Os Sólidos de Platão. Colégio Santa Maria Matemática III Geometria Espacial Sólidos Geométricos Prof.º Wladimir

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1 Sólidos Geométricos As figuras geométricas espaciais também recebem o nome de sólidos geométricos, que são divididos em: poliedros e corpos redondos. Vamos abordar as definições e propriedades dos poliedros. Poliedros são figuras geométricas formadas por três elementos básicos: vértices, arestas e faces. Um poliedro é considerado regular quando suas faces são polígonos regulares e congruentes. Essa expressão determina o número de faces, arestas e vértices de qualquer poliedro. Por volta do século VI antes de Cristo, o filósofo Platão estudou os poliedros platônicos relacionando-os aos elementos da natureza. Veja a associação feita por ele: Tetraedro: fogo Hexaedro (cubo): terra Octaedro: ar Icosaedro: água Dodecaedro: universo Além dos poliedros de Platão, os sólidos geométricos como: prismas, pirâmides, paralelepípedos, blocos retangulares e quadrangulares são considerados poliedros. Os Sólidos de Platão Dentre os poliedros existentes, existem alguns considerados Poliedros de Platão, pois todas as faces possuem o mesmo número de arestas, todos os ângulos poliédricos possuem o mesmo número de arestas e se enquadram na relação de Euler. Os Poliedros considerados de Platão são: Os sólidos de Platão também são denominados de poliedros, pois são formados por faces, arestas e vértices. As faces são constituídas por seções de planos, considerando que entre duas faces temos as arestas, as quais possuem em suas extremidades os vértices. Platão foi um filósofo grego, que viveu entre os séculos V e IV a.c., e estabeleceu importantes propriedades em alguns poliedros. Os poliedros de Platão possuem características próprias e se enquadram nas seguintes condições: O número de arestas é igual em todas as faces; Os ângulos poliédricos possuem o mesmo número de arestas; Nos sólidos considerados poliedros de Platão vale a relação de Euler () onde V = vértices, A = arestas e F = faces. O prisma a seguir pode ser considerado um Poliedro da Platão, pois se encaixa nas condições descritas anteriormente. Tetraedro, Hexaedro (cubo), Octaedro, Dodecaedro, Icosaedro. A fórmula de Euler está atribuída à relação de dependência entre os elementos de um poliedro. A expressão matemática desenvolvida por Leonhard Euler, matemático suíço, é a seguinte:. Onde: V = vértice A = arestas F = Faces As seis faces do sólido são quadriláteros, isto é, são formadas por quatro arestas. Os ângulos são triédricos, pois todos são formados por três arestas. A relação de Euler pode ser aplicada, observe: O sólido possui oito vértices, seis faces e 12 arestas: = = 2 2 = 2 (verdadeiro)

2 Os poliedros de Platão são classificados em cinco classes de acordo com a tabela a seguir: Exemplo 2 Determine o número de vértices da pirâmide quadrangular a seguir: Platão estabeleceu algumas relações entre as classes de poliedros e a construção do Universo. Ele associou os poliedros cubo, icosaedro, tetraedro e octaedro, respectivamente, aos elementos terra, água, fogo e ar; e o dodecaedro foi associado ao universo. Conheça os poliedros de Platão: Visivelmente podemos afirmar que a pirâmide possui 5 vértices, 5 faces e 8 arestas. Vamos agora demonstrar que a relação de Euler é válida na determinação dos elementos da pirâmide de base quadrangular. Resolução: Vértices V = 2 V = V = 5 Arestas 5 A + 5 = 2 A = 2 10 A = 8 x( 1) A = 8 Relação de Euler A relação criada pelo matemático suíço Leonhard Euler possui extrema importância na determinação do número de arestas, vértices e faces de qualquer poliedro convexo e alguns não convexos. Essa relação permite que os cálculos sejam realizados no intuito de determinarmos o número de elementos de um poliedro. A fórmula criada por Euler é a seguinte:, onde V = número de vértices, A = número de arestas e F = número de faces. Exemplo 1 Determine o número de faces de um sólido que possui 10 arestas e 6 vértices. Resolução: F = F = 2 F = F = 6 Portanto, o sólido possui 6 faces. Faces F = F = 2 F = F = 5 Podemos notar que a relação de Euler é realmente válida na determinação dos elementos de um sólido convexo. Exemplo 3 O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Determine, utilizando a relação de Euler, o número de faces do poliedro. Resolução: Considerando que o número de faces é igual ao número de vértices, podemos representar os valores desconhecidos pela incógnita x. Dessa forma, F = x e V = x. Aplicando a relação de Euler: x 22 + x = 2 2x = x = 24 x = 12

3 Prismas Consideremos o prisma como um sólido geométrico formado pelos seguintes elementos: base, altura, vértices, arestas e faces laterais. Os prismas podem apresentar diversas formas, mas algumas características básicas definem esse sólido geométrico. Por exemplo, o número de faces do prisma será exatamente igual ao número de lados do polígono que constitui suas bases (superior e inferior), dessa forma, sua classificação quanto ao número de lados pode ser: Prisma Pentagonal Oblíquo Triangular base constituída de triângulos. Quadrangular base constituída de quadriláteros. Pentagonal base constituída de pentágonos. Hexagonal base constituída de hexágonos. Heptagonal base constituída de heptágonos. Octogonal base constituída de octógonos. Os prismas também podem ser classificados como retos ou oblíquos. Os prismas retos são aqueles em que a aresta lateral forma com a base um ângulo de 90º, os oblíquos são aqueles em que as arestas formam ângulos diferentes de 90º. Prisma Quadrangular Oblíquo Pirâmides Todos os prismas possuem área da base, área lateral, área total e volume. Todas essas medidas dependem do formato do polígono que se encontra nas bases; por exemplo, os prismas acima possuem em sua base um pentágono, portanto, para calcularmos a área dessa base devemos determinar a área do pentágono. No caso do prisma pentagonal reto, as faces laterais constituem retângulos e a do prisma oblíquo é formada por paralelogramos. A área total de um prisma é calculada somando a área lateral e o dobro da área da base. E o volume é determinado calculando a área da base multiplicada pela medida da altura. Dada uma região poligonal de n vértices e um ponto V fora da região (outro plano), ao traçarmos segmentos de retas entre os vértices da região poligonal e o ponto V, construímos uma pirâmide que será classificada de acordo com o número de lados do polígono da base. Observe alguns exemplos de prismas: Prisma Triangular Reto Prisma Hexagonal Reto Os segmentos AV, BV e CV são as arestas laterais da pirâmide. Os pontos A, B, C e V são os vértices. Os triângulos VAB,VBC e VCA são as faces laterais. O triângulo ABC é outra face da pirâmide e constitui a base. A distância do ponto V ao centro da base constitui a altura da pirâmide.

4 A classificação de uma pirâmide depende do número de arestas da região da área da base. Base é um triângulo Nome: pirâmide triangular Número de faces: três faces laterais mais face da base, portanto, quatro faces. Pirâmide Regular Uma pirâmide só é chamada de regular, ela sendo reta e polígono da base é regular. Base é um quadrado Nome: pirâmide quadrangular Número de faces: quatro faces laterais mais face da base, portanto, cinco faces. Base é um pentágono Nome: pirâmide pentagonal Número de faces: cinco faces laterais mais face da base, portanto, seis faces. Base é um hexágono Nome: pirâmide de base hexagonal Número de faces: seis faces laterais mais face da base, portanto, sete faces. Pirâmide triangular Pirâmide quadrangular Pirâmide pentagonal Altura, apótema da base e apótema da pirâmide Sejam, h: altura da pirâmide n: apótema da pirâmide m: apótema da base Pelo teorema de Pitágoras, temos: n² = h² + m² Os pontos das pirâmides regulares representam: a) raio da base = OA (R) b) apótema da base = OM (a) c) apótema da pirâmide (altura) = VM (g) d) triangulo = VOM em retângulo = O e assim: e) triangulo = VOA em retângulo O Área da base A área da base de uma pirâmide depende da área do polígono em questão. Quando o polígono for regular temos: onde P: perímetro do polígono e a: apótema do polígono.

5 Área lateral É a soma de todas as áreas laterais. Área total Soma da área lateral com a área da base. A t = A l + A b Volume O volume de uma pirâmide é dado pela expressão: onde Ab: área da base (depende do polígono) e h: altura da pirâmide. Planificação de uma pirâmide Pirâmide triangular pentagonal Princípio de Cavalieri Pirâmide quadrangular Pirâmide Bonaventura Cavalieri foi um matemático italiano, discípulo de Galileu, que criou um método capaz de determinar áreas e volumes de sólidos com muita facilidade, denominado princípio de Cavalieri. Este princípio consiste em estabelecer que dois sólidos com a mesma altura têm volumes iguais se as secções planas de iguais altura possuírem a mesma área. Consideremos dois planos horizontais α e β paralelos, sendo que α seccionará dois sólidos S 1 e S 2. O plano α determinará nos sólidos duas seções planas indicadas por α S 1 e α S 2. Se para qualquer plano horizontal α, ocorrer α S1 = α S2, isto é, possuírem a mesma área, os volumes dos sólidos S1 e S2 serão iguais, constituindo o princípio de Cavalieri. A geometria proposta por Cavalieri foi o primeiro passo rumo ao cálculo infinitesimal, pois essa nova geometria ponderava que toda figura plana seria formada por retângulos de largura infinitesimal, chamados por Galileu de indivisíveis. Dessa forma, pode-se concluir que se duas figuras planas comprimidas entre retas paralelas formam uma relação constante, as áreas das figuras também possuem a mesma relação. Essa ideia de indivisível proposta por Galileu e trabalhada por Cavalieri provocou muita discussão e críticas por parte de algumas pessoas ligadas ao assunto. A consistência do método dos indivisíveis foi aceita e usada por importantes cientistas, como, Torricelli, Fermat, Pascal entre outros. Retirado de em 20/07/2011

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