Equações e Funções Trigonométricas

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1 CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Equações e Funções Trigonométricas Isabelle da Silva Araujo - Engenharia de Produção

2 Equações Trigonométricas Equações trigonométricas são aquelas que envolvem as funções trigonométricas em seus membros. Exemplos: sen (x) = 1 2 cos (2x) = -cos(x) tg (x) = π 4 Como as equações trigonométricas possuem uma gama muito grande de variedades, vamos fazer o estudo dos principais tipos. Salvo indicação em contrário, usaremos x como incógnita. 2/26

3 Relações Trigonométricas As relações entre os valores das funções trigonométricas de um mesmo arco são denominadas relações trigonométricas. Algumas relações são importantes como: sen 2 (x) + cos² (x) = 1 cotg (x) = 1 tg (x) = cos (x) sen (x) tg (x) = sen (x) cos (x) cossec (x) = 1 sen (x) sec (x) = 1 cos (x) 3/26

4 Equações Trigonométricas a) sen (x) = a -1 < a < 1 y y /2 sen (x) = sen (y) x = y + 2k a - y y - y y sen (x) = sen ( - y) O 2 x x = ( - y) + 2k 3 /2 4/26

5 Praticando Resolva as equações: a) sen 2 (x) + 3 sen(x) + 2 = 0 x = k, k Z b) sen(2x ) = 3 2 x = k, k Z OU x = k, k Z 5/26

6 Equações Trigonométricas b) cos (x) = a -1 < a < 1 y /2 cos (x) = cos (y) x = y + 2k cos (x) = cos (2 - y) x = y + 2k 2 - y O y a 2 x 3 /2 6/26

7 Praticando Resolva as seguintes equações: a) cos(2x) = 0 x = 4 + k 2, k Z b) sen 2 (x) + 2cos(x) = 1 x = 2 + k, k Z 7/26

8 Equações Trigonométricas c) tan (x) = b b IR y /2 t b tan (x) = tan (y) O y 2 x x = y + k 3 /2 8/26

9 Praticando Resolva as equações: a) tan(3x) = 0 x = k 3, k Z b) cotg(x) = 3 x = 6 + k, k Z 9/26

10 Revisando Vamos observar o sinal das funções em cada quadrante. /2 Use Sempre a Tua Cabeça. S U U = Todas as funções tem valor positivo. T C 2 S = A função seno tem valor positivo. T = A função tangente tem valor positivo. C = A função cosseno tem valor positivo. 3 /2 10/26

11 Revisando Funções O estudo de Funções é de extrema importância para vários segmentos da ciência. 1) Graficaliza expressões matemáticas complicadas; 2) Modela o comportamento de fenômenos físicos; 3) Fundamenta o Cálculo Diferencial e Integral; 11/26

12 Revisando Funções Uma expressão matemática pode representar uma função ou simplesmente uma relação entre duas ou mais variáveis. Para identificar, graficamente, uma função devemos: Ver aplicação no GeoGebra: Identificar_função 12/26

13 Conceitos Trigonométricos Antes de falar sobre as funções trigonométricas, vamos fazer uma pequena revisão de conceitos trigonométricos: Ver aplicação no GeoGebra: o Ciclo_trigonométrico1 o Ciclo_trigonométrico2 13/26

14 Histórico Historicamente, o primeiro indício do tratamento funcional da Trigonometria surgiu em Gilles Personne de Roberval 14/26

15 Histórico Porém, essa área só avançou efetivamente no século XIX com Fourier. Jean Baptiste Joseph Fourier Estudo dos movimentos periódicos 15/26

16 Funções Trigonométricas a) Função Seno: f : IR IR f(x) = sen x A função associa cada arco x da circunferência trigonométrica a um número real y = sen x. x IR -1 sen x 1 ; logo: Im(f) = [ -1, 1 ] 16/26

17 Funções Trigonométricas a) gráfico : y x 17/26

18 Funções Trigonométricas a) Função seno: Periodicidade : sen x = sen ( x + 2 ) A função y = sen x é periódica e tem período igual a 2 radianos. Se f(x) = a + b.sen(cx + d) período de f = Paridade : sen x = - sen (- x) A função y = sen x é ímpar. 2 c 18/26

19 Funções Trigonométricas b) Função cosseno : f : IR IR f(x) = cos x A função associa cada arco x da circunferência trigonométrica a um número real y = cos x. x IR -1 cos x 1 ; logo: Im(f) = [ -1, 1 ] 19/26

20 Funções Trigonométricas b) gráfico: y x 20/26

21 Funções Trigonométricas b) Função cosseno: Periodicidade : cos x = cos ( x + 2 ) A função y = cos x é periódica e tem período igual a 2 radianos. 2 Se f(x) = a + b. cos(cx + d) período de f = c Paridade : cos x = cos (- x) A função y = cos x é par. 21/26

22 Funções Trigonométricas c) Função tangente: f : D IR f(x) = tg x D = { x IR / x / 2 + k } A função associa cada arco x, x / 2 + k, da circunferência trigonométrica a um número real y = tg x. Im(f) = IR 22/26

23 Funções Trigonométricas c) gráfico: y /26

24 Funções Trigonométricas c) Função Tangente: Periodicidade : tg x = tg ( x + ) A função y = tg x é periódica e tem período igual a radianos. Se f(x) = a + b. tg(cx + d) período de f = Paridade : tg x = - tg (- x) A função y = tg x é ímpar. c 24/26

25 Funções Trigonométricas Ex.: Seja f(x) = a + b.sen(cx), com a, b e c números reais positivos, uma função periódica de período 3 / 2. a) Determine c. Resposta: c = 4/3 b) Sabendo-se que a imagem de f é o intervalo [ 3, 5 ], determine a e b. Resposta: a = 4 e b = 1 25/26

26 Obrigada pela atenção! /26