mesmo que o produto da medida da hipotenusa através da medida da projeção ortogonal deste mesmo cateto sobre a hipotenusa.

8 2) Através do Teorema de Pitágoras, podemos dizer que o quadrado da medida da hipotenusa, é o mesmo que a soma dos quadrados das medidas dos catetos. Logo, temos:

9 3) Há uma igualdade entre o quadrado da medida da altura relativa e o produto das medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Logo, temos: 4) O produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa será igual ao produto das medidas dos catetos. Logo, temos:

10 RESUMO DAS RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO No triângulo retângulo ABC da figura, onde BC = a, AC = b; AB = c; AH = h; BH = m e CH = n, valem as seguintes relações, vejamos:

11 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS (demonstrações) Considere um triângulo retângulo ABC. Podemos definir: - Seno do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa do triângulo. senê = e/a senô = o/a

12 - Cosseno do ângulo agudo: razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa do triângulo. cosê = o/a cosô = e/a - Tangente do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente. tgê = e/o tgô = o/e Observe: senê = cosô, senô = cosê e tgê = 1/tgÔ, sempre Ê + Ô = 90º Exemplo: senô = 3/5 = 0,6 senê = 4/5 = 0,8 cosô = 4/5 = 0,8 cosê = 3/5 = 0,6 tgô = 3/4 = 0,75 tgê = 4/3 = 1, ÂNGULOS NOTÁVEIS Pode-se determinar seno, cosseno e tangente de alguns ângulos. Esses ângulos chamados de notáveis são: 30, 45 e 60. A partir das definições de seno, cosseno e tangente, vamos determinar esses valores para os ângulos notáveis. Considere um triângulo equilátero de lado l Traçando a altura AM, obtemos o triângulo retângulo AMC de ângulos agudos iguais a 30 e 60. Aplicando as razões trigonométricas ao triângulo AMC temos:

13 Para obter as razões trigonométricas do ângulo de 45, considere um quadrado de lado l. A diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos isósceles. No triângulo ABD, temos:

14 Observação: sen45 = cos45 TABELA DOS ÂNGULOS NOTÁVEIS: