Módulo de Círculo Trigonométrico. Relação Fundamental da Trigonometria. 1 a série E.M.

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1 Módulo de Círculo Trigonométrico Relação Fundamental da Trigonometria a série EM

2 Círculo Trigonométrico Relação Fundamental da Trigonometria Exercícios Introdutórios Exercício Se sen x /, determine Exercício Se tg x + tg(π/) 2 sen(π/), determine, sendo x um arco do terceiro quadrante Exercício 6 Para que valores de x vale a equação (+ sen x) ( sen x) 2[( + sen x) 2 ( sen x) 2 ]? Exercício 2 Se /, determine sen x Exercício Seja x um arco do terceiro quadrante tg x /, determine e sen x Se Exercício Sabendo que 0 < x < π/2 e sen x /, determine 2 Exercícios de Fixação Exercício Sabendo que x é um arco do quarto quadrante e 6 sen 2 x sen x 0, determine Exercício 6 Se 2 sen x, sendo x um arco do primeiro quadrante, determine sen x e tg x Exercício 7 Se cos 72, determine cos 8 Exercício 8 Demonstre a igualdade 2 sen 2 x+sen x cos x Exercício 9 Se x é a medida de um arco em radianos e a um número real, determine a sabendo que sen x a e a 2 2 Exercício 0 Demonstre a igualdade sen x + sen x Exercício Demonstre a igualdade 2 cos2 x tg x tg x Exercício 2 Mostre que tg x tg 2 x sen 2 x é igual a Exercício Mostre que (tg x sen x) 2 + ( ) 2 é igual Exercícios de Aprofundamento e de Exames Exercício Sabendo que 9 sen x +, com 0 < x < π/2, determine tg x

3 Respostas e Soluções Sabemos que sen 2 x + Daí, segue ± 2 2 Outra maneira de resolver este tipo de problema, que é muito comum em questões de trigonometria, é utilizar o dado fornecido (sen x /) para a construção de um triângulo retângulo, como o da figura Figura 2 Lembrando que x é um arco do terceiro quadrante, temos então sen x / e / ( ) ± ( ) 2 Como x é um arco do primeiro quadrante, / Figura Perceba que, em relação ao ângulo x, o cateto oposto vale e a hipotenusa vale Pelo Teorema de Pitágoras, obtemos 2 2 para o cateto adjacente Basta agora calcular o cateto adjacente cosseno de x, que é 2 2 Não podemos nos esquecer de analisar o sinal do cosseno Como no hipotenusa enunciado não foi especificado o quadrante do arco, usamos tanto positivo quanto negativo 2 ( ) 2 + (sen x) 2 (sen x) 2 ( ) 2 (sen x) 2 6 sen x ± Um triângulo retângulo, no qual a tangente de um dos ângulos é /, pode ser observado na figura Observe que a hipotenusa pode ser facilmente calculada utilizando-se o Teorema de Pitágoras Fazendo uma simples substituição de incógnitas, sen x y, temos a equação do segundo grau 6y 2 y 0, que tem como raízes, / e /2 Como x é um arco do quarto quadrante, sen x / Usando a relação fundamental da trigonometria, temos ( ) 2 + ( )2 8 9 ± 2 2 como x quadrante, Elevando a equação ao quadrado, temos () 2 (sen x) 2 (sen x) 2 (sen x) 2 (sen x) 2 sen x ± Como x é um arco do primeiro quadrante, sen x Utilizando o triângulo da figura abaixo, obtém-se tg x /2 2

4 Figura 7 Como 72 e 8 são complementares, cos 72 sen 8 Pela relação fundamental da trigonometria, temos 8 ( ) 2 + cos 2 8 cos cos cos cos2 x cos2 x sen 2 x sen x tg x tg x cos2 x sen 2 x sen 2 x sen x sen x tg x tg x tg x tg 2 x 9 2(sen x) 2 + (sen x) [ (sen x) 2 ] 2 () 2 cos x (sen x) 2 + () 2 ( a) 2 + ( a 2 2 )2 a + a2 a + 2 a + a 2 a + a 2 8a Resolvendo a equaão anterior, como a 0, temos a sen x + sen x sen x sen x ()( sen x) sen 2 x ()( sen x) sen x Fazendo E (tg x sen x) 2 + ( ) 2, temos E (tg x) 2 2 tg x sen x + (sen x) (tg x) 2 2 tg x sen x sen2 x 2 sen2 x sen2 x 2 sen 2 x 2 cos x + 2 sen2 x (sen 2 x + ) sen2 x cos2 x 2 ( )2 Chamando a, temos sen x a 9 Substituindo estes valores na relação fundamental da trigonometria, chegamos à equação 6a , onde suas raízes são / e /2 Porém, com a /2,

5 teríamos sen x > Assim, tomando a /, temos: tg x sen x a 9 a 8 tg x + tg(π/) 2 sen(π/) tg x 2 sen(π/) tg(π/) 2 tg x 2 2 tg x 2 Usando o triângulo retângulo da figura, cuja tg x 2, podemos calcular sen x e Figura Temos então: (2 2) 6 Note que (+sen x) 2 +( sen x) 2 2 Assim, pela diferença de quadrados, com A ( + sen x) 2 e B ( sen x) 2, temos ( + sen x) ( sen x) A 2 B 2 (A B)(A + B) 2(A B) Assim, a igualdade é válida qualquer que seja o valor de x Elaborado por Cleber Assis e Tiago Miranda Produzido por Arquimedes Curso de Ensino

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