Trigonometria. Trigonometria no Triângulo Retângulo. Pré-Cálculo. Trigonometria. Humberto José Bortolossi. Parte 7. trigonometria

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1 Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Trigonometria Parte 7 Parte 7 Pré-Cálculo 1 Parte 7 Pré-Cálculo 2 Trigonometria trigonometria Trigonometria no Triângulo Retângulo triângulo retângulo funções trigonométricas (seno de um ângulo) (seno de um número real) Parte 7 Pré-Cálculo 3 Parte 7 Pré-Cálculo 4

2 O que é um ângulo? Diversos autores dão definições diferentes! Muitas definições são ambíguas! Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo C a b B c A Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma História Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História & Educação Matemática, v. 1, n. 1, pp , 2001 (disponível na página WEB do curso). sen( B) = cateto oposto hipotenusa tg( B) = = b a, cos( B) = cateto oposto cateto adjacente = b c. cateto adjacente hipotenusa = c a, Parte 7 Pré-Cálculo 5 Parte 7 Pré-Cálculo 6 Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo Importante: cos( B) e sen( B) dependem apenas do ângulo B mas não do tamanho do triângulo retângulo do qual B é um dos ângulos agudos. De fato: Identidade trigonométrica fundamental C ΔABC ΔA B C b a = b a e c a = c a sen( B )=sen( B) e cos( B )=cos( B). a b A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria! C B c A a C b a b ( ) 2 ( ) 2 c 2 cos( B) + sen( B) = a 2 + b2 a 2 = b2 + c 2 ( ) a 2 = a2 a 2 = 1 B c A B c A onde, em ( ), usamos o Teorema de Pitágoras. Parte 7 Pré-Cálculo 7 Parte 7 Pré-Cálculo 8

3 Notações cos 2 ( B) significa ( cos( B)) 2 e sen 2 ( B) significa ( sen( B)) 2. Funções Trigonométricas A identidade trigonométrica fundamental fica então escrita assim: cos 2 ( B)+sen 2 ( B) =1. Parte 7 Pré-Cálculo 9 Parte 7 Pré-Cálculo 10 A função de Euler e a medida de ângulos em radianos A função de Euler e a medida de ângulos em radianos Sejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem: C = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 = 1}. A função de Euler E : R C faz corresponder a cada número real t o ponto E(t) =(x, y) de C do seguinte modo: E(0) =(1, 0). Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1, 0), um caminho de comprimento t, sempre andando no sentido positivo (contrário ao movimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos leva de (1, 0) para (0, 1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminho será chamado E(t). Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento t, que parte do ponto (1, 0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, no sentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual). ( ou A função de Euler E : R C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta, identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel) de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1, 0) em C. Escrevendo A =(1, 0), O =(0, 0) e, para cada t em R, P = E(t), dizemos neste caso que o ângulo AOP mede t radianos. Parte 7 Pré-Cálculo 11 Parte 7 Pré-Cálculo 12

4 A função de Euler e a medida de ângulos em graus A função de Euler e a medida de ângulos em graus Também é possível definir uma função G : R C pondo ( ) 2 πs G(s) =E, para todo s real. 360 Escrevendo A =(1, 0), O =(0, 0) e, para cada s em R, P = G(s), dizemos neste caso que o ângulo AOP mede s graus. ( ou Parte 7 Pré-Cálculo 13 Parte 7 Pré-Cálculo 14 A função de Euler e a medida de ângulos em graus Seno e cosseno de números reais (caso: radianos) O ângulo AOP mede 1 grau quando B = G(1), ou seja, quando o arco AP tem comprimento igual a 2 π/360. Em outras palavras, o ângulo de 1 grau é aquele que subtende um arco igual a 1/360 da circunferência. Escreve-se 1 grau = 1 e 1 radiano = 1 rad. Como a circunferência inteira tem 2π radianos e 360 graus, segue-se que 2πrad = 360, ou seja, ( ) 360 1rad = = graus. 2π ( ou Parte 7 Pré-Cálculo 15 Parte 7 Pré-Cálculo 16

5 Seno e cosseno de números reais (caso: radianos) Seno e cosseno de números reais (caso: graus) As funções cos: R R e sen: R R, chamadas função cosseno e função seno respectivamente, são definidas pondo-se, para cada t em R: E(t) =(cos(t), sen(t)). Noutras palavras, x = cos(t) e y = sen(t) são respectivamente a abscissa e a ordenada do ponto E(t) da circunferência unitária. Note que, aqui, o número real t dá a medida do ângulo AOP em radianos!. ( ou Parte 7 Pré-Cálculo 17 Parte 7 Pré-Cálculo 18 Seno e cosseno de números reais (caso: graus) Identidades trigonométricas Nas definições das funções seno e cosseno dadas anteriormente, o número real t dá a medida do ângulo AOP em radianos. Se, no lugar de medidas em radianos, usarmos medidas em graus, obteremos outras funções que, por abuso de notação, também serão representadas por cos e sen. Elas são definidas pondo-se, para cada s em R: G(s) =(cos(s), sen(s)). Noutras palavras, x = cos(s) e y = sen(s) são respectivamente a abscissa e a ordenada do ponto G(s) da circunferência unitária. (Ir para o GeoGebra) Parte 7 Pré-Cálculo 19 Parte 7 Pré-Cálculo 20

6 Identidades trigonométricas Identidades trigonométricas (Ir para o GeoGebra) Parte 7 Pré-Cálculo 21 (Ir para o GeoGebra) Parte 7 Pré-Cálculo 22 A função tangente f (x) =tg(x) = sen(x) cos(x) A função tangente Qual é o domínio natural da função tangente? D = {x R cos(x) 0} = {x R x π/2 + k π, com k Z} Parte 7 Pré-Cálculo 23 Parte 7 Pré-Cálculo 24

7 O gráfico da função tangente A função secante ( ou Parte 7 Pré-Cálculo 25 Parte 7 Pré-Cálculo 26 A função secante A função secante f (x) =sec(x) = 1 cos(x) Qual é o domínio natural da função secante? D = {x R cos(x) 0} = {x R x π/2 + k π, com k Z} Parte 7 Pré-Cálculo 27 Parte 7 Pré-Cálculo 28

8 A função cossecante f (x) =cossec(x) = 1 sen(x) A função cossecante Qual é o domínio natural da função cossecante? D = {x R sen(x) 0} = {x R x k π, com k Z} Parte 7 Pré-Cálculo 29 Parte 7 Pré-Cálculo 30 A função cossecante A função cotangente Parte 7 Pré-Cálculo 31 Parte 7 Pré-Cálculo 32

9 A função cotangente A função cotangente f (x) =cotg(x) = cos(x) sen(x) Qual é o domínio natural da função cotangente? D = {x R sen(x) 0} = {x R x k π, com k Z} Parte 7 Pré-Cálculo 33 Parte 7 Pré-Cálculo 34 A função arco seno f : R R x y = f (x) =sen(x) não é inversível, pois não é injetiva. A função arco seno Parte 7 Pré-Cálculo 35 Parte 7 Pré-Cálculo 36

10 A função arco seno A função arco seno f : [ π/2, +π/2] [ 1, +1] x y = f (x) =sen(x) é inversível, pois é bijetiva. f 1 : [ 1, +1] [ π/2, +π/2] x y = f 1 (x) =arcsen(x) é sua função inversa. Parte 7 Pré-Cálculo 37 Parte 7 Pré-Cálculo 38 Exemplo f 1 : [ 1, +1] [ π/2, +π/2] x y = f 1 (x) =arcsen(x) é sua função inversa. A função arco seno Mostre que cos(arcsen(x)) = 1 x 2, para x ( 1, +1). Demonstração. [cos(arcsen(x))] 2 +[sen(arcsen(x))] 2 = 1 [cos(arcsen(x))] 2 + x 2 = 1 [cos(arcsen(x))] 2 = 1 x 2 [cos(arcsen(x))] 2 = 1 x 2 cos(arcsen(x)) = 1 x 2 cos(arcsen(x)) = 1 x 2, pois se x ( 1, +1), então arcsen(x) ( π/2, +π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0. Parte 7 Pré-Cálculo 39 Parte 7 Pré-Cálculo 40

11 A função arco cosseno f : R R x y = f (x) =cos(x) não é inversível, pois não é injetiva. A função arco cosseno Parte 7 Pré-Cálculo 41 Parte 7 Pré-Cálculo 42 A função arco cosseno A função arco cosseno f : [0,π] [ 1, +1] x y = f (x) =cos(x) é inversível, pois é bijetiva. f 1 : [ 1, +1] [0,π] x y = f 1 (x) =arccos(x) é sua função inversa. Parte 7 Pré-Cálculo 43 Parte 7 Pré-Cálculo 44

12 A função arco cosseno f 1 : [ 1, +1] [0,π] x y = f 1 (x) =arccos(x) é sua função inversa. A função arco cosseno Mostre que sen(arccos(x)) = 1 x 2, para x ( 1, +1). Demonstração. [cos(arccos(x))] 2 +[sen(arccos(x))] 2 = 1 x 2 +[sen(arccos(x))] 2 = 1 [sen(arccos(x))] 2 = 1 x 2 [sen(arccos(x))] 2 = 1 x 2 sen(arccos(x)) = 1 x 2 sen(arccos(x)) = 1 x 2, pois se x ( 1, +1), então arccos(x) (0,π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0. Parte 7 Pré-Cálculo 45 Parte 7 Pré-Cálculo 46 A função arco tangente f : R {π/2 + k π k Z} R x y = f (x) =tg(x) não é inversível. A função arco tangente Parte 7 Pré-Cálculo 47 Parte 7 Pré-Cálculo 48

13 A função arco tangente A função arco tangente f : ( π/2, +π/2) R x y = f (x) =tg(x) é inversível, pois é bijetiva. f 1 : R ( π/2, +π/2) x y = f 1 (x) =arctg(x) é sua função inversa. Parte 7 Pré-Cálculo 49 Parte 7 Pré-Cálculo 50 A função arco tangente A função arco tangente f 1 : R ( π/2, +π/2) x y = f 1 (x) =arctg(x) é sua função inversa. Mostre que sec 2 (arctg(x)) = 1 + x 2, para x R. Demonstração. [cos(arctg(x))] 2 +[sen(arctg(x))] 2 = 1 [cos(arctg(x))] 2 +[sen(arctg(x))] 2 1 cos 2 = (arctg(x)) cos 2 (arctg(x)) 1 + tg 2 (arctg(x)) = sec 2 (arctg(x)) 1 + x 2 = sec 2 (arctg(x)) sec 2 (arctg(x)) = 1 + x 2. Parte 7 Pré-Cálculo 51 Parte 7 Pré-Cálculo 52

14 As fórmulas de adição As fórmulas de adição OA = cos(α + β), OE = cos(β), EC = sen(β), AB = DE = sen(α) sen(β), OB = cos(α) cos(β). cos(α + β) =OA = OB AB = cos(α) cos(β) sen(α) sen(β). Parte 7 Pré-Cálculo 53 Parte 7 Pré-Cálculo 54 As fórmulas de adição cos(α + β) = cos(α) cos(β) sen(α) sen(β). cos(α β) = cos(α +( β)) = cos(α) cos( β) sen(α) sen( β) = cos(α) cos(β) +sen(α) sen(β). As fórmulas de adição Já vimos que: ( π ) ( π ) sen 2 + t = cos(t), cos 2 + t = sen(t). Agora: ( π ) sen(α + β) = cos ( 2 + α + β π ) ( π ) = cos 2 + α cos(β)+sen 2 + α sen(β) = sen(α) cos(β)+cos(α) sen(β). cos(2 α) =cos(α + α) =cos 2 (α) sen 2 (α). Logo: sen(α β) =sen(α) cos(β) cos(α) sen(β) sen(2α) =2 sen(α) cos(α). e Parte 7 Pré-Cálculo 55 Parte 7 Pré-Cálculo 56

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