UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAÚ. 2 a Lista de Exercícios - Matemática Básica II Professor Márcio Nascimento

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAÚ Coordenação de Matemática a Lista de Exercícios - Matemática Básica II Professor Márcio Nascimento 1. Encontre a medida em radianos do ângulo θ, sendo θ o ângulo central de um arco que mede s em um círculo de raio r. (a) r =, s = 9 (b) r = 1, s = π (c) r = 1 4, s = 1. Los Angeles e São Francisco (Estados Unidos) estão separadas por 450 milhas na superfície terrestre. Admitindo que o raio da Terra é de milhas, encontre a medida em radianos do ângulo central com vértice no centro da Terra que tem as cidades citadas no outro lado.. Converta para radianos (a) 60 0 (b) 40 0 (c) Quantos radianos percorre o ponteiro dos minutos de um relógio durante cinco minutos? 5. Converta para graus (a) 4π rad (b) 11π 4 rad (c) 0.5 rad 6. No famoso relógio de Londres, o Big Ben, o ponteiro dos minutos mede cerca de 14 pés 1. Qual a distância em metros que a ponta do ponteiro percorre após 5 minutos? 7. Exprima em radianos as medidas dos arcos a e b tais que a b = 15 0 e a + b = 7π 4 rad. 8. Exprima em graus as medidas dos arcos a, b, c tais que a + b + c = 1 0, a + b + c = π 1 rad e a + b + c = π 9 rad. 9. Calcule a medida do ângulo central aôb que determina em uma circunferência de raio r um arco de comprimento πr. 10. Calcule o comprimento l do arco ÂB definido em uma circunferência de raio 7 cm por um ângulo central de 4,5 rad. 1 1 pé=0,048m 1

2 11. Divide-se o ciclo trigonométrico em 8 partes iguais sendo A(1, 0) um dos pontos divisores. Determine o conjunto dos x [0, π] cujas imagens são os pontos divisores. 1. Utilizando simetria e sabendo que sen π 6 = 1 dê o valor do seno de 5π 6, 7π 6 e 11π 1. Utilizando simetria e sabendo que cos π 6 = dê o valor do cosseno de 5π 6, 7π 6 e 11π 14. Utilizando simetria e sabendo que tg π 6 = dê o valor da tangente de 5π 6, 7π 6 e 11π 15. Utilizando simetria e sabendo que cotg π 6 = dê o valor da cotangente de 5π 6, 7π 6 e 11π 16. Utilizando simetria e sabendo que cossec π 6 = dê o valor da cossecante de 5π 6, 7π 6 e 11π 17. Utilizando simetria e sabendo que sec π 6 = 18. Sabendo que sen π = dê o valor do seno de π, 4π e 5π. 19. Sabendo que cos π = 1 dê o valor do cosseno de π, 4π e 5π. dê o valor da secante de 5π 6, 7π 6 e 11π 0. Sabendo que tg π = dê o valor da tangente de π, 4π e 5π. 1. Sabendo que cotg π = dê o valor da cotangente de π, 4π e 5π.. Sabendo que sec π = dê o valor da secante de π, 4π e 5π.. Sabendo que cossec π = dê o valor da cossecante de π, 4π e 5π. 4. Localize os arcos no ciclo trigonométrico e coloque em ordem crescente os números sen60 0, sen150 0, sen40 0, sen0 0. Idem para os números cos 60 0, cos 150 0, cos 40 0, cos 0 0 e também para os números tg60 0, tg10 0, tg10 0 e tg Idem para cotg60 0, cotg10 0, cotg10 0 e cotg0 0, para sec 60 0, sec 10 0, sec 10 0 e sec 0 0 e também para cossec60 0, cossec150 0, cossec40 0 e cossec Sabendo que cossecx = 5 4 e π < x < π, calcule as demais funções circulares de x. 7. Sabendo que tgx = 1 5 e π < x < π, calcule as demais funções circulares de x. 8. Calcule sec x sabendo que senx = ab, com a > b > 0. a + b

3 9. Sendo senx = 1 e 0 < x < π calcule o valor de y = 0. Sabendo que cotgx = 4 7 e π < x < π 1 cossecx + cotgx + 1 cossecx cotgx y =, calcule o valor de tgx. cos x (1 + cos x)(1 cos x) 1. Dado que cos x = 5 e π < x < π, obtenha o valor de y = (1 + tg x) + (1 tg x). Calcule senx e cos x, sabendo que. cos x + senx = 1.. Calcule senx e cos x, sabendo que 5. sec x.tg x = Obtenha tgx, sabendo que sen x 5.senx. cos x + cos x =. 5. Calcule m de modo a obter senx = m + 1 e cos x = 4m Calcule m de modo a obter tgx = m e cotgx = m. 7. Determine a de modo a obter cos x = 1 a + 1 e cossecx = a + 1 a Determine uma relação entre x e y, independente de t, sabendo que x = 5.tg(t) e y =.cossec(t). 9. Se senx + cos x = a e senx. cos x = b, obtenha uma relação entre a e b, independente de x. 40. Dado que senx. cos x = m, calcule o valor de y = sen 4 x + cos 4 x e z = sen 6 x + cos 6 x. 41. Sabendo que senx + cos x = a, calcule y = sen x + cos x. 4. Prove as identidades abaixo, válidas para todo x onde as expressões estão definidas: (a) 1 tg x 1 + tg x = 1 sen x (b) cos x senx cos x + senx = 1 tgx 1 + tgx (c) 1 senx = (sec x tgx) 1 + senx senx (d) cossecx cotgx = 1 + cos x 4. Calcule k de modo que as raízes da equação x kx+k +k = 0 sejam o seno e o cosseno de um mesmo ângulo.

4 44. Prove que sen 6 x + cos 6 x sen 4 x cos 4 x + sen x = Prove que senx sen x cos x cos x = tgx 46. Verifique cada uma das seguintes identidades: (a) cossecx + cotgx. sec x =.cossecx (b) cos x + senx.tgx = sec x cos x.cossecx (c) = tgx cotg x 1 (d) senx + 1 = cossecx + senx cossecx ( ) ( ) π π (e) cos θ.cotgθ + tgθ.sen θ = cos θ + senθ (f) (g) tgx = cos x.senx sec x [ ( )] π tg θ.(1 cos θ). sec θ = senθ (h) (1 sen x).tgx = cotgx sen x [ ( )] π (i) cos θ.(senθ + cotgθ. cos θ) = 1 (j) senx 1 cossecx.(cossecx + 1) = cos x ( ) ( ) π π (k) senθ = sen θ.cotg θ (l) senθ + cos θ.cotgθ = cossecθ (m) cossecθ.tgθ senθ = tgθ sen θ senθ (n) sec θ.tgθ cotgθ = tg θ cos θ senθ (o) sec θ(cos θ 1) = tg θ (p) sec x = cossecx(90 0 x) (q) tg x.senx + senx = tgx cos x (r) cos senx. cos x sec x x cossecx = sec x.senx 47. Mostre que cos α = ± 1 + cos α 48. Verifique cada uma das seguintes identidades: e tg α = ± 1 cos α 1 + cos α (a) sec x = 1 + tgx.tgx 4

5 sec x.cossecx (b) cossecx = cotgx tgx (c) cotgx = (d) tgx = senx 1 + cos x (e).tgx tgx = sec x.tg x (f) senx = 1 + tg x cos x + 1 (g) cotgx = senx (h) senx = senx 4sen x (i) cos x = 4 cos x cos x (j) tgx = tgx tg x 1 tg x 49. Use as identidade de arco-metade para encontrar o valor de cada expressão (a) sen π 1 (b) cos π 1 (c) tg π 1 (d) sen 5π 1 (e) cos 7π Mostre que 51. Mostre que cos(x y) cos(x + y) senx.seny = cos(x y) + cos(x + y) cos x. cos y = sen(x + y) + sen(x y) senx. cos y = sen(x + y) sen(x y) cos x.seny = (a) cotgx = cos(x + y) + cos(x y) sen(x + y) + sen(x y) (b) senx.tgx =.sen x (c) 1 cos x = 4.sen x. cos x 5

6 (d) sen9x cos 9x senx cos x = (e). cos x.tgy = senx + cos x.(tgy tgx) (f) 4.senx. cos x.seny. cos y = sen (x + y) sen (x y) (g) tg x. cos x + cos x = sec x (h).senx. cos x = tgx + tgx. cos x (i).sen x. cos x = 1 sen x cos x + sen x. cos x (j) sen x = senx. cos x(1 cos 4x) 5. Encontre seno, cosseno, tangente, secante, cossecante e cotangente, realizando redução ao primeiro quadrante: (a) x = 5π 6 rad (b) x = π 4 rad (c) x = (d) x = (e) x = (f) x = 05 0 (g) x = 88 0 (h) x = 4 0 6

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