Lista 1 - Mat2- Introdução a Geometria Espacial e Triângulo Retângulo

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Lavínia Coimbra Castelhano
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1 Lista 1 - Mat- Introdução a Geometria Espacial e Triângulo Retângulo 1)( Cftce ) Observe as afirmações: I) O espaço é o conjunto de todos os pontos. II) Dois pontos distintos determinam uma reta. III) Três pontos não-pertencentes a uma mesma reta definem um plano. É correto concluir que: a) somente I é verdadeira b) apenas I e II são verdadeiras c) apenas II e III são verdadeiras d) todas são falsas e) todas as afirmações são verdadeiras. (Ufrn ) Na cadeira representada na figura a seguir, o encosto é perpendicular ao assento e este é paralelo ao chão. Sendo assim, a) Os planos EFN e FGJ são paralelos. b) HG é um segmento de reta comum aos planos EFN e EFH. c) Os planos HIJ e EGN são paralelos. d) EF é um segmento de reta comum aos planos EFN e EHG. ) (Uel ) Considere uma reta s, contida em um plano á, e uma reta r perpendicular a s. Então, necessariamente: a) r é perpendicular a á. b) r e s são coplanares. c) r é paralela a į. d) r está contida em á. e) Todas as retas paralelas a r interceptam s. 4) (Ufal ) Analise as afirmativas a seguire coloque V ou F. ( ) Duas retas que não têm pontos comuns sempre são paralelas. ( ) Duas retas distintas sempre determinam um plano.

2 ( ) Uma reta pertence a infinitos planos distintos. ( ) Três pontos distintos sempre determinam um plano. ( ) Duas retas coplanares distintas são paralelas ou concorrentes. 5) (Mackenzie) r, s e t são retas distintas tais que s é perpendicular a r e t é perpendicular a r. Relativamente às retas s e t, podemos afirmar que: a) elas podem ser unicamente paralelas ou concorrentes. b) elas podem ser unicamente paralelas ou reversas. c) elas podem ser unicamente concorrentes ou reversas. d) elas podem ser paralelas, concorrentes ou reversas. e) elas podem ser unicamente reversas. 6) (Faap ) Duas retas são reversas quando: a) não existe plano que contém ambas b) existe um único plano que as contém c) não se interceptam d) não são paralelas e) são paralelas, mas pertencem a planos distintos 7) (Uel ) As retas r e s foram obtidas prolongando-se duas arestas de um cubo, como está representado na figura a seguir. Sobre a situação dada, assinale a afirmação INCORRETA. a) r e s são retas paralelas. b) r e s são retas reversas. c) r e s são retas ortogonais. d) não existe plano contendo r e s. e) r s = 8) (Puccamp) Considere as afirmações a seguir. I. Duas retas distintas determinam um plano. II. Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si. III. Se dois planos são paralelos, então toda reta de um deles é paralela a alguma reta do outro.

3 É correto afirmar que a) apenas II é verdadeira. b) apenas III é verdadeira. c) apenas I e II são verdadeiras. d) apenas I e III são verdadeiras. e) I, II e III são verdadeiras. 9) (Faap ) O galpão da figura a seguir está no prumo e a cumeeira está "bem no meio" da parede. Das retas assinaladas podemos afirmar que: a) t e u são reversas b) s e u são reversas c) t e u são concorrentes d) s e r são concorrentes e) t e u são perpendiculares 10. (Faap) Considere as proposições: I. Dois planos paralelos a uma mesma reta são paralelos II. Um plano paralelo a duas retas pertencentes a outro plano é paralelo a este III. Um plano perpendicular a uma reta de outro plano é perpendicular a este IV. Um plano paralelo a uma reta de outro plano é paralelo a este Nestas condições: a) nenhuma das proposições é verdadeira b) somente as proposições I e III são verdadeiras c) uma única proposição é verdadeira d) todas as proposições são verdadeiras e) uma única proposição é falsa 11) (Ufu 015) O comandante de um navio fez, pela primeira vez, uma rota retilínea AC orientado por um farol F, localizado numa ilha. Ele pretendia determinar as distâncias do farol F à rota AC e do ponto inicial A ao farol F. No início da viagem, o comandante obteve a medida FAC 0 e, após percorrer 6 milhas marítimas, localizando-se em B, ele fez a medição do ângulo FBC, obtendo 60. Observe a figura a seguir que ilustra esta situação.

4 De acordo com as informações, as distâncias, em milhas, do farol F à rota AC e do ponto inicial A ao farol F, obtidas pelo comandante foram, respectivamente, a) e. b) e 4. c) e 6. d) e. 1) (ifsc 015) Em uma aula prática, um professor do curso técnico de edificações do campus Florianópolis do IFSC, pede para que seus alunos determinem a altura de um poste que fica nas instalações da instituição, porém há uma impossibilidade para se chegar tanto ao topo do poste, bem como sua base. Para realizar tal medida, são disponibilizados para os alunos uma trena (fita métrica) e um teodolito. É realizado o seguinte procedimento: primeiro crava-se uma estaca no ponto A a x metros da base do poste e mede-se o ângulo formado entre o topo do poste e o solo, que é de 60 (sessenta graus); em seguida, afastando-se 10m (dez metros) em linha reta do ponto A e cravando uma nova estaca no ponto B, mede-se novamente o ângulo entre o topo do poste e o solo, que é de 0 (trinta graus). A partir do procedimento descrito e da figura abaixo, é CORRETO afirmar que a altura do poste é de aproximadamente: Dados: sen0 0,5; cos0 0,86; tg0 0,58 sen60 0,86; cos60 0,5; tg60 1,7 a) 8,65m b) 5m c) 6,65m d) 7,65m e) 4m 1) Puccamp 016) A figura mostra o ângulo de visão que um mesmo observador tem de uma estrutura de caixa d água em dois pontos diferentes. Sabe-se que a altura dos olhos, em relação ao piso plano sobre o qual a estrutura está apoiada perpendicularmente, é exatamente a metade da altura da estrutura da caixa d água, e que a distância entre os dois pontos de observação é de metros.

5 Dados: sen cos tan A partir dessas informações, é possível determinar que a altura da estrutura da caixa d água, em metros, é igual a : a). b). c). d). e) 1. 14) (Uece 016) Uma pessoa, com 1,7 m de altura, está em um plano horizontal e caminha na direção perpendicular a um prédio cuja base está situada neste mesmo plano. Em certo instante, essa pessoa visualiza o ponto mais alto do prédio sob um ângulo de 0 graus. Ao caminhar mais m, visualiza o ponto mais alto do prédio, agora sob um ângulo de 45 graus. Nestas condições, a medida da altura do prédio, em metros, é aproximadamente: a) 5,6. b) 6,6. c) 7,6. d) 8,6. 15)(Ufrgs 015) Quatro círculos de raio r foram traçados de forma que sejam tangentes entre si dois a dois, como na figura abaixo. As distâncias entre os centros de dois círculos não tangentes entre si têm a mesma medida. A distância entre os centros de dois círculos não tangentes entre si é: a) r. b) r. c) r. d) r. e) r. 16) 16. (Col. naval 015) Qual a medida da maior altura de um triângulo de lados, 4 e 5?

6 a) 1 5 b) c) 4 d) 5 e) (Pucrj 01) Uma bicicleta saiu de um ponto que estava a 8 metros a leste de um hidrante, andou 6 metros na direção norte e parou. Assim, a distância entre a bicicleta e o hidrante passou a ser: a) 8 metros b) 10 metros c) 1 metros d) 14 metros e) 16 metros 18. (Fgv 01) Um triângulo tem lados medindo 1cm, cm e,5cm. Seja h a medida da altura relativa ao maior lado. O valor de h expresso em cm é, aproximadamente, igual a: a) 0,54 b) 0,56 c) 0,58 d) 0,60 e) 0,6 19. (Ifce 011) A altura, baixada sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo, mede 1 cm, e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa diferem de 7 cm. Os lados do triângulo são, em centímetros, iguais a : a) 10, 15 e 0. b) 1, 17 e. c) 15, 0 e 5. d) 16, 1 e 6. e) 18, e (Pucrj 010) Ao meio dia, a formiga A está km a oeste da formiga B. A formiga A está se movendo para o oeste a km/h e a formiga B está se movendo para o norte com a mesma velocidade. Qual a distância entre as duas formigas às 14h? a) 17 km b) 17 km c) 51km d) 117 km e) 117 km Bom Estudo! A persistência realiza o impossível Gabarito; 1. E. D. B 4. F F V F V 5. D 6. A 7. A 8. B 9. A 10. C 11. C

7 AFB ˆ 0 AB BF 6 milhas. No Δ FBH: No Δ FHA: FH FH sen60 FH milhas sen0 AF 6 milhas AF AF 1. A O triângulo ABC é isósceles, logo AD 10m. No triângulo ACD, temos: H sen60 H 10 sen ,86 8,60cm C Representando a figura através de triângulos, temos:

8 O triângulo ACH é isósceles logo, CH AH x. Considerando agora o triângulo PHA, podemos escrever: x x tg0 x x x x x 1 x x Portanto, h 1 m 14. A Seja h a altura do prédio. Tem-se que h 1,7 h 1,7 tg0 h 1,7 h 1, 1,7h, h 5,1 7, h 1, h 5,6 m. 15. D A distância d pedida é a medida da diagonal de um quadrado de lado r. Portanto, d r. 16. C O triângulo com lados, 4 e 5 é retângulo, pois 4 5. A altura, relativa ao lado de medida 4, mede. A altura, relativa ao lado de medida, mede 4. A altura, relativa ao lado de medida 5, mede h, que será calculado abaixo:

9 5 h 4 h,4 Portanto, a maior altura do triângulo mede B Sejam A o ponto onde se encontrava inicialmente a bicicleta e B o ponto a 6 metros ao norte de A. Chamando de C o ponto onde se encontra o hidrante, segue que a distância pedida corresponde à hipotenusa do triângulo retângulo ABC, reto em A. Portanto, pelo Teorema de Pitágoras, vem BC AC AB BC 8 6 BC 100 BC 10 m. 18. C Considere a figura, em que AC 1, AB, BC,5 e AH h. Façamos HB x, com 0 x,5. Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos AHC e AHB, obtemos h 1 (,5 x) e h x. Logo, 1 6,5 5x x 4 x 5x 9,5 x 1,85cm. Portanto,

10 h 4 (1,85) 0, C Considere a figura abaixo, em que a, b e c são os lados procurados. Sabemos que m n 7 m n 7 e que h 1. Das relações métricas no triângulo retângulo, obtemos h mn (n 7)n 144 n 7n n 9 ou n 16. Logo, m e a m n Daí, como o triângulo dado é semelhante ao triângulo retângulo de lados, 4 e 5, segue que b e c D Cada formiga, em duas horas, percorrerá 6 km (ver figura) Logo x = x = 117 km

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