LISTA DE EXERCÍCIOS. Trigonometria no Triângulo Retângulo e Funções Trigonométricas

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1 LISTA DE EXERCÍCIOS Pré-Cálculo UFF GMA 09 Trigonometria no Triângulo Retângulo e Funções Trigonométricas [0] (* Em sala de aula vimos como usar um quadrado e um triângulo equilátero para obter os valores de cos(30, sen(30, cos(5, sen(5,cos(0 e sen(0 O objetivo deste exercício é mostrar como usar um pentágono regular para obter os valores de cos(8 e sen(8 Para isto, considere o pentágono regular ABCDE cujos lados medem, exibido na figura a seguir, onde d é a medida da diagonal BD; P é o ponto interseção das diagonais BE e AD; Q é o pé da perpendicular à diagonal BE baixada a partir do vértice D D E Q P d C A B (a Mostre que os triângulos P AB e EP D são isósceles e que o ângulo ÊDQ tem medida igual a 8 (b Se λ /AP, mostre que d + /λ (c Mostre que os triângulos ABD e P DE são semelhantes e que, portanto, /λ d + /λ (d Mostre que λ satisfaz a equação quadrática λ λ + 0 Conclua que (e Observando que EQ /( λ, deduza que λ + 5 cos(8 λ 5 e sen(

2 [0] (* Dada uma função real f : D R R, diz-se que f é periódica se existe uma constante C ]0, + [ tal que f(x + C f(x para todo x D Se f é uma função periódica, o número T min{c ]0, + [ f(x + C f(x para todo x D}, [03] (* caso exista, é denominado o período da função f (a As funções seno, cosseno e tangente são periódicas? Por quê? Quais são os períodos destas funções? (b Determine um valor para a constante k de modo que a função f(x sen(k x tenha período T (a Quantas e quais são as soluções da equação sen(x /? (b Quantas e quais são as soluções da equação x arcsen(/? (c Quantas e quais são as soluções da equação sen(x 0 que pertencem ao intervalo [ 0, +0]? (d Quantas e quais são as soluções da equação cos(x 0? (e Quantas e quais são as soluções da equação cos( x 0 que pertencem ao intervalo [ 5, +5]? [0] (* Resolva a equação (x sen( x x 0 [05] (* Determine uma função real f : R R tal que o conjunto solução da equação f(x 0 seja o conjunto dos números inteiros pares [0] (* Sabemos que sen(90 (por quê? Use uma calculadora para obter uma aproximação do valor do seno de 90 radianos [07] (* Determine todos os valores de x R para os quais arcsen(x arccos(x [08] Utilizando as fórmulas de soma e subtração apresentas em aula, calcule ( (a cos 7π (b sen [09] Utilizando as identidades trigonométricas apresentadas em aula, prove que, para a R, cos(a cos (a sen (a [0] Utilizando as identidades trigonométricas apresentadas em aula e a questão anterior, prove que, para a [ π, ] pi, cos(a + cos(a [] Utilizando as identidades trigonométricas apresentadas em aula e a questão anterior, prove que, para x [ π, π], ( x + cos(x cos [] Calcule

3 (a cos 8 (b sen ( 3π 8 [3] (* Use as identidades trigonométricas apresentadas em sala de aula para demonstrar estas outras identifidades (aqui A e B são números reais: cos(a cos(b [cos(a + B + cos(a B], sen(a sen(b [cos(a B cos(a + B], sen(a cos(b [sen(a + B + sen(a B], cos(a sen(b [sen(a + B sen(a B] [] (* Use as identidades trigonométricas do exercício anterior para demonstrar estas outras identidades (aqui A e B são números reais: ( ( A + B A B sen(a + sen(b sen cos, ( ( A + B A B sen(a sen(b cos sen, ( ( A + B A B cos(a + cos(b cos cos, ( ( A + B A B cos(a sen(b sen sen [5] Se x [0, π/ é tal que tg(x 5, determine cos(x e sen(x [] Prove as seguintes identidades trigonométricas, sabendo que cos x + sen x, para todo x R e supondo que x pertence ao domínio das funções envolvidas: (a tg (x + sec (x (b cotg (x + cossec (x (c cos (x (d sen (x + tg (x tg (x + tg (x [7] Resolva, para x R, as seguintes equações: (a sen(x (b sen (x sen(x 0 (c cos (x cos(x (d + 3 tg (x 5 sec(x (e sen (x 3 sen(x + 0 (f sen ( x π 3 3 (g sen(3x sen(x (h ( ( 3 sen x cos x 0 ( i cos(x cos(x (j tg(5x tg(3x (k sen(x 3 cos(x 0 ( l sen(x cos(x (m sen(x + cos(x (n cos (x + a + cos (x a 3

4 [8] Determine o conjunto solução das inequações (a sen(x > (b tg(x < 3 (c cos(x (d tg(x 3 (e cos(x cos(x (f sen(x (g sen (x < sen(x (h sen(x cos(x < ( i 3 sen(x (j sen(x + cos(x < (k cos(x <

5 Respostas dos Exercícios Atenção: as respostas apresentadas aqui não possuem justificativas Você deve escrevê-las! [03] (a Infinitas soluções: x S {π/ + k π k Z} {5 π/ + k π k Z} (b Apenas uma solução: x S {π/} (c Treze soluções: x S {k π k Z e k +} (d Infinitas soluções: x S {π/ + k π k Z} (e Dezenove soluções: x S {k π/ + π/ + / k Z e 0 k +8} [0] x S {, +} {k π/ k Z {0}} [05] Uma resposta possível: f(x sen(πx/ [0] Observe que 90 radianos (00/π 55, Usando uma calculadora, vemos que sen(90 0, [07] Existe apenas um número real x tal que arcsen(x arccos(x, a saber, x / [08] (a Para facilitar, vamos pensar em graus Note que π 5 graus Como , temos π 80 π radianos corresponde, em graus, a Com isso, π π π cos cos π cos cos + sen sen (b Note que π π + π π + π Como sen(π/ + x cos(x, temos, pelo item (a, sen ( 7π cos + [09] Como fazendo b a, temos cos(a + b cos(a cos(b sen(a sen(b, cos(a cos(a + a cos(a cos(a sen(a sen(a cos (a sen (a 5

6 [0] Vamos utilizar as relações cos(a cos (a sen (a, cos (a + sen (a A segunda relação nos dá sen (a cos (a Substituindo na primeira, temos cos(a cos (a ( cos (a cos (a Com isso, e, portanto, Isto nos dá ainda que cos (a + cos(a cos (a + cos(a cos(a Como a [ π, ] pi, cos(a 0, logo + cos(a ou + cos(a cos(a + cos(a cos(a [] Basta fazer a x na fórmula deduzida na questão anterior [] (a ( π/ + cos(π/ cos cos (b Como 3π + π π π, temos que [5] Como tg(x 5, temos que sen ( 3π cos sen(x cos(x 5 sen(x 5 cos(x Além disso, como cos (x + sen (x, temos cos (x + ( 5 cos(x, logo cos (x + 5 cos (x,

7 e, portanto, Assim, o que implica cos (x cos (x, cos(x ± Como x [0, π/, seu cosseno será positivo, logo cos(x Temos ainda sen(x 5 cos(x 5 [] (a Dividindo cos (x + sen (x por cos (x, obtemos tg (x + sec (x Note que podemos dividir por cos (x, pois, como tg(x está definida, temos que cos(x 0 (b Idem, dividindo por sen (x ( (c cos (x + sen (x cos (x + sen (x cos (x (d sen (x tg (x +tg (x (e Idem, colocando sen (x em evidência cos (x +tg (x [7] (a S {x R, x 5π/ + kπ ou x π/ + kπ, k Z} (b S {x R, x kπ ou x π/ + kπ, k Z} (c S {x R, x ±π/3 + kπ ou x π/ + kπk Z} (d S {x R, x ±π/3 + kπ Z} (e S {x R, x π/ + kπ ou x π/ + kπ ou x 5π/ + kπk Z} (f S {x R, x π/ + kπ ou x π + kπ, k Z} (g S {x R, x kπ ou x π/5 + kπ/5, k Z} (h S {x R, x ±π/3 + kπ ou x ±π/3 + kπ, k Z} ( i S {x R, x kπ ou x kπ/3, k Z} (j S {x R, x kπ/, k Z, k par} (k S {x R, x π/3 + kπ, k Z} ( l S {x R, x kπ/, k Z} 7

8 (m sen x + cos x ( sen x + cos x sen x+ sen x cos x +cos x sen x cos x 0 (na última equivalência, utilizamos a identidade sen x + cos x Assim, sen x 0 ou cos x 0, logo, x kπ/, k Z [8] (a π/ + kπ < x < 5π/ + kπ (b π/ + kπ < x < π/3 + kπ (c π/3 + kπ x π/3 + kπ (d π/3 + kπ x < π/ + kπ ou π/ + kπ < x π/3 + kπ (e π/3 + kπ x π/3 + kπ ou x 0 + kπ (f π/ + kπ x π/ (g 0 + kπ < x < π/ + kπ ou 5π/ + kπ < x < π + kπ (h x π/ + kπ, k Z ( i 3 sen(x 3 0 sen(x 0 sen(x / π/ + kπ x π/3 + kπ (j π/ + kπ < x < π + kπ (k 3π/ + kπ < x < 5π/ + kπ * Questões propostas pelo professor Humberto Bortolossi Texto composto em L A TEXe, 9/05/07 8