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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA. Trigonometria no triângulo retângulo Trigonometria I Prof.: Rogério Dias Dalla Riva E dessa semelhança podemos deduzir que: b ' = a b = b ' ' ' b a a a () c ' = a c = c ' ' ' c a a a () b c b b b c c c ' = = ' ' ' (3) Trigonometria I.Trigonometria no triângulo retângulo.razões s de 30 o, 45 o e 60 o 3.Uso de calculadora 4.Unidades de medida de arcos e ângulos 5.Medida algébrica de um arco 6.A circunferência 7.Seno e cosseno na circunferência 8.Tangente na circunferência 9.Secante, cossecante e 0.Trigonometria num triângulo qualquer. Trigonometria no triângulo retângulo As igualdades (), () e (3) mostram que a razão entre dois lados quaisquer de um triângulo retângulo é igual à razão entre os dois lados homólogos de qualquer outro triângulo retângulo semelhante a ele. Em outras palavras, a razão entre dois lados quaisquer de um triângulo retângulo não depende do tamanho desse triângulo, mas apenas de seus ângulos.. Trigonometria no triângulo retângulo. Trigonometria no triângulo retângulo E dessa semelhança podemos deduzir que: Numa primeira etapa, Trigonometria é o estudo das relações entre medidas de ângulos e lados nos triângulos retângulos. Esse estudo é inteiramente baseado na semelhança de triângulos. Observe, por exemplo, os triângulos da figura acima. Eles são semelhantes, pois possuem os ângulos ordenadamente congruentes. b b b3 = = = = constante a a a 3 c c c3 = = = = constante a a a 3 b b b3 = = = = constante c c c 3 Essas razões, constantes para cada valor de α, são chamadas razões s. 6

2 .. Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo.. Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo Seja α a medida de um ângulo agudo de um triângulo retângulo. O seno, o cosseno e a tangente de um ângulo de medida α são denotados por, e tg α. c = cateto adjacente a cos = hipotenusa b cos β = a.. Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo.. Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo Seno de α é a razão entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa. Cosseno de α é a razão entre o cateto adjacente a esse ângulo e a hipotenusa. Tangente de α é a razão entre o cateto oposto a esse ângulo e o cateto adjacente a ele. O seno, o cosseno e a tangente de um ângulo de medida α são denotados por, e tg α. b tan α = cateto oposto c tan = cateto adjacente c tan β = b.. Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo.. Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo Exercício : Calcule, e tan α. O seno, o cosseno e a tangente de um ângulo de medida α são denotados por, e tg α. b = cateto oposto a sen = hipotenusa c sen β = a

3 .. Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo. Razões s de 30 o, 45 o e 60 o Exercício : Um observador, de,80 m de altura, situado a 0 m de um edifício, enxerga o topo desse edifício segundo um ângulo α. Esse ângulo foi medido a partir da linha horizontal de visão do observador. Sabendo-se que = 0,94, = 0,407 e tg α =,50, calcule a altura do edifício. Para calcular as razões s de 30 o e 60 o, partimos de um triângulo equilátero, no qual traçamos uma altura, e obtemos um triângulo retângulo cujos ângulos agudos medem 30 o e 60 o... Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo. Razões s de 30 o, 45 o e 60 o Exercício 3: Um observador, situado num ponto A, enxerga uma montanha segundo um ângulo α. Caminhando 400 m em direção à montanha, ele passa a enxergá-la segundo um ângulo β. Desprezando a altura do observador, calcule a altura da montanha, sabendo que tg α = / e tg β = 5/6. Então, no triângulo retângulo, temos: o l o o l 3 o 3 sen 30 = sen 30 = cos 30 = cos 30 = l l o l o 3 tan 30 = tan 30 = l Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo. Razões s de 30 o, 45 o e 60 o Exercício 4: Na figura abaixo, as circunferências são tangentes entre si e ambas tangenciam os lados do ângulo AÔB. Calcule: a) em função de R e r. b) Se r = 5 e = /6, calcule R. Então, no triângulo retângulo, temos: o l 3 o 3 o l o sen 60 = sen 60 = cos 60 = cos 60 = l l o l 3 o tan 60 = tan 60 = 3 l 3

4 . Razões s de 30 o, 45 o e 60 o. Razões s de 30 o, 45 o e 60 o Exercício 6: Num círculo de centro O e raio r =, traça-se uma corda AB. Se a distância do centro à corda é igual a, qual é a medida do ângulo AÔB? As razões s de 45 º são calculadas no triângulo retângulo obtido da divisão de um quadrado por sua diagonal.. Razões s de 30 o, 45 o e 60 o. Razões s de 30 o, 45 o e 60 o Exercício 7: Na figura seguinte, ABCD é um quadrado e ABE é um triângulo equilátero. Determine: a) o valor do ângulo α e b) a tangente de α. o l o sen 45 = sen 45 = l o l o cos 45 = cos 45 = l o l o tan 45 = tan 45 = l. Razões s de 30 o, 45 o e 60 o 3. Uso de calculadora Exercício 5: Calcule x na figura abaixo. Os valores das demais razões s, de o a 89 o, podem ser obtidos pelo uso de calculadora científica. 4

5 3. Uso de calculadora 4.. A unidade radiano Exercício 8: A figura seguinte mostra a trajetória de uma bola de futebol que, chutada do ponto A, sobe a rampa e atinge o solo no ponto B. Qual é a distância entre A e B, aproximadamente? Uma maneira de medir arcos de uma circunferência é compará-los com um outro arco escolhido para ser unidade de medida sobre a mesma circunferência. Esse arco é chamado unitário. 4. Unidades de medida de arcos e ângulos 4.. A unidade radiano Até aqui temos utilizado apenas a unidade grau para medir ângulos e arcos. Porém, existem outras unidades de medida de arcos, das quais uma, chamada radiano, iremos utilizar com grande frequência. Por exemplo, na figura acima escolhemos o arco PQ, de comprimento u, como arco unitário. Então, para medir o arco AB, devemos descobrir quantas vezes o arco unitário cabe no arco AB. Para isso, basta fazer a razão entre o comprimento do arco AB e o comprimento do arco unitário. 4.. O grau e seus submúltiplos 4.. A unidade radiano Minuto de grau: É a sexagésima parte do grau. º = 60 Segundo de grau: É a sexagésima parte do minuto de grau. = 60 comprimento do arco AB AB = comprimento do arco PQ 3u AB = AB = 3 u 5

6 4.. A unidade radiano 4.3. Os arcos de volta inteira e meia-volta Chama-se radiano o arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que o contém. radiano = rad = rad AB Para determinar as medidas em radianos dos arcos de 360º e 80º, é preciso relembrar a seguinte propriedade: A razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro é constante, e igual a π, qualquer que seja a circunferência. Assim, sendo C o comprimento de uma circunferência de diâmetro d, então: C d = π onde π é um número irracional. 4.. A unidade radiano 4.3. Os arcos de volta inteira e meia-volta Se AB = rad, então AOB = rad. Decorre da definição, que a medida em radianos de um arco AB é dada por: Como o diâmetro é o dobro do raio, essa relação pode ser escrita assim: C = π, ou ainda C = π r r A última igualdade é a conhecida fórmula que permite calcular o comprimento de uma circunferência. A partir dela vamos determinar a medida do arco de volta inteira em radianos. comprimento do arco AB AB = raio 4.. A unidade radiano 4.3. Os arcos de volta inteira e meia-volta Exercício 9: Calcule AÔB em radianos, sabendo que o comprimento do arco AB é o dobro do raio da circunferência. Para isso, temos de dividir o seu comprimento pelo raio, e, como o arco de volta inteira é a própria circunferência, seu comprimento é igual a πr. Então, sua medida é: π r = π rad r 6

7 4.3. Os arcos de volta inteira e meia-volta 5. Medida algébrica de um arco Sabendo que o arco de volta inteira mede π rad, deduzimos que o arco de meia-volta mede π rad. Arco orientado. Imagine um ponto P que, partindo de um ponto A de uma circunferência, desloca-se sobre ela e pode movimentar-se no sentido horário ou anti-horário Conversões de medidas 5. Medida algébrica de um arco Para converter medidas de arcos de radianos para graus ou vice-versa, usamos a seguinte relação: π rad equivale a 80º ou π rad = 80º Nos dois sentidos possíveis de deslocamento, para cada posição do ponto P, fica determinado um arco AP denominado arco orientado. O ponto A é chamado origem do arco e o ponto P é a extremidade dele Conversões de medidas 5. Medida algébrica de um arco Exercício 0: Num triângulo ABC, sabe-se que o ângulo B é o dobro do ângulo C e que o ângulo A é o triplo do ângulo C. a) Determine os ângulos A, B e C em radianos. b) Classifique esse triângulo quanto aos lados e quanto aos ângulos. Circunferência orientada. É uma circunferência na qual um dos dois possíveis sentidos de deslocamento é adotado como positivo. Para o estudo da Trigonometria, o sentido positivo é o anti-horário. 7

8 5. Medida algébrica de um arco 5. Medida algébrica de um arco Medida algébrica de um arco orientado. Considere um arco orientado contido numa circunferência orientada. A medida algébrica desse arco é a sua medida comum, afetada dos sinais + ou -, conforme o sentido do arco seja, respectivamente, concordante ou discordante do sentido positivo da circunferência. o AP = + 0 ou π AP = + rad 3 o AQ = 0 ou π AQ = rad 3 5. Medida algébrica de um arco 6. A circunferência Na trigonometria, os arcos orientados no sentido anti-horário têm medidas algébricas positivas e os orientados no sentido horário têm medidas algébricas negativas. Observe a figura acima. Ela mostra uma circunferência orientada no sentido anti-horário, à qual associamos um sistema de coordenadas cartesianas. 5. Medida algébrica de um arco 6. A circunferência A medida algébrica de um arco orientado de origem A e extremidade P é representada pelo símbolo AP. Veja os exemplos: O centro da circunferência é O = (0, 0). O raio da circunferência é unitário, isto é, r =. 8

9 6. A circunferência 6. A circunferência A = (, 0) é a origem dos arcos. Isto é, os arcos são medidos a partir de A. A circunferência da figura é chamada circunferência. A partir disso, dizemos que um arco pertence ao quadrante no qual se encontra a sua extremidade. 6. A circunferência Como a origem dos arcos é um ponto fixo, na circunferência a extremidade de um arco fica determinada pela sua medida algébrica A circunferência Por exemplo, os arcos cujas medidas estão π 3 7 representadas acima são, π, π e π pertencem, respectivamente, ao º, º, 3º e 4º quadrantes. 6. A circunferência 7. Seno e cosseno na circunferência Desse modo, a cada ponto da circunferência ficam associados números reais, representando estes as medidas em radianos dos arcos que têm extremidades nesse ponto. Particularmente, dizemos que o ponto A, origem dos arcos, é um arco nulo e que sua medida é zero. Seja α a medida de um arco de extremidade P na circunferência. Então, é a ordenada de P é a abscissa de P 9

10 7. Seno e cosseno na circunferência 7. Seno e cosseno na circunferência Em razão dessas definições, na Trigonometria o eixo Ox é chamado eixo dos cossenos e o eixo Oy, eixo dos senos. Como QP = OR, temos = OR () As igualdades () e () mostram que e são a abscissa e a ordenada de P. 7. Seno e cosseno na circunferência 7.. Alguns valores notáveis de seno e cosseno Lembrando que o raio da circunferência é unitário, no triângulo OPQ da figura acima, temos: Observe as figuras e procure determinar os valores de seno e cosseno dos ângulos indicados nas figuras. 7. Seno e cosseno na circunferência 7.. Alguns valores notáveis de seno e cosseno OQ OQ = = OP = OQ () QP QP = = OP = QP 0 π/ π 3π/ π sen cos 0-0 0

11 7.. Alguns valores notáveis de seno e cosseno 7.. Alguns valores notáveis de seno e cosseno Exercício 3: Identifique quais das igualdades abaixo são possíveis. Note que seno e cosseno são no máximo iguais a e no mínimo iguais a -. Assim, e variam no intervalo de - a. e a) sen x = b) sen x = 5 5 c) sen x = 3 3 d) sen x = Alguns valores notáveis de seno e cosseno 7.. Alguns valores notáveis de seno e cosseno Exercício : Calcule o valor da expressão abaixo. 3π sen 5cosπ 3π 3sen + cos π Exercício 4: Determine m para que a igualdade abaixo seja possível. cos x = m 7.. Alguns valores notáveis de seno e cosseno 7.. Arcos da forma: π - α, π + α e π - α Exercício : Determine os valores de x que satisfazem as equações seguintes no intervalo 0 x π. a) sen x = 0 b) cos x = 0 c) sen x = d) cos x = 0 e) sen x + sen x cos x = 0 Seja P a extremidade de um arco do primeiro quadrante. Observe estas três outras extremidades. P : simétrico de P em relação ao eixo Oy. P : simétrico de P em relação ao centro O. P 3 : simétrico de P em relação ao eixo Ox.

12 7.. Arcos da forma: π - α, π + α e π - α 7.. Arcos da forma: π - α, π + α e π - α Exercício 5: Calcule o valor de 7 4 sen π cos π sen π cos π As medidas dos arcos de extremidades P, P e P 3, sendo AP = α, podem ser expressas em função de α. AP = π α = π + α = π α, AP e AP 3, ou AP 3 = α 7.. Arcos da forma: π - α, π + α e π - α 7.. Arcos da forma: π - α, π + α e π - α Exercício 6: Simplifique a expressão sen( π α ) sen( π + α ) + sen( π α ) cos( π + α ) sen( π α ) + cos( π α ) Assim, o seno e o cosseno desses arcos podem ser expressos em função de e. sen ( π α ) = sen ( π + α ) = sen α sen ( π α) = sen α sen ( α ) = sen α 7.. Arcos da forma: π - α, π + α e π - α 7.. Arcos da forma: π - α, π + α e π - α Assim, o seno e o cosseno desses arcos podem ser expressos em função de e. cos ( π α) = cos α cos ( π + α) = cos α cos ( π α ) = cos ( α ) = Exercício 7: Resolva as equações seguintes no intervalo 0;π. a) sen x = ] [ b) cos x = c) cos x = 4 d) sen x =

13 7.3. Primeira relação fundamental 7.3. Primeira relação fundamental 5 Exercício 8: Se sen 8 o =, calcule cos 8 o. 4 Para qualquer um dos dois casos apresentados nas figuras, as medidas dos catetos do triângulo retângulo OPQ, são: PQ = e OQ = 7.3. Primeira relação fundamental 7.3. Primeira relação fundamental Exercício 9: Calcule m, para que se tenha m m sen x = e cos x = m m Pelo teorema de Pitágoras: PQ + OQ = + = Como a = a, a R, a última igualdade fica: + = 7.3. Primeira relação fundamental 7.3. Primeira relação fundamental Exercício 0: Simplifique as expressões abaixo: a) sen ( α ) sen( π + α) cos( α) cos( π α ) 4 4 sen x cos x b) sen x + cos x Embora as figuras da demonstração mostrem os arcos no º e 3º quadrantes, todo o raciocínio também é válido quando os arcos pertencem aos demais quadrantes. 3

14 7.3. Primeira relação fundamental 8. Tangente na circunferência Exercício : Se cos x = /a, calcule o valor da expressão abaixo, em função de a. cos x + cos x sen x 4 sen x Seja P a extremidade de um arco qualquer de medida α e seja T o ponto em que a reta conduzida pelo centro da circunferência e por P intercepta o eixo At. Então, tg α é o número associado ao ponto T no eixo At. 8. Tangente na circunferência 8. Tangente na circunferência Para o estudo das tangentes dos arcos na circunferência, associamos mais um eixo a ela, conforme mostra a figura acima. At é chamado eixo das tangentes. Quadrante o o 3 o 4 o Sinais de tg α Tangente na circunferência 8. Tangente na circunferência O eixo At tangencia a circunferência em A. O ponto A é a origem do eixo das tangentes, isto é, ao ponto A está associado o número zero desse eixo. O raio da circunferência é a unidade de medida também no eixo das tangentes. 0 π/ π 3π/ π tg

15 8. Tangente na circunferência 8. Segunda relação fundamental Exercício : Calcule o valor de 5π 7π tgπ cos + tg 6 4 π 4π sen tg 4 3 Como QP // AT temos OQP OAT. AT OA tg α Então = = QP OQ α tg α = sen 8. Tangente na circunferência 8. Segunda relação fundamental Exercício 3: Resolva as equações no intervalo de 0 x π. 3 a) tg x = 3 b) tg x = 3 c) tg x = d) tg x tg x = 0 Como em todos os quadrantes os sinais de tg α e são idênticos, teremos: α tg α = sen 8.. Segunda relação fundamental 8. Segunda relação fundamental Para os dois casos apresentados nas figuras acima, note que as medidas dos catetos dos triângulos OQP e OAT são: PQ = OQ = AT = tg α OA = Note que, se = 0, então não está definido. Porém, os arcos para os quais = 0 são justamente aqueles em que não existe tg α. 5

16 8. Segunda relação fundamental Exercício 4: Dado tg x = 5/, 0 < x < π/, calcule sen x e cos x. Se α é a medida de um arco, ou ângulo qualquer, então: Secante de α (sec α) é o inverso de. sec α = ( 0) 8. Segunda relação fundamental Exercício 5: Se cosa = 5, 0 < a < π/, e cosb = 0, 0 < b < π/, calcule o valor de tg a + tg b tg a tg b Se α é a medida de um arco, ou ângulo qualquer, então: Cossecante de α (cossec α) é o inverso de. cossec α = ( 0) 8. Segunda relação fundamental Exercício 6: Resolva as equações abaixo no intervalo 0 x π. a) sen x = cos x b) sen x cos x = 0 3 Se α é a medida de um arco, ou ângulo qualquer, então: Cotangente de α (cotg α) é o inverso de tg α. cotg α = (tg α 0) tg α ou cotg α = ( 0) 6

17 Note que as variações dos sinais de sec α, cossec α e cotg α, segundo cada quadrante, são idênticas às variações de sinais de, e tg α, respectivamente. Como em todos os quadrantes os sinais de cotg α e são idênticos, teremos: α cotg α = cos A pode ser interpretada graficamente associando-se mais um eixo à circunferência, conforme é mostrado na figura acima. Nesse caso, obtém-se a de modo inteiramente análogo ao que se emprega para determinar a tangente. Note que, se = 0, então não está definido. Porém, os arcos para os quais = 0 são justamente aqueles em que não existe cotg α. Como BC / / QP temos OBC OQP BC OB cotg α Então = = QP OQ α cotg α = cos 0 π/ π 3π/ π cotg 0 0 7

18 Na figura acima, a reta s é tangente à circunferência na extremidade P do arco de medida α. Com base na figura, fazemos as seguintes definições de secante e cossecante. sec α é o número associado ao ponto X no eixo Ox. P P O sec α X O Q Temos OPX OQP Então OX OP sec α = = OP OQ sec α é o número associado ao ponto X no eixo Ox. sec α = sec α é o número associado ao ponto X no eixo Ox. cossec α é o número associado ao ponto Y no eixo Oy. 8

19 Exercício 7: Calcule o valor de π 3π π a) sec + cotg cossec cossec α é o número associado ao ponto Y no eixo Oy. Exercício 8: Sabendo que 3π/ < a < π, e que sen a = -7/5, calcule as demais razões s. cossec α é o número associado ao ponto Y no eixo Oy. 9.. Outras relações fundamentais cossec α Y O P R O P Temos OPY ORP Então OY OP cossec α = = OP OR cossec α = Dividindo ambos os membros da relação sen α + cos α = por cos α, teremos: + = + = tg α + = sec α sec α = + tg α 9

20 9.. Outras relações fundamentais 9.. Resumo das relações fundamentais Exercício 30: Resolva a equação abaixo no intervalo 0 x π. (sec x + ) (sec x ) = 3 Agora, vamos dividir ambos os membros de sen α + cos α = por sen α, teremos: + = + = + cotg α = cossec α cossec α = + cotg α 9.. Resumo das relações fundamentais 0. Trigonometria num triângulo qualquer + = α tg α = sen cotg α = tg α α cotg α = cos sec α = cossec α = Passaremos a representar sempre por a, b e c as medidas dos lados opostos aos ângulos A, B e C de um triângulo ABC. sec α = + tg α cossec α = + cotg α 9.. Resumo das relações fundamentais 0.. Lei dos senos Exercício 9: Calcule cos x, 3π/ < x < π, sabendo que tg x = -. Para qualquer triângulo ABC, sendo R o raio da circunferência circunscrita, vale a relação: a b c = = = R sen A senb senc 0

21 0.. Lei dos senos 0.. Lei dos senos Exercício 3: Num triângulo ABC sabe-se que o ângulo A é igual a 60 o, o ângulo B é igual a 45 o e a = 9. Calcule: a) o raio da circunferência circunscrita e b) a medida do lado b. Traçando-se o diâmetro AD e unindo D e C, temos: AC º) D = B = º) ACD é retângulo em C por estar inscrito numa semicircunferência. 0.. Lei dos senos 0.. Lei dos senos Exercício 3: Num triângulo ABC tem-se o a = 8, b = 8 3 e B = 60. Calcule C. b b Então, no ACD, senb = = R R senb Analogamente, demonstra-se que a c = R = R sen A senc 0.. Lei dos senos 0.. Lei dos senos Exercício 33: Um triângulo ABC está inscrito em uma circunferência de raio R. Se a = R, calcule A. a b c Logo, = = = R sen A senb senc

22 0.. Lei dos cossenos 0.. Lei dos cossenos Para todo triângulo ABC, vale a relação: a = b + c bc cos A A demonstração completa exige que se analisem os casos em que A é agudo e em que A é obtuso. Do triângulo retângulo AHC, tiramos: m cos ( π A) = m b cos A = b m cos A = m = b cos A () b m = b cos A () 0.. Lei dos cossenos 0.. Lei dos cossenos Pelo teorema de Pitágoras, nos triângulos AHC e BHC, temos: Substituindo em () o valor de m encontrado em (), temos finalmente: a = b + c bc cos A 0.. Lei dos cossenos 0.. Lei dos cossenos Exercício 34: De um triângulo ABC, são dados: o a = 3 +, b = e C = 30. Calcule c. h = b m h = a ( c m) a ( c m) = b m a ( c cm + m ) = b m a c + cm m a = + c cm b = b m () h = b m h = a ( c + m) a ( c + m) = b m a ( c + cm + m ) = b m a c cm m a = + c + cm b = b m ()

23 0.. Lei dos cossenos Exercício 35: Dois automóveis A e B seguem por uma mesma rodovia. No instante em que B entra numa estrada secundária, que forma um ângulo de 60 o com a primeira, ele é ultrapassado por A, que continua na rodovia principal. As duas estradas podem ser consideradas retilíneas. Se A viaja a 80 km/h e B a 50 km/h, qual a distância entre A e B 6 minutos após B ter entrado na rodovia secundária? 0.. Lei dos cossenos 3

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