MATEMÁTICA MÓDULO 10 EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 1. EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS 1.1. EQUAÇÃO EM SENO. sen a arcsena 2k, k arcsena 2k, k

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1 EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS Vamos mostrar como resolver equações trigonométricas básicas, onde temos uma linha trigonométrica aplicada sobre uma função e igual a um determinado valor. Um exemplo desse tipo de equação é senx. Normalmente, mesmo as equações trigonométricas mais complexas, terminam com a resolução de uma equação dessa forma... EQUAÇÃO EM SENO Seja a tal que a, então sen a arcsena k, k arcsena k, k Notação resumida: k k arcsena, k Observe que representamos a solução da equação utilizando a função arco seno por se tratar de um caso geral. Na maioria dos problemas são apresentados ângulos cujos valores das linhas trigonométricas são conhecidos. Ao resolver uma equação trigonométrica, é sempre útil identificar as soluções no ciclo trigonométrico, como na figura seguinte.

2 k Exemplo: k k senx x k,k x,k 6 Se, na equação sen a, o valor de a for tal que a, então o conjunto solução da equação é vazio. Exemplo: senx S.. EQUAÇÃO EM COSSENO Seja a tal que a, então cos a k arccosa, k A identificação das soluções da equação no ciclo trigonométrico encontra-se na figura seguinte. Exemplo: cosx x k,k x k,k 6 Se, na equação cos a, o valor de a for tal que a, então o conjunto solução da equação é vazio. Exemplo: cosx S.. EQUAÇÃO EM TANGENTE Seja a, então tg a arctga k, k

3 Observe que a equação em tangente possui solução para qualquer valor de a real. A identificação das soluções da equação no ciclo trigonométrico encontra-se na figura seguinte. Exemplo: k tgx x k,k x,k 4 8. EQUAÇÕES COM IGUALDADE DE LINHAS TRIGONOMÉTRICAS.. EQUAÇÃO COM IGUALDADE DE SENOS sen sen k, k k, k Observe que dois arcos que possuem o mesmo seno ou são côngruos k,k ou suas imagens são simétricas em relação ao eixo Oy. No segundo caso, os ângulos seriam dados, sem perda de generalidade, por k,k e k,k k k k, k., o que implica Outra maneira de resolver essa equação é usando as fórmulas de Werner: sen sen sen sen 0 sen cos 0 sen 0 cos 0 sen 0 k,k k,k

4 cos 0 k,k k,k Notação resumida: k k, k Exemplo: x x k,k x k,k 4 4 senx senx 4 5 k x x k,k x,k 4.. EQUAÇÃO COM IGUALDADE DE COSSENOS cos cos k, k Observe que dois arcos que possuem o mesmo cosseno ou são côngruos k,k ou suas imagens são simétricas em relação ao eixo Ox. No segundo caso, os ângulos seriam dados, sem perda de generalidade, por k,k e, o que implica k,k k k k, k. A notação k,k representa a união das soluções de ambos os casos. Outra maneira de resolver essa equação é usando as fórmulas de Werner: cos cos cos cos 0 sen sen 0 sen 0 sen 0 sen 0 k,k k,k sen 0 k,k k,k Exemplo: k x x k,k x,k 5 5 cosx cosx x x k,k x k,k Exemplo: (ITA 99) O conjunto das soluções da equação sen5x a) k,k b) k,k c) k,k cosx contém o seguinte conjunto:

5 d) k,k e) k,k 4 4 RESOLUÇÃO: e sen5x cosx cos 5x cosx 5x x k k x,k x k,k k S x x,k x k,k k,k EQUAÇÃO COM IGUALDADE DE TANGENTES tg tg k, k Observe que dois arcos que possuem o mesmo cosseno ou são côngruos k,k ou suas imagens são simétricas em relação à origem dos eixos ordenados. No segundo caso, os ângulos seriam dados, sem perda de generalidade, por k,k e, o que implica k,k k k k, k. A notação k,k representa a união das soluções de ambos os casos Outra maneira de resolver essa equação é usando as fórmulas de Werner: sen tg tg tg tg 0 0 sen 0 k, k cos cos Exemplo: k tg 4x tgx 4x x k,k x,k OUTRAS EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS.. EQUAÇÃO DO TIPO: asenx bcosx c Seja a equação asenx bcosx c, onde ab 0, temos: a b c asenx bcosx c senx cosx a b a b a b 5

6 Seja o ângulo tal que sen a a b e cos a b b, então c c sensenx coscosx cosx a b a b Se c, então a b c x arccos k, k a b... EQUAÇÃO DO TIPO: asen x bsenxcosx ccos x d Seja a equação asen x bsenxcosx ccos x d, onde abc 0, temos: asen x bsenxcosx ccos x d cos x atg x btgx c dsec x atg x btgx c d tg x ag tg x btgx c d 0 Observe que ao dividir a equação original por cos x, obtivemos uma nova equação em tgx. Se a equação em tgx possuir raízes reais, então a expressão reduz-se a duas equações da forma tgx p... EQUAÇÃO DO TIPO: asenx cosx bsenxcosx c Vamos efetuar uma substituição de variável para resolver essa equação. z senx cosx z senx cosx z senxcosx z senxcosx Substituindo esses valores na equação original, temos: z a senx cosx bsenxcosx c az b c bz az b c 0 Basta agora resolver a equação em z e retornar a substituição, observando que senx cosx (vide a solução da equação do item.). 6

7 4. INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Para simplificar uma inequação trigonométrica são utilizadas as mesmas técnicas utilizadas nas equações trigonométricas., obtendo-se ao final uma inequação básica. Para resolver essa inequação, basta marcar as soluções da equação no ciclo trigonométrico e, posteriormente, identificar os intervalos que satisfazem à inequação. Exemplo: Resolva a inequação senx 0,. em Inicialmente, vamos marcar no ciclo trigonométrico as raízes de 5 senx que são e. 6 6 Os valores que satisfazem à inequação são aqueles cujo seno é menor ou igual a 5 S 0,, 6 6., ou seja, 7

8 EXERCÍCIOS DE COMBATE. A solução da equação tgx senx, onde k, é: tgx a) x k b) x k c) x k ou x k 4 d) x k 4 e) k x. A área do polígono, cujos vértices são a representação no ciclo trigonométrico das soluções da equação senx senx senx cosx cosx cosx, é: a) b) c) d) e) 4. (EsPCEx 998) A soma das soluções da equação 65 5 cos x cosx, para 0x é: a) π 6 b) π c) π d) π e) 5π 6 8

9 4. (EsPCEx 00) O número de soluções da equação a) infinito b) 4 c) d) e) sen x cos x, satisfazendo a condição 0 x, é 5. (EsPCEx 00) Se o cosseno de um ângulo de medida k é o dobro do cosseno de um outro ângulo de medida w, ambos pertencentes ao º quadrante, pode-se afirmar que todos os valores de w que satisfazem essa condição pertencem ao intervalo a) 0,5 b) 5,0 c) 0,45 d) 45,60 e) 60,90 6. (EsPCEx 005) Dadas as funções reais fx senx e gx interseções entre os gráficos de f e g é: a) 6 b) c) d) 4 e) 8 tal que x0,. Então, o número de 7. (EsPCEx 00) O número de arcos no intervalo 9 0, 6 cujo valor do cosseno é igual a é a) b) c) d) 4 e) 5 9

10 8. (EsPCEx 05) 8) A soma de todas as soluções da equação cos x cos xcosx 0, que estão contidas no intervalo 0,, é igual a a) b) c) 4 d) 5 e) 6 9. (EN 00) O número de soluções reais da equação a) n 0 b) n c) n d) n e) n sen x x é igual a n; assim, pode-se concluir que: cosx cosx 0. (EN 004) O número de soluções da equação cosx 4 para x real, quando 0 x 4 é a) b) c) d) 4 e) 6. (EN 005) Os pontos A (x, y ) e B (x, y ) são soluções do sistema de equações sen (x y) sen (x y) sen x cos y a) onde x [0, ]. A distância desde A até B é: b) 0

11 c) d) e). (EN 006) No intervalo [0, ] a equação a) 5 b) sen x cos x possui soma dos inversos das raízes igual à: 8 c) 5 d) e) 7 5. (EN 007) O conjunto de todos os valores de 0, x a),, é que satisfazem ao sistema x x tg 4, ln ln b), 4 c), d),e e) e, 4. (EN 008) Sejam f e g funções reais definidas por f x sen x 6cosx e gx k cosx, k. Se 7 9 f g, então a soma das soluções da equação 6 f x g x no intervalo, 4 5 é a) 6

12 b) c) 7 d) 5 6 e) 6 5. (EN 009) O termo de mais alto grau da equação biquadrada Bx 0 tem coeficiente igual a. Sabe-se que duas das raízes dessa equação são, respectivamente, o termo central do desenvolvimento de 5 6 e a quantidade de soluções da equação Pode-se afirmar que a soma dos coeficientes de a) 9 b) 6 c) d) 7 e) B x vale sen x 6senxcosx 8cos x 0 no intervalo 0,. 6. (EN 0) Sejam A e B conjuntos de números reais tais que seus elementos constituem, respectivamente, o domínio da função inequação fx senx senx no universo 0, e o conjunto solução da 0 para 0 x, com x. Pode-se afirmar que B A é igual a cossecx secx a) 5,, b) c) 5 7, 6 6 d) e) 7,, , 6

13 7. (EN 0) Considere S, a soma das raízes da equação trigonométrica 4sen x 5senx 4cos x 5cosx 0, no intervalo 0, a) b) c) 0 d) e). Qual o valor de tgs cossecs? 8. (EN 04) A soma das soluções da equação trigonométrica cosx cosx, no intervalo 0, é a) b) c) d) 5 e) 0 9. (EFOMM 00) Considere a equação de incógnita real x : 4 cos x cos x cos4x. Se x 0; é uma de suas soluções e x 0 centímetros é a medida da diagonal de um cubo, então a área da superfície total desse cubo, em a) b) c) 6 8 cm, é igual a 0 d) e) (EFOMM 04) Seja x0, tal que senx cosx. Então, o produto P e a soma S de todos os 5 possíveis valores de tgx são, respectivamente,

14 a) P e S 0 b) P e S 5 c) P e S 0 d) P e S 5 e) P e S 5. (AFA 000) Os valores de m para os quais a equação senx cosx m admite soluções, são a) m b) m c) 0 m d) m. (AFA 000) A inequação pertencentes a a) 0,, b) 0,, c) 0, 65 6, d) 0,4 5 6, senx, com x 0, e log, tem como solução os valores de x log log. (AFA 00) O conjunto dos valores reais de x que tornam verdadeira a desigualdade cos x é a) x x ou x b) x x c) d) 4. (AFA 004) O determinante associado à matriz y x x 0 0 sena 4 sena 0, é. Então, o maior valor de a no intervalo é igual ao menor valor da função 4

15 a) 6 b) 5 6 c) 4 d) (AFA 005) Considere m a raiz da equação cotgm secm é a) 0 b) c) cosx sen x senx 0 no intervalo 0,. O número d) 6. (AFA 00) Seja a função real f definida por fx cos4x sen 6x. Marque a alternativa que possui a melhor representação, no ciclo trigonométrico, de todas as raízes da função f. a) sen c) sen 0 cos 0 cos b) sen d) sen 0 cos 0 cos 5

16 PROF. RENATO MADEIRA 7. (AFA 0) Sendo x0, inequação 4 8sen x 0sen x 0 é dada por, a interpretação gráfica no ciclo trigonométrico para o conjunto solução da 8. (ITA 009) A soma de todas as soluções distintas da equação cosx cos6x cos9x 0 que estão no intervalo 0x, é igual a: a) b) c) 9 6 d) 7 6 e) 9. (ITA 007) Seja x um número real no intervalo 0x /. Assinale a opção que indica o comprimento do menor intervalo que contém todas as soluções da desigualdade 6

17 x tg x cos sec(x) 0 a) / b) / c) / 4 d) / 6 e) / 0. Resolvendo a equação tgx cotgx cosx 4 a) 0 b) c) d) 4 e) 8, onde x 0,, o número de soluções encontradas é: 7

18 GABARITO. Inicialmente, observamos que x k,k e tgx, ou seja, x k,k. 4 tgx senx tgx tgx tgx tgx tg x tgx tgx tgx tg x I) tgx 0 tgx x k,k 4 II) tgx 0 RESOLUÇÃO: C tgx tg x tg x tgx 0 x k,k tgx tg x. senx senx senx cosx cosx cosx sen x sen x sen x senxsenx senxsenx senx senx cos x cos x cos x cosxcosx cosxcosx cosx cosx cosx x cosx x cosx x cosx cosx 0 cos x cosx 0 cosxcosx 0 cosx 0 cosx x k,k x k,k Representando os pontos no ciclo trigonométrico, encontramos para vértices os pontos B, B e A. Assim, obtemos um triângulo de base e altura e que consequentemente possui área. REFERÊNCIA: KöMaL abril 009 RESOLUÇÃO: B. cos x cos x 65 5 cos x cos x 5 5 cos x cosx cosx cosx 0 cosx cos x 5 5 cosx 0 x cosx cosx (lembre-se que 0x ) 8

19 Portanto, a soma das soluções é RESOLUÇÃO: E sen x cos x sen x cos x sen xcos x senxcosx senx 0 senx 0 x k, k x k, k 0 x S 0,,, Portanto, há 4 soluções. RESOLUÇÃO: B 5. cosk cosw kq 0 cosk 0 cosw 0 cosw 60 w 90 Note que no primeiro quadrante a função cosseno é decrescente. RESOLUÇÃO: E 6. k k k f x g x senx x k, k x, k 6 k 0 x 5 k x k x 7 k x Portanto, o número de interseções no intervalo 0, é 4. RESOLUÇÃO: D 7. cos k,k 9

20 , S,, 6 7 Portanto, o número de arcos que satisfaz às condições é. RESOLUÇÃO: C 8. Vamos fatorar a equação a fim de identificar suas raízes. cos x cos x cos x 0 cos xcosx cosx 0 cosx cos x 0 cosx cosx cosx 0 cosx cosx cosx Como x0,, temos: 5 cosx x x cosx x cosx x 0 x Logo, a soma das soluções em 0, é RESOLUÇÃO: D sen x x x x x Nesse intervalo, a função y sen x é estritamente decrescente e varia de sen a sen. Como a função y x é estritamente crescente e varia de até para x,, então as duas funções possuem um único ponto de interseção e, consequentemente, a equação possui uma única solução. 0. O lado esquerdo da equação é a soma de uma progressão geométrica de primeiro termo a cosx e cosx razão q. 0

21 cosx Como cosx 0 cosx 0 0 q. Assim, a soma da progressão geométrica é dada por Voltando à equação, temos: a cosx cosx S. q cosx cosx cosx cosx cosx cosx cosx cosx cosx 0 4 cosx x k,k x 4 x,,, Portanto, o número de soluções da equação é 4. RESOLUÇÃO: D. Aplicando a transformação de soma em produto, temos: sen (x y) sen (x y) senx cosy senx cosy sen (x y) sen (x y) senx cos y sen x cos y senx cos y Assim, senx e cosy são soluções da equação quadrática Portanto, senx x e cosy y 0 y. z x 0 z. Os pontos A (x, y ) e B (x, y ) podem ser escritos da seguinte forma A,0 e B,, o que implica AB. RESOLUÇÃO: D sen x cos x sen x cos x sen xcos x senxcosx k sen x sen x senx x k, k x, k x 0, x,,, 6 6

22 Portanto, a soma dos inversos das raízes é RESOLUÇÃO: B. x x tg, x x x tg 0, x 4 4 4tg 0 tg 4 4 ln ln ln ln 0 0 ln ln ln ln ln ln ln ln 0 0 ln e 0 e e ln ln Observe que ln ln 0,, pois 4 0. Fazendo a interseção dos dois intervalos obtidos, obtemos para solução do sistema ou,. RESOLUÇÃO: C 4. 9 f sen 6cos g k cos k cos k 0 k f g k k 5 4 f x g x sen x 6cosx 5 cosx cos x 6cosx 5 cos x cos x cosx 0 cosx x k, k x 7 cosx x k, k x Note que 6,, 5 5. Portanto, a soma das soluções é RESOLUÇÃO: B 7.

23 5. O termo de ordem p no desenvolvimento de 5 6 é T p 6 p 5 p 6p. Como esse desenvolvimento tem 6 7 termos, o termo central é o termo de ordem 4 que é dado por T ! cos x sen x 6senxcosx 8cos x 0 tg x 6tgx 8 0 tgx tgx 4 No intervalo 0, há valores tais que tgx e valores tais que tgx 4. Logo, a equação trigonométrica possui 4 soluções no intervalo 0,. Sendo assim, a equação biquadrada Bx 0 possui uma raiz 4,4,, 0 0. A equação do º grau resolvente tem raízes 4 6 e e uma raiz 4. Portanto, suas 4 raízes são 0 4. Portanto, a equação biquadrada é dada por B x x 6 x 6 0 B x x x 0, cuja soma dos coeficientes é RESOLUÇÃO: A 6. O domínio da função é fx senx senx no universo 0, é o conjunto solução da inequação senx senx senx x,, senx Logo, 5 7 A,,

24 O conjunto solução da inequação 0, para 0 x, com x é cossecx secx 0 senx cosx 0 senx cosx 0 senx 0 cossecx secx x x Como 0 x e x, então B,, Logo, B A,,,,, RESOLUÇÃO: E 7. 4sen x 5senx 4cos x 5cosx 0 4 senx cosx sen x senxcosx cos x 5 senx cosx 0 senx cosx 4senxcosx 5 0 senx cosx senx 0 senx cosx 0 senx cosx tg x x senx 0 senx x x x x S tgs cossecs tg cossec RESOLUÇÃO: E 8. cosx cosx cos x cosx 0 cos x cosx 0 cosx cosx No intervalo 0,, temos: cosx x 4 cosx x x 4 Assim, o conjunto solução da equação é S,, e a soma das soluções é 4. RESOLUÇÃO: C 4

25 4 9. cos4x cos x cos x 8cos x 8cos x 4 4 cos x cos x cos4x cos x cos x 4 6cos x 6cos x 0 6cos x cos x 0 cosx 0 x k,k cosx x k,k x00, x0 4 8cos x 8cos x Seja um cubo de aresta a, a sua diagonal mede D a e sua área total é D a a ST 6 RESOLUÇÃO: B ST 6a. 0. Dividindo senx cosx por 5 cos x em ambos os lados, temos: senx sec x senx cosx tg x 5tg x tg x tg x 5tg x 0 5 cosx 5cos x 5 Analisando o discriminante da equação do grau, temos: Logo, a equação possui duas raízes reais. Dessa forma, podemos afirmar que o produto P e a soma S de todos os possíveis valores de tgx são 5 P e S 5. RESOLUÇÃO: B. m m senx cosx m senx cosx senxcos sen cosx 4 4 m senx 4 m m 0 0 m 4 m RESOLUÇÃO: B 5

26 . log log log log log log log senx senx senx 5 senx 0 x x 6 6 S 0, 65 6, COMENTÁRIO: Esta questão foi a 4a questão da prova de matemática do ITA 9/9. RESOLUÇÃO: D. Sabe-se que cos x cos x, então o conjunto solução da inequação cos x é S. RESOLUÇÃO: D 4. O menor valor da função y x x x é yv det sena 0 sen a 0 sen a sena 4 sena 7 Logo, o maior valor de a no intervalo 0, é. 4 4 RESOLUÇÃO: D 5. cosx sen x senx 0 sen x sen x senx 0 sen x senx 0 senx senx (não convém) 6

27 x 0, x m cotgm secm cotg sec 0 RESOLUÇÃO: C 6. 4x 6x 4x 6x fx cos4x sen 6x 0 cos4x cos6x 0 sen sen 0 sen x sen 5x 0 sen x sen 5x 0 k x k,k ou 5x k,k x,k Na primeira volta do ciclo trigonométrico, teremos 0,,,,,,,, e RESOLUÇÃO: A sen x 0sen x 0 sen x 4sen x 0 Fazendo senx, vamos realizar um estudo de sinal de z f(z) z 4z. As raízes de f são e. Dispondo as raízes sobre a reta real e analisando o sinal da função com base no método dos intervalos, temos: f z 0 z z z Assim, devemos ter senx senx senx. Como x0,, temos: 4 5 senx x, ou 7

28 5 7 senx x 0,,, ou senx x,. Representando a união desses intervalos no ciclo trigonométrico, temos: A figura acima corresponde à alternativa (b). RESOLUÇÃO: B 8. cosx cos6x cos9x 0 cos6xcosx cos6x 0 0x k 5 cos6x 0 6x k x,k x,, 6 4 cos6x cosx 0 ou 0x k cosx x k x,k x A soma de todas as soluções distintas é RESOLUÇÃO: E Para 0 x, a desigualdade equivale a cos cot x sec x 0 x cot x cos x. sec x 0 cot x 0 cot x cot 0 x 6 6 8

29 Assim, o menor intervalo contendo todas as soluções é 0,, 6 cujo comprimento vale RESOLUÇÃO: D 0. tgx cotgx tgx tgx Pela desigualdade das médias cosx. 4 tgx tgx 4 e como cos x,, devemos ter tgx e tgx cosx x k,k x k,k x0, x 4 Logo, só há solução REFERÊNCIA: KöMaL fevereiro 009 RESOLUÇÃO: B 9